Verifique se a função f(x)=x^3-x-1 possui uma única raiz no intervalo [1,2].

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x) = x^3 - x - 1
possui exatamente uma raiz em [1,2].
Conteúdo: teorema do valor intermediário (funções polinomiais são contínuas) e monotonicidade (derivada).

Passo 2

Verificamos o sinal de f nos extremos de [1,2].
f(1) = 1^3 - 1 - 1 = -1 < 0,
f(2) = 2^3 - 2 - 1 = 5 > 0
Como f é contínua (é polinomial) e muda de sinal em x=1 e x=2, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz cin(1,2) tal que f(c)=0.

Passo 3

Analisamos a derivada para ver se há mais de uma raiz.
f'(x) = 3x^2 - 1
Para todo xin[1,2] temos
f'(x)>= 3cdot1^2 - 1 = 2 > 0
Logo f' é positiva em [1,2], ou seja, f é estritamente crescente nesse intervalo.

Passo 4

Uma função estritamente crescente em [1,2] não pode ter duas raízes distintas, pois isso exigiria uma queda de sinal adicional. Juntando com a existência de pelo menos uma raiz (Passo 2), concluímos que existe exatamente uma raiz em [1,2].

Resposta

A função f(x)=x^3 - x - 1 possui uma única raiz no intervalo [1,2].

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