Verifique que as funções dadas são soluções da equação de calor u_{t}= c^{2} u_{x x} com c apropriado:
(a) u=e^{-2 k t} \cos 8 x

Passo 1

O enunciado pede verificar que a função
u(x,t)=e^{-2kt}\cos(8x)
satisfaz a equação do calor
u_{t}=c^{2}u_{xx}
e determinar o valor de c. Para isso vamos calcular u_{t} e u_{xx} e igualar.

Passo 2

Para calcular u_{t} tratamos x como constante, então
u_{t}=\frac{\partial}{\partial t}\bigl(e^{-2kt}\cos(8x)\bigr) =-2k\,e^{-2kt}\cos(8x).

Passo 3

Para calcular u_{xx} primeiro derivamos em x:
u_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{-2kt}\cos(8x)\bigr) =-8\,e^{-2kt}\sin(8x),
e em seguida
u_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-8e^{-2kt}\sin(8x)\bigr) =-64\,e^{-2kt}\cos(8x).

Passo 4

Substituindo em u_{t}=c^{2}u_{xx} obtemos
-2k\,e^{-2kt}\cos(8x) = c^{2}\bigl(-64\,e^{-2kt}\cos(8x)\bigr).
Cancelando o fator comum -e^{-2kt}\cos(8x) resulta
-2k=-64c^{2} \quad\Longrightarrow\quad c^{2}=\frac{2k}{64}=\frac{k}{32}.

Resposta

c=\sqrt{\tfrac{k}{32}}.

Exercícios relacionados