Considere a integral:
a) (valor: 2,0 pontos) Quantos subintervalos
são necessários para se calcular
usando a Regra dos Trapézios generalizada, de forma a se obter um erro inferior a 0,01 ?
(valor: 1,5 pontos) Calcule a integral por meio da Primeira Regra de Simpson generalizada, utilizando
subintervalos.
(valor: 0,5 pontos) Você recebe a tarefa de calcular uma integral definida de
a partir dos métodos de integração estudados (Regra dos Trapézios, Primeira Regra de Simpson e Segunda Regra de Simpson), utilizando
subintervalos. Qual(is) dos três métodos seria possível aplicar, com esse número de ubintervalos? Justifique sua resposta.
(valor: 1,5 pontos) Calcule a integral por meio da Primeira Regra de Simpson generalizada, utilizando
(valor: 0,5 pontos) Você recebe a tarefa de calcular uma integral definida de
Passo 1
Temos a integral
com
. O enunciado pede:
- (a) determinar quantos subintervalos
na Regra dos Trapézios generalizada são necessários para ter erro menor que ; - (b) calcular
pela Primeira Regra de Simpson generalizada usando ; - (c) para
, dizer quais dos métodos (Trapézios, Simpson 1/3 e Simpson 3/8) podem ser aplicados.
Passo 2
O erro da Regra dos Trapézios generalizada em
satisfaz
Aqui
,
e
logo
é crescente e
Substituindo,
Queremos
, ou seja
Como
é inteiro, o menor valor é
.
Passo 3
Para a Primeira Regra de Simpson com
em
,
e os pontos são
Calculando
em cada ponto:
A fórmula de Simpson 1/3 é
Substituindo,
Passo 4
Com
subintervalos:
- Regra dos Trapézios pode sempre ser usada (não exige condição sobre
). - Simpson 1/3 exige
par; é ímpar → não serve. - Simpson 3/8 exige
múltiplo de ; não é → não serve.
Portanto, só a Regra dos Trapézios é aplicável.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) Com só é possível usar a Regra dos Trapézios.
(b)
(c) Com