Resolva o sistema linear usando o método de Gauss-Seidel, verificando sua convergência:
Inicie o processo iterativo com x^(0)=(x1 ^0, x2 ^0, x3 ^0)^T em que esse ponto inicial é uma escolha individual para cada aluno ou grupo. Utilize precisão varepsilon=O(10^-2).
Observação: utilize até 6 casas decimais para os cálculos dos exercícios 3) e 4).
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear
10x1+2x2+x3=19, 3x1+5x2-2x3=-1, 2x1+3x2+10x3=11,
e pede para usar o método de Gauss–Seidel com precisão varepsilon=O(10^-2). Para isso precisamos
Verificar a convergência pelo critério de dominância diagonal.
Obter as fórmulas iterativas de Gauss–Seidel.
Escolher um ponto inicial x^(0) e iterar até que |x^(k+1)-x^(k)|infty<0,01.
Passo 2
Verificamos a dominância diagonal linha a linha:
linha 1: lvert10rvert> lvert2rvert+lvert1rvert=3,
linha 2: lvert5rvert=lvert3rvert+lvert-2rvert=5 (fraca),
linha 3: lvert10rvert> lvert2rvert+lvert3rvert=5.
Como há dominância estrita em pelo menos duas linhas e o sistema é irreducível, o método de Gauss–Seidel converge.
Passo 3
Isolando cada incógnita em cada equação, obtemos as fórmulas iterativas
x1^(k+1)=19-2x2^(k)-x3^(k)10,
x2^(k+1)=-1-3x1^(k+1)+2x3^(k)5,
x3^(k+1)=11-2x1^(k+1)-3x2^(k+1)10
Passo 4
Escolhemos x^(0)=(0,0,0)^ T e iteramos guardando 6 casas decimais: