Verificar, utilizando o teorema do Raio Espectral, se os sistemas abaixo podem ser resolvidos pelo método de Jacobi ou de Gauss-Seidel e qual dos métodos a convergência é mais rápida: \left[\begin{array}{ccc}0,5 & 0,6 & 0,3 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 0,4 & -0,4 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0,2 \\\\ 0 \\\\ -0,6\end{array}\right]
Verificar, usando o Teorema do Raio Espectral, se o sistema pode ser resolvido pelo método de Jacobi.
Verificar, usando o mesmo teorema, se o sistema pode ser resolvido pelo método de Gauss–Seidel.
Dizer qual dos dois métodos (quando ambos convergirem) tem convergência mais rápida.
Informações relevantes dadas no enunciado que vamos usar: a matriz A (a que aparece no sistema) e o vetor do lado direito. Não há outras figuras ou dados ausentes.]
Passo 2
Breve aula: Teorema do Raio Espectral (forma prática para métodos iterativos)
Para um método iterativo linear com matriz de iteração B (por exemplo o Jacobi ou o Gauss–Seidel), a condição necessária e suficiente para convergência do método (para qualquer termo inicial e para a solução do sistema) é
\rho(B)<1,
onde \rho(B) é o raio espectral de B, definido como o máximo dos módulos (valores absolutos) dos autovalores de B.
Intuição: se \rho(B)<1, os erros são multiplicados por algo com módulo menor que 1 a cada iteração e vão para zero geometricamente; quanto menor \rho(B), mais rápido decresce o erro (em média), por isso comparamos \rho para dizer qual método é mais rápido.
Então, nosso procedimento prático:
Construir as matrizes de iteração B_J (Jacobi) e B_{GS} (Gauss–Seidel).
Calcular os autovalores de cada B e o respectivo \rho.
Concluir sobre convergência e velocidade comparando os \rho.
Passo 3
Fazer a decomposição A = D + L + U (padrão usado para Jacobi/Gauss–Seidel), onde D é a diagonal, L é a parte estritamente inferior e U a parte estritamente superior.
(Detalhe do cálculo: uma raiz foi obtida num valor aproximado \lambda\approx 0,875; dividindo o polinômio por (\lambda-0,875) obtém-se o quadrático restante que gera as outras duas raízes indicadas.)
Calcular os autovalores de B_{GS} e o seu raio espectral.
Observe que B_{GS}-\lambda I tem forma triangular em bloco (zeros na coluna 1 abaixo da primeira linha), então o determinante se separa facilmente. O polinômio característico resulta em
-\lambda\big(\lambda^2 -1,28\lambda +0,48\big)=0.
Assim um autovalor é \lambda=0. Os outros dois são as raízes do quadrático
Como \rho(B_{GS})<1, o método de Gauss–Seidel converge para este sistema. Além disso, como 0,6928<1,12 (o valor do raio espectral de Jacobi), quando comparável, Gauss–Seidel tem convergência muito mais rápida (erro decai geometricamente com razão aproximadamente 0,6928 por iteração, enquanto Jacobi diverge aqui).
Passo 8
Interpretação final e incentivo:
Jacobi: \rho(B_J)\approx 1,12>1 → não converge.
Gauss–Seidel: \rho(B_{GS})\approx 0,6928<1 → converge, e como seu raio espectral é menor que 1 e menor que o de Jacobi, é o método com convergência mais rápida para este sistema.
Força aí — se quiser eu mostro como executar algumas iterações de Gauss–Seidel passo a passo e estimar o número de iterações necessárias para chegar a um erro desejado.
Resposta
Jacobi: não converge (\rho(B_J)\approx 1,12).
Gauss–Seidel: converge (\rho(B_{GS})\approx 0,6928); Gauss–Seidel é mais rápido.