Verifique que as funções dadas são soluções da equação de calor u_{t}= c^{2} u_{x x} com c apropriado:
(b) u=e^{-\pi^{2} t} \operatorname{sen} 4 x

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
u(t,x)=e^{-\pi^{2}t}\sin(4x)
é solução da equação de calor unidimensional
u_{t}=c^{2}u_{xx}
para algum valor apropriado de c. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais u_{t} e u_{xx} e comparar.

Passo 2

Calcular u_{t}, a derivada de u em relação a t. Como \sin(4x) é independente de t, temos
u_{t} =\frac{\partial}{\partial t}\bigl(e^{-\pi^{2}t}\sin(4x)\bigr) =-\pi^{2}e^{-\pi^{2}t}\sin(4x).

Passo 3

Calcular u_{xx}, a segunda derivada de u em relação a x. Primeiro
u_{x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{-\pi^{2}t}\sin(4x)\bigr) =4e^{-\pi^{2}t}\cos(4x),
e em seguida
u_{xx} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(4e^{-\pi^{2}t}\cos(4x)\bigr) =-16\,e^{-\pi^{2}t}\sin(4x).

Passo 4

Substituindo em u_{t}=c^{2}u_{xx}, obtemos
-\pi^{2}e^{-\pi^{2}t}\sin(4x) \;=\; c^{2}\bigl(-16\,e^{-\pi^{2}t}\sin(4x)\bigr).
Cancelando o fator comum e^{-\pi^{2}t}\sin(4x)\neq0, vem
-\pi^{2}=-16\,c^{2} \quad\Longrightarrow\quad c^{2}=\frac{\pi^{2}}{16} \quad\Longrightarrow\quad c=\frac{\pi}{4}.

Resposta

O valor apropriado de c para que \displaystyle u(t,x)=e^{-\pi^{2}t}\sin(4x)
satisfaça a equação de calor é
c=\frac{\pi}{4}.

Exercícios relacionados