Verifique que as funções dadas são soluções da equação de calor u_{t}= c^{2} u_{x x} com c apropriado:
(d) u=e^{-\omega^{2} t} \cos \omega x

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
u(t,x)=e^{-\omega^{2}t}\cos(\omega x)
é solução da equação do calor
u_{t}=c^{2}u_{xx}
e determinar o valor de c. Para isso vamos calcular u_{t} e u_{xx} e comparar.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de u em relação a t. Como \cos(\omega x) é constante em t,
u_{t} =\frac{\partial}{\partial t}\bigl(e^{-\omega^{2}t}\cos(\omega x)\bigr) =-\omega^{2}e^{-\omega^{2}t}\cos(\omega x).

Passo 3

Calcular a segunda derivada parcial de u em relação a x. Trata-se de derivar \cos(\omega x) duas vezes, mantendo o fator e^{-\omega^{2}t}:
u_{xx} =e^{-\omega^{2}t}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\cos(\omega x) =e^{-\omega^{2}t}\bigl(-\omega^{2}\cos(\omega x)\bigr) =-\omega^{2}e^{-\omega^{2}t}\cos(\omega x).

Passo 4

Comparando os resultados, vemos que
u_{t}=-\omega^{2}e^{-\omega^{2}t}\cos(\omega x) \quad\text{e}\quad u_{xx}=-\omega^{2}e^{-\omega^{2}t}\cos(\omega x),
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u_{t}=1\cdot u_{xx}.
Isto mostra que c^{2}=1, portanto c=1.

Resposta

O valor adequado é c=1; com isso u(t,x)=e^{-\omega^{2}t}\cos(\omega x) satisfaz
u_{t}=u_{xx}.

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