Verifique que campo vetorial
é campo solenoidal e acha o seu potencial vetorial
:
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente mostrar que o campo
é solenoidal e, depois, achar um potencial vetorial
tal que
Isso faz parte de Cálculo Vetorial: primeiro a gente usa a definição de campo solenoidal (divergência zero) e depois aplica a ideia de vetor potencial (campo que gera
via rotacional).
Passo 2
Vamos checar a solenoidialidade, ou seja, calcular
Aqui
,
e
.
Então
Então
Como a divergência é nula em todo lugar,
é solenoidal.
Passo 3
Teoria do potencial vetorial:
Se é solenoidal (isto é,
) em uma região simplesmente conexa, existe
tal que
Se
Em coordenadas cartesianas,
Como
, queremos
Passo 4
Pra simplificar, fazemos uma escolha esperta de
. Vamos assumir
ou seja,
e
só depende de
e
.
- Então
OK. - E
OK. - Resta a componente
:
Passo 5
Integramos em
:
Como
é tratado como constante na integral,
onde
é função arbitrária de
. Essa parte não interfere no rotacional, então a gente pode escolher
pra simplificar.
Logo,
Para ficar mais bonito, escrevemos com sinal menos à vontade (só muda uma constante de gauge), mas a forma essencial é essa.
Resposta
E confirmamos que
, logo
é solenoidal.