As respostas dos exercícios abaixo deve ser justificadas. Respostas sem justificativas não serão aceitas. Escolha apenas 5 questões para resolver. Se mais questões forem resolvidas, apenas as resoluções das 5 primeiras serão consideradas.
Considere o problema de valor inicial
Use o método de Euler modificado com passo l d yd t=y(t) cdot y(t) cdot cos (t), t>0 y(0)=1 para calcular h=0,5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos o problema de valor inicial
dydt = y(t)^2cos(t), & t>0, y(0)=1,
e a gente precisa aproximar usando o método de Euler modificado (ou Heun) com passo .
Conteúdo: método de Euler modificado (um predictor–corrector simples). Para resolver, vamos aplicar duas etapas (de até e de até ), usando as fórmulas
  1. predictor: ,
  2. corrector: ,
    onde .

Passo 2

Primeira etapa ( f(0,1) = 1^2cos(0) = 1cdot 1 = 1 a y1^* = y0 + h,f(0,1) = 1 + 0,5cdot 1 = 1,5 ):
  1. Calcular f(0,5,1,5) = (1,5)^2cos(0,5) =2,25cdotcos(0,5)approx 2,25cdot0,87758approx1,97406 :
y1 = y0 + h2l[f(0,1) + f(0,5,1,5)r] =1 + 0,25,(1 + 1,97406) approx1 + 0,25cdot2,97406 approx1,74352
  1. Predictor:
  1. Avaliar em :
  1. Corrector:

Passo 3

Segunda etapa ( y2^* = y1 + h,f(0,5,1,74352) approx1,74352 + 0,5cdot2,66710 approx3,07707 a y2 = y1 + h2l[f(0,5,1,74352) + f(1,3,07707)r] approx1,74352 + 0,25,(2,66710 + 5,11527) approx1,74352 + 0,25cdot7,78237 approx3,68910 ):
  1. Predictor:
  1. Corrector:

Resposta

A estimativa de boxedy(1)approx3,6891 pelo método de Euler modificado com é aproximadamente

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