é contínua em .
Conteúdo: continuidade de função vetorial (ou seja, cada componente tem que ter limite igual ao valor dado).
O que vamos precisar:
Saber que é contínua em 1 se, e somente se, .
Calcular limite de cada componente: fatorar expressões racionais ou usar racionalização para eliminar indeterminações do tipo .
Passo 2
Definição de continuidade em vetor: limtto1vec f(t) = vec f(1) = l(2,,tfrac12,,-tfrac13r) é contínua em se
[
\lim_{t\to1}\vec f(t)
\vec f(1)
\bigl(2,,\tfrac12,,-\tfrac13\bigr).
]
Como é um trio de funções reais, a gente vai checar componente a componente.
Passo 3
Primeira componente:
t^2+2t-32t-2
Factoriza o numerador: t^2+2t-32t-2 =(t+3)(t-1)2(t-1) =t+32 .
Denominador: limtto1t+32=1+32=2, .
Então, para ,
Agora o limite quando é
que bate com a primeira coordenada .
Passo 4
Segunda componente:
raiz t-1t-1,
é aquela indeterminação raiz t-1t-1 =raiz t-1(raiz t-1)(raiz t+1) =1raiz t+1 . A técnica é racionalizar: multiplicar por limtto1raiz t-1t-1 =limtto11raiz t+1 =11+1=tfrac12, :
Então
que concorda com .
Passo 5
Terceira componente:
t^2+2t-3t^4+t^3-2t^2
Numerador igual do passo 3: t^4+t^3-2t^2 =t^2,(t+2)(t-1) .
Denominador: fatorar t^2+2t-3t^4+t^3-2t^2 =(t+3)(t-1)t^2,(t+2)(t-1) =t+3t^2,(t+2) .
E limtto1t+3t^2,(t+2) =1+31^2,(1+2) =43 .
Logo
Para :
Agora o limite :
Mas .
Passo 6
Como a terceira componente do limite é limtto1vec f(t)neq vec f(1) e o valor dado em é , a gente não tem igualdade em todas as componentes. Logo