Verifique se a função f(t) é contínua no ponto t0 em cada um dos seguintes casos:
(t^2+2 t-32 t-2, raizt-1t-1, t^2+2 t-3t^4+t^3-2 t^2), & se t neq 1 (2, 12,-13), & se t=1, e t0=1.

Passo 1

Beleza, o enunciado tá pedindo pra gente checar se a função vetorial
vec f(t)= l(t^2+2t-32t-2,,raiz t-1t-1,,t^2+2t-3t^4+t^3-2t^2r), & tneq1, (2,,tfrac12,,-tfrac13), & t=1
é contínua em .
Conteúdo: continuidade de função vetorial (ou seja, cada componente tem que ter limite igual ao valor dado).
O que vamos precisar:
  • Saber que é contínua em 1 se, e somente se, .
  • Calcular limite de cada componente: fatorar expressões racionais ou usar racionalização para eliminar indeterminações do tipo .

Passo 2

Definição de continuidade em vetor:
limtto1vec f(t) = vec f(1) = l(2,,tfrac12,,-tfrac13r) é contínua em se
[
\lim_{t\to1}\vec f(t)

\vec f(1)

\bigl(2,,\tfrac12,,-\tfrac13\bigr).
]
Como é um trio de funções reais, a gente vai checar componente a componente.

Passo 3

Primeira componente:
t^2+2t-32t-2
  1. Factoriza o numerador: t^2+2t-32t-2 =(t+3)(t-1)2(t-1) =t+32 .
  2. Denominador: limtto1t+32=1+32=2, .
    Então, para ,
Agora o limite quando é
que bate com a primeira coordenada .

Passo 4

Segunda componente:
raiz t-1t-1,
é aquela indeterminação raiz t-1t-1 =raiz t-1(raiz t-1)(raiz t+1) =1raiz t+1 . A técnica é racionalizar: multiplicar por limtto1raiz t-1t-1 =limtto11raiz t+1 =11+1=tfrac12, :
Então
que concorda com .

Passo 5

Terceira componente:
t^2+2t-3t^4+t^3-2t^2
  1. Numerador igual do passo 3: t^4+t^3-2t^2 =t^2,(t+2)(t-1) .
  2. Denominador: fatorar t^2+2t-3t^4+t^3-2t^2 =(t+3)(t-1)t^2,(t+2)(t-1) =t+3t^2,(t+2) .
    E limtto1t+3t^2,(t+2) =1+31^2,(1+2) =43 .
    Logo
Para :
Agora o limite :
Mas .

Passo 6

Como a terceira componente do limite é limtto1vec f(t)neq vec f(1) e o valor dado em é , a gente não tem igualdade em todas as componentes. Logo

Resposta

A função não é contínua em .

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