É correto afirmar que:
  • Durante o processo de eliminação gaussiana sem pivotamento, foi encontrado um pivô nulo. Logo, a matriz dos coeficientes do sistema é singular.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a afirmação “Durante a eliminação gaussiana sem pivotamento, apareceu um pivô nulo. Logo, a matriz dos coeficientes é singular.”
Conteúdo: elimininação gaussiana, pivôs, matrizes singulares (inversibilidade).
O que vamos precisar:
  • Entender o que é um pivô na eliminação.
  • Saber o que significa matriz singular (ou não).
  • Verificar se “pivô zero” implica “matriz singular”.

Passo 2

O que é um pivô?
Na eliminação gaussiana, a gente pega o elemento na diagonal (posição (i,i)) e usa ele para zerar todos os elementos abaixo dele na mesma coluna, dividindo as linhas. Esse elemento da diagonal é o pivô. Se ele for 0, não dá pra dividir e zerar nada naquela coluna, então o processo “trava” se a gente não trocar linhas (pivotamento).

Passo 3

O que é matriz singular?
Uma matriz é singular se ela não tem inversa, isto é, se . Se , a matriz é invertível (ou não singular).

Passo 4

Será que “pivô zero” sem pivotamento significa A= 0 & 1 1 & 0 ?
Na prática, não. Você pode ter um pivô zero só por causa da ordem das linhas, mas ainda assim det(A)=0cdot0 - 1cdot1 = -1 neq 0, . Exemplo bem simples:
Aqui o pivô na posição (1,1) é zero, então a eliminação sem trocar linhas dá pau.
Porém
logo é invertível, não singular.

Passo 5

Conclusão: encontrar um pivô nulo sem fazer pivotamento só mostra que você precisa trocar linhas para continuar a eliminação. Não prova que a matriz é singular.

Resposta

A afirmação é falsa. Zero no pivô sem pivotamento não garante que a matriz seja singular.

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