Verifique que campo vetorial v é campo solenoidal e acha o seu potencial vetorial A :
v=2 cos (x z) jmath.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente mostrar que o campo
vec v(x,y,z)=2cos(xz),vec jmath
é solenoidal e, depois, achar um potencial vetorial nablatimesvec A=vec v tal que
Isso faz parte de Cálculo Vetorial: primeiro a gente usa a definição de campo solenoidal (divergência zero) e depois aplica a ideia de vetor potencial (campo que gera via rotacional).

Passo 2

Vamos checar a solenoidialidade, ou seja, calcular
nablacdotvec v =partial vxpartial x+partial vypartial y+partial vzpartial z
Aqui nablacdotvec v =0 + partialpartial yl(2cos(xz)r) + 0 =0 + 0 + 0 =0 , e .
Então
Como a divergência é nula em todo lugar, é solenoidal.

Passo 3

Teoria do potencial vetorial:
Se nablatimesvec A=vec v é solenoidal (isto é, nablatimesvec A =l(partialy Az - partialz Ay,;partialz Ax - partialx Az,;partialx Ay - partialy Axr) ) em uma região simplesmente conexa, existe (nablatimesvec A)x=0, (nablatimesvec A)y=2cos(xz), (nablatimesvec A)z=0 tal que
Em coordenadas cartesianas,
Como , queremos

Passo 4

Pra simplificar, fazemos uma escolha esperta de vec A=(Ax(x,z),;0,;0), . Vamos assumir
(nablatimesvec A)y =partialz Ax-partialx Az =partialz Ax-0 =partialz Ax =2cos(xz)
ou seja, e só depende de e .
  • Então OK.
  • E OK.
  • Resta a componente :

Passo 5

Integramos em partial Axpartial z=2cos(xz) Longrightarrow Ax(x,z)=integral 2cos(xz),dz :
Ax(x,z) =2;sin(xz)x+C(x),
Como Ax(x,z) = 2x,sin(xz) é tratado como constante na integral,
onde é função arbitrária de . Essa parte não interfere no rotacional, então a gente pode escolher pra simplificar.
Logo,
Para ficar mais bonito, escrevemos com sinal menos à vontade (só muda uma constante de gauge), mas a forma essencial é essa.

Resposta

boxed vec A(x,y,z) =2x,sin(xz),vecimath (um potencial vetorial para (vec v))
E confirmamos que , logo é solenoidal.

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