Verifique que as funções dadas são soluções da equação de onda u_{t t}= c^{2} u_{x x} com c apropriado:
(d) u=\operatorname{sen} k x \cos k c t

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
u(x,t)=\operatorname{sen}(kx)\,\cos(kct)
satisfaz a equação de onda
u_{tt}=c^{2}\,u_{xx}.
O conteúdo é cálculo de derivadas parciais de segunda ordem. Vamos calcular u_{t}, u_{tt}, u_{x} e u_{xx} e então comparar.

Passo 2

Calcular u_{t} e u_{tt}.
Como \operatorname{sen}(kx) é tratado como constante em relação a t, temos
u_{t}=\operatorname{sen}(kx)\,\bigl(-\sin(kct)\bigr)\,k\,c =-k\,c\,\operatorname{sen}(kx)\,\sin(kct).
Derivando de novo em t:
u_{tt} =-k\,c\,\operatorname{sen}(kx)\,\bigl(\cos(kct)\bigr)\,k\,c =-k^{2}c^{2}\,\operatorname{sen}(kx)\,\cos(kct).
Portanto
u_{tt}=-k^{2}c^{2}\,\operatorname{sen}(kx)\,\cos(kct).

Passo 3

Calcular u_{x} e u_{xx}.
Desta vez \cos(kct) é constante em relação a x, então
u_{x}=\cos(kct)\,\bigl(\cos(kx)\bigr)\,k =k\,\cos(kx)\,\cos(kct).
Derivando de novo em x:
u_{xx} =k\,\bigl(-\operatorname{sen}(kx)\bigr)\,k\,\cos(kct) =-k^{2}\,\operatorname{sen}(kx)\,\cos(kct).

Passo 4

Comparar u_{tt} e c^{2}u_{xx}:
u_{tt}=-k^{2}c^{2}\,\operatorname{sen}(kx)\,\cos(kct), \quad c^{2}u_{xx}=c^{2}\bigl(-k^{2}\,\operatorname{sen}(kx)\,\cos(kct)\bigr) =-k^{2}c^{2}\,\operatorname{sen}(kx)\,\cos(kct).
Vemos que
u_{tt}=c^{2}\,u_{xx},
logo u é solução da equação de onda com velocidade c.

Resposta

A função u(x,t)=\operatorname{sen}(kx)\cos(kct) satisfaz
u_{tt}=c^{2}u_{xx}.

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