Resolva o sistema linear usando o método de Gauss-Seidel, verificando sua convergência:
10 x1+2 x2+x3 & =19 3 x1+5 x2-2 x3 & =-1 2 x1+3 x2+10 x3 & =11
Inicie o processo iterativo com x^(0)=(x1 ^0, x2 ^0, x3 ^0)^T em que esse ponto inicial é uma escolha individual para cada aluno ou grupo. Utilize precisão varepsilon=O(10^-2).
Observação: utilize até 6 casas decimais para os cálculos dos exercícios 3) e 4).

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
10x1+2x2+x3=19, 3x1+5x2-2x3=-1, 2x1+3x2+10x3=11,
e pede para usar o método de Gauss–Seidel com precisão varepsilon=O(10^-2). Para isso precisamos
  1. Verificar a convergência pelo critério de dominância diagonal.
  2. Obter as fórmulas iterativas de Gauss–Seidel.
  3. Escolher um ponto inicial x^(0) e iterar até que |x^(k+1)-x^(k)|infty<0,01.

Passo 2

Verificamos a dominância diagonal linha a linha:
linha 1: lvert10rvert> lvert2rvert+lvert1rvert=3,
linha 2: lvert5rvert=lvert3rvert+lvert-2rvert=5 (fraca),
linha 3: lvert10rvert> lvert2rvert+lvert3rvert=5.
Como há dominância estrita em pelo menos duas linhas e o sistema é irreducível, o método de Gauss–Seidel converge.

Passo 3

Isolando cada incógnita em cada equação, obtemos as fórmulas iterativas
x1^(k+1)=19-2x2^(k)-x3^(k)10,
x2^(k+1)=-1-3x1^(k+1)+2x3^(k)5,
x3^(k+1)=11-2x1^(k+1)-3x2^(k+1)10

Passo 4

Escolhemos x^(0)=(0,0,0)^ T e iteramos guardando 6 casas decimais:
Iteração 1:
x1^(1)=19-0-010=1,900000, x2^(1)=-1-3cdot1,9+05=-1,340000, x3^(1)=11-2cdot1,9-3cdot(-1,34)10=1,122000
|x^(1)-x^(0)|infty=1,900000>0,01.
Iteração 2:
x1^(2)=2,055800, x2^(2)=-0,984680, x3^(2)=0,984244,
|x^(2)-x^(1)|infty=0,355320>0,01.
Iteração 3:
x1^(3)=1,998512, x2^(3)=-1,005409, x3^(3)=1,001920,
|x^(3)-x^(2)|infty=0,057288>0,01.
Iteração 4:
x1^(4)=2,000890, x2^(4)=-0,999766, x3^(4)=0,999752,
|x^(4)-x^(3)|infty=0,005644<0,01.
Como a norma máxima da diferença ficou abaixo de 0,01, paramos.

Resposta

A aproximação pelo método de Gauss–Seidel é
(x1,x2,x3)approx(2,00,;-1,00,;1,00)

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