É correto afirmar que:
- Durante o processo de eliminação gaussiana sem pivotamento, foi encontrado um pivô nulo. Logo, a matriz dos coeficientes do sistema é singular.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a afirmação “Durante a eliminação gaussiana sem pivotamento, apareceu um pivô nulo. Logo, a matriz dos coeficientes é singular.”
Conteúdo: elimininação gaussiana, pivôs, matrizes singulares (inversibilidade).
O que vamos precisar:
Conteúdo: elimininação gaussiana, pivôs, matrizes singulares (inversibilidade).
O que vamos precisar:
- Entender o que é um pivô na eliminação.
- Saber o que significa matriz singular (ou não).
- Verificar se “pivô zero” implica “matriz singular”.
Passo 2
O que é um pivô?
Na eliminação gaussiana, a gente pega o elemento na diagonal (posição (i,i)) e usa ele para zerar todos os elementos abaixo dele na mesma coluna, dividindo as linhas. Esse elemento da diagonal é o pivô. Se ele for 0, não dá pra dividir e zerar nada naquela coluna, então o processo “trava” se a gente não trocar linhas (pivotamento).
Na eliminação gaussiana, a gente pega o elemento na diagonal (posição (i,i)) e usa ele para zerar todos os elementos abaixo dele na mesma coluna, dividindo as linhas. Esse elemento da diagonal é o pivô. Se ele for 0, não dá pra dividir e zerar nada naquela coluna, então o processo “trava” se a gente não trocar linhas (pivotamento).
Passo 3
O que é matriz singular?
Uma matriz é singular se ela não tem inversa, isto é, se
. Se
, a matriz é invertível (ou não singular).
Uma matriz
Passo 4
Será que “pivô zero” sem pivotamento significa
?
Na prática, não. Você pode ter um pivô zero só por causa da ordem das linhas, mas ainda assim . Exemplo bem simples:
Na prática, não. Você pode ter um pivô zero só por causa da ordem das linhas, mas ainda assim
Aqui o pivô na posição (1,1) é zero, então a eliminação sem trocar linhas dá pau.
Porém
Porém
logo
é invertível, não singular.
Passo 5
Conclusão: encontrar um pivô nulo sem fazer pivotamento só mostra que você precisa trocar linhas para continuar a eliminação. Não prova que a matriz é singular.
Resposta
A afirmação é falsa. Zero no pivô sem pivotamento não garante que a matriz seja singular.