Verifique se a função
possui uma única raiz no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
possui exatamente uma raiz em
.
Conteúdo: teorema do valor intermediário (funções polinomiais são contínuas) e monotonicidade (derivada).
Conteúdo: teorema do valor intermediário (funções polinomiais são contínuas) e monotonicidade (derivada).
Passo 2
Verificamos o sinal de
nos extremos de
.
Como
é contínua (é polinomial) e muda de sinal em
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz
tal que
.
Passo 3
Analisamos a derivada para ver se há mais de uma raiz.
Para todo
temos
Logo
é positiva em
, ou seja,
é estritamente crescente nesse intervalo.
Passo 4
Uma função estritamente crescente em
não pode ter duas raízes distintas, pois isso exigiria uma queda de sinal adicional. Juntando com a existência de pelo menos uma raiz (Passo 2), concluímos que existe exatamente uma raiz em
.
Resposta
A função
possui uma única raiz no intervalo
.