Considere a integral:
\begin{gathered} I=\int_{0}^{2} f(x) d x \\\ \text { Função: } f(x)=x^{5}+x^{3}-x^{2}+2 \\\ \text { Derivadas de } f(x): f^{\prime}(x)=5 x^{4}+3 x^{2}-2 x, \quad f^{\prime \prime}(x)=20 x^{3}+6 x-2 \end{gathered}çã
a) (valor: 2,0 pontos) Quantos subintervalos m são necessários para se calcular I usando a Regra dos Trapézios generalizada, de forma a se obter um erro inferior a 0,01 ?
(valor: 1,5 pontos) Calcule a integral por meio da Primeira Regra de Simpson generalizada, utilizando m=4 subintervalos.
(valor: 0,5 pontos) Você recebe a tarefa de calcular uma integral definida de f(x) a partir dos métodos de integração estudados (Regra dos Trapézios, Primeira Regra de Simpson e Segunda Regra de Simpson), utilizando m=17 subintervalos. Qual(is) dos três métodos seria possível aplicar, com esse número de ubintervalos? Justifique sua resposta.

Passo 1

Temos a integral
I = \int_{0}^{2} f(x)\,dx
com f(x)=x^5+x^3 - x^2 +2. O enunciado pede:
  • (a) determinar quantos subintervalos m na Regra dos Trapézios generalizada são necessários para ter erro menor que 0,01;
  • (b) calcular I pela Primeira Regra de Simpson generalizada usando m=4;
  • (c) para m=17, dizer quais dos métodos (Trapézios, Simpson 1/3 e Simpson 3/8) podem ser aplicados.

Passo 2

O erro da Regra dos Trapézios generalizada em [a,b] satisfaz
\lvert E_T\rvert \le \frac{(b-a)^3}{12\,m^2}\,\max_{x\in[a,b]}\lvert f''(x)\rvert.
Aqui a=0, b=2 e
f''(x)=20x^3+6x-2,\quad f'''(x)=60x^2+6>0\text{ em }[0,2],
logo f'' é crescente e
\max_{x\in[0,2]}\lvert f''(x)\rvert=f''(2)=20\cdot8+6\cdot2-2=170.
Substituindo,
\lvert E_T\rvert \le \frac{(2-0)^3}{12\,m^2}\,170 = \frac{8\cdot170}{12\,m^2} = \frac{340}{3\,m^2}.
Queremos \tfrac{340}{3\,m^2}<0,01, ou seja
m^2>\frac{340}{3\times0{,}01}\approx11333{,}3 \quad\Longrightarrow\quad m>\sqrt{11333{,}3}\approx106{,}45.
Como m é inteiro, o menor valor é m=107.

Passo 3

Para a Primeira Regra de Simpson com m=4 em [0,2], h=(2-0)/4=0{,}5 e os pontos são
x_0=0,\;x_1=0{,}5,\;x_2=1{,}0,\;x_3=1{,}5,\;x_4=2{,}0.
Calculando f em cada ponto:
f(0)=2,\quad f(0{,}5)=1{,}90625,\quad f(1)=3,\quad f(1{,}5)=10{,}71875,\quad f(2)=38.
A fórmula de Simpson 1/3 é
I\approx \frac{h}{3}\bigl[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+f(x_4)\bigr].
Substituindo,
I\approx \frac{0{,}5}{3}\bigl[2+4\cdot1{,}90625+2\cdot3+4\cdot10{,}71875+38\bigr] =\frac{96{,}5}{6}\approx16{,}08333.

Passo 4

Com m=17 subintervalos:
  • Regra dos Trapézios pode sempre ser usada (não exige condição sobre m).
  • Simpson 1/3 exige m par; 17 é ímpar → não serve.
  • Simpson 3/8 exige m múltiplo de 3; 17 não é → não serve.
Portanto, só a Regra dos Trapézios é aplicável.

Resposta

(a) m=107.
(b) I\approx16{,}08333.
(c) Com m=17 só é possível usar a Regra dos Trapézios.

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