Verifique a convergência dos Métodos iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel para os seguintes sistemas, utilizando o critério das linhas e de Sassenfeld: \left\{\begin{array}{l}10 x_{1}+x_{2}=23 \\\\ 6 x_{1}+2 x_{2}=18\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede que eu verifique a convergência dos métodos iterativos de Jacobi e de Gauss–Seidel para o sistema
O que preciso responder: dizer se o método de Jacobi e se o método de Gauss–Seidel convergem para este sistema, usando o critério das linhas e o critério de Sassenfeld.]
Passo 2
Vou transformar a matriz A nas partes usadas pelos métodos iterativos e explicar as ideias antes de aplicar os critérios.
Decomposição padrão:
A=D+L+U,
onde D é a diagonal, L a parte estritamente inferior e U a parte estritamente superior. Para A temos
Jacobi: x^{(k+1)}=D^{-1}\big(b-(L+U)x^{(k)}\big). Matriz de iteração T_J=-D^{-1}(L+U).
Gauss–Seidel: x^{(k+1)}=(D+L)^{-1}\big(b-Ux^{(k)}\big). Matriz de iteração T_{GS}=-(D+L)^{-1}U.]
Passo 3
Critério das linhas (critério da dominância diagonal por linhas) — explicação didática:
O critério diz que, se para toda linha i da matriz A tivermos
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|,
então A é estritamente diagonalmente dominante por linhas e ambos os métodos (Jacobi e Gauss–Seidel) convergem para a solução a partir de qualquer aproximação inicial. Aqui a_{ii} é o elemento na diagonal da linha i e a soma do lado direito é a soma dos módulos dos outros elementos da mesma linha.
Aplicando ao nosso A:
Linha 1: |a_{11}| = |10| = 10 e \sum_{j\ne1}|a_{1j}| = |1| = 1. Então 10>1 — linha 1 satisfaz.
Linha 2: |a_{22}| = |2| = 2 e \sum_{j\ne2}|a_{2j}| = |6| = 6. Então 2>6 é falso — linha 2 não satisfaz.
Conclusão do critério das linhas: a matriz não é estritamente diagonalmente dominante por linhas (porque a linha 2 falha). Portanto o critério das linhas não garante convergência de Jacobi nem de Gauss–Seidel. (Isso não prova que os métodos não convergem; apenas que esse critério não assegura a convergência.)
Passo 4
Critério de Sassenfeld — explicação didática:
O critério de Sassenfeld fornece um conjunto de números \beta_1,\dots,\beta_n definidos recursivamente por
onde, na soma, para j<i usamos os \beta_j já calculados e para j>i usamos \beta_j^{(*)}=1. Se
\beta=\max_{i}\beta_i<1,
então o método de Gauss–Seidel converge para qualquer aproximação inicial. (É uma ferramenta prática: dá um critério suficiente para a convergência de Gauss–Seidel.)
Conclusão do critério de Sassenfeld: como \beta<1, o método de Gauss–Seidel converge para qualquer condição inicial.
Observação importante (didática): o critério de Sassenfeld garante a convergência do Gauss–Seidel, mas não fornece uma garantia direta para Jacobi. Então precisamos tratar o Jacobi separadamente.
Passo 5
Verificação explícita (com cálculo da matriz de iteração) para decidir sobre Jacobi e confirmar Gauss–Seidel — passo a passo e didático.
Para que o método de Jacobi convirja, é suficiente (e necessário, para iteração linear) que o raio espectral \rho(T_J) seja menor do que 1. Para esta matriz de 2\times2 do tipo \begin{pmatrix}0 & a\\\ b & 0\end{pmatrix} os autovalores são \lambda=\pm\sqrt{ab}.
Aqui a=-0{,}1 e b=-3, logo ab=0{,}3 e
\lambda=\pm\sqrt{0{,}3}\approx\pm 0{,}5477.
Assim \rho(T_J)=\sqrt{0{,}3}\approx 0{,}5477<1. Portanto o método de Jacobi converge.
Matriz de iteração de Gauss–Seidel (confirmação numérica; já sabíamos pela Sassenfeld):
T_{GS}=-(D+L)^{-1}U.
Calculo de (D+L)^{-1}: D+L=\begin{pmatrix}10 & 0 \\[4pt] 6 & 2\end{pmatrix} tem inversa
Os autovalores de T_{GS} são 0 e 0{,}3, logo \rho(T_{GS})=0{,}3<1. Isso confirma a convergência de Gauss–Seidel, em concordância com o critério de Sassenfeld.
Resumo técnico: embora o critério das linhas tenha falhado (linha 2 não é dominada), o critério de Sassenfeld deu \beta<1 e mostrou convergência do Gauss–Seidel; além disso, a verificação direta do raio espectral mostrou que ambas as matrizes de iteração têm raio espectral menor que 1, portanto ambos os métodos convergem.
(Pausa motivacional: você já tirou o principal — saber quando dá para confiar que os métodos convergem — e já viu como verificar numericamente. Tá indo bem!)]