Verifique a convergência dos Métodos iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel para os seguintes sistemas, utilizando o critério das linhas e de Sassenfeld:
\left\{\begin{array}{l}10 x_{1}+x_{2}=23 \\\\ 6 x_{1}+2 x_{2}=18\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que eu verifique a convergência dos métodos iterativos de Jacobi e de Gauss–Seidel para o sistema
\begin{cases} 10 x_{1} + x_{2} = 23,\\[4pt] 6 x_{1} + 2 x_{2} = 18. \end{cases}
Informações dadas (retiradas diretamente do enunciado):
A=\begin{pmatrix}10 & 1 \\[4pt] 6 & 2\end{pmatrix},\qquad x=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}23\\[4pt]18\end{pmatrix}.
O que preciso responder: dizer se o método de Jacobi e se o método de Gauss–Seidel convergem para este sistema, usando o critério das linhas e o critério de Sassenfeld.]

Passo 2

Vou transformar a matriz A nas partes usadas pelos métodos iterativos e explicar as ideias antes de aplicar os critérios.
Decomposição padrão:
A=D+L+U,
onde D é a diagonal, L a parte estritamente inferior e U a parte estritamente superior. Para A temos
D=\begin{pmatrix}10 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix},\quad L=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 6 & 0\end{pmatrix},\quad U=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
As iterações (forma geral):
  • Jacobi: x^{(k+1)}=D^{-1}\big(b-(L+U)x^{(k)}\big). Matriz de iteração T_J=-D^{-1}(L+U).
  • Gauss–Seidel: x^{(k+1)}=(D+L)^{-1}\big(b-Ux^{(k)}\big). Matriz de iteração T_{GS}=-(D+L)^{-1}U.]

Passo 3

Critério das linhas (critério da dominância diagonal por linhas) — explicação didática:
O critério diz que, se para toda linha i da matriz A tivermos
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|,
então A é estritamente diagonalmente dominante por linhas e ambos os métodos (Jacobi e Gauss–Seidel) convergem para a solução a partir de qualquer aproximação inicial. Aqui a_{ii} é o elemento na diagonal da linha i e a soma do lado direito é a soma dos módulos dos outros elementos da mesma linha.
Aplicando ao nosso A:
  • Linha 1: |a_{11}| = |10| = 10 e \sum_{j\ne1}|a_{1j}| = |1| = 1. Então 10>1 — linha 1 satisfaz.
  • Linha 2: |a_{22}| = |2| = 2 e \sum_{j\ne2}|a_{2j}| = |6| = 6. Então 2>6 é falso — linha 2 não satisfaz.
Conclusão do critério das linhas: a matriz não é estritamente diagonalmente dominante por linhas (porque a linha 2 falha). Portanto o critério das linhas não garante convergência de Jacobi nem de Gauss–Seidel. (Isso não prova que os métodos não convergem; apenas que esse critério não assegura a convergência.)

Passo 4

Critério de Sassenfeld — explicação didática:
O critério de Sassenfeld fornece um conjunto de números \beta_1,\dots,\beta_n definidos recursivamente por
\beta_i=\frac{1}{|a_{ii}|}\sum_{j\ne i}|a_{ij}|\beta_j^{(*)},
onde, na soma, para j<i usamos os \beta_j já calculados e para j>i usamos \beta_j^{(*)}=1. Se
\beta=\max_{i}\beta_i<1,
então o método de Gauss–Seidel converge para qualquer aproximação inicial. (É uma ferramenta prática: dá um critério suficiente para a convergência de Gauss–Seidel.)
Vou calcular as \betas na ordem natural i=1,2.
Cálculo:
\beta_1=\frac{|a_{12}|}{|a_{11}|}=\frac{1}{10}=0{,}1.
Para \beta_2 usamos o \beta_1 já calculado:
\beta_2=\frac{|a_{21}|\beta_1}{|a_{22}|}=\frac{6\cdot 0{,}1}{2}=\frac{0{,}6}{2}=0{,}3.
Tomando \beta=\max\{\beta_1,\beta_2\}=\max\{0{,}1,0{,}3\}=0{,}3<1.
Conclusão do critério de Sassenfeld: como \beta<1, o método de Gauss–Seidel converge para qualquer condição inicial.
Observação importante (didática): o critério de Sassenfeld garante a convergência do Gauss–Seidel, mas não fornece uma garantia direta para Jacobi. Então precisamos tratar o Jacobi separadamente.

Passo 5

Verificação explícita (com cálculo da matriz de iteração) para decidir sobre Jacobi e confirmar Gauss–Seidel — passo a passo e didático.
  1. Matriz de iteração de Jacobi:
T_J=-D^{-1}(L+U)=-\begin{pmatrix}\tfrac{1}{10} & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 6 & 0\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix}0 & 0{,}1 \\[4pt] 3 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -0{,}1 \\[4pt] -3 & 0\end{pmatrix}.
Para que o método de Jacobi convirja, é suficiente (e necessário, para iteração linear) que o raio espectral \rho(T_J) seja menor do que 1. Para esta matriz de 2\times2 do tipo
\begin{pmatrix}0 & a\\\ b & 0\end{pmatrix} os autovalores são \lambda=\pm\sqrt{ab}.
Aqui a=-0{,}1 e b=-3, logo ab=0{,}3 e
\lambda=\pm\sqrt{0{,}3}\approx\pm 0{,}5477.
Assim \rho(T_J)=\sqrt{0{,}3}\approx 0{,}5477<1. Portanto o método de Jacobi converge.
  1. Matriz de iteração de Gauss–Seidel (confirmação numérica; já sabíamos pela Sassenfeld):
T_{GS}=-(D+L)^{-1}U.
Calculo de (D+L)^{-1}: D+L=\begin{pmatrix}10 & 0 \\[4pt] 6 & 2\end{pmatrix} tem inversa
(D+L)^{-1}=\frac{1}{20}\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] -6 & 10\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0{,}1 & 0 \\[4pt] -0{,}3 & 0{,}5\end{pmatrix}.
Multiplicando por U:
(D+L)^{-1}U=\begin{pmatrix}0 & 0{,}1 \\[4pt] 0 & -0{,}3\end{pmatrix},
portanto
T_{GS}=- (D+L)^{-1}U = \begin{pmatrix}0 & -0{,}1 \\[4pt] 0 & 0{,}3\end{pmatrix}.
Os autovalores de T_{GS} são 0 e 0{,}3, logo \rho(T_{GS})=0{,}3<1. Isso confirma a convergência de Gauss–Seidel, em concordância com o critério de Sassenfeld.
Resumo técnico: embora o critério das linhas tenha falhado (linha 2 não é dominada), o critério de Sassenfeld deu \beta<1 e mostrou convergência do Gauss–Seidel; além disso, a verificação direta do raio espectral mostrou que ambas as matrizes de iteração têm raio espectral menor que 1, portanto ambos os métodos convergem.
(Pausa motivacional: você já tirou o principal — saber quando dá para confiar que os métodos convergem — e já viu como verificar numericamente. Tá indo bem!)]

Resposta

Jacobi: converge.
Gauss–Seidel: converge.

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