Verifique que as funções dadas são soluções da equação de calor u_{t}= c^{2} u_{x x} com c apropriado:
(c) u=e^{-4 \omega^{2} t} \operatorname{sen} \omega x

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
u(t,x)=e^{-4\omega^{2}t}\sin(\omega x)
é solução da equação de calor
u_{t}=c^{2}u_{xx}
e determinar o valor de c. Para isso, vamos calcular u_{t}, u_{xx} e comparar ambos.

Passo 2

Calcular a derivada parcial em relação a t. Como \sin(\omega x) é independente de t, temos
u_{t} =\frac{\partial}{\partial t}\bigl(e^{-4\omega^{2}t}\sin(\omega x)\bigr) =-4\omega^{2}e^{-4\omega^{2}t}\sin(\omega x).

Passo 3

Calcular a segunda derivada parcial em x. Primeiro,
u_{x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{-4\omega^{2}t}\sin(\omega x)\bigr) =e^{-4\omega^{2}t}\,\omega\cos(\omega x).
Em seguida,
u_{xx} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{-4\omega^{2}t}\,\omega\cos(\omega x)\bigr) =-\omega^{2}e^{-4\omega^{2}t}\sin(\omega x).

Passo 4

Comparando
u_{t}=-4\omega^{2}e^{-4\omega^{2}t}\sin(\omega x), \quad u_{xx}=-\omega^{2}e^{-4\omega^{2}t}\sin(\omega x),
vemos que
u_{t}=4\,u_{xx}.
Logo a equação de calor u_{t}=c^{2}u_{xx} é satisfeita se
c^{2}=4,
isto é, c=2.

Resposta

A função u=e^{-4\omega^{2}t}\sin(\omega x) satisfaz a equação de calor com c=2.

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