Os vetores dados são soluções de um sistema \mathbf{X}^{\prime}=\mathbf{A X}. Determine se os vetores formam um sistema fundamental em (-\infty, \infty).
20. \mathbf{X}{1}=\left(\begin{array}{r}1 \\ 6 \\ -13\end{array}\right), \quad \mathbf{X}{2}=\left(\begin{array}{r}1 \\ -2 \\ -1\end{array}\right) e^{-4 t}, \quad \mathbf{X}_{3}=\left(\begin{array}{r}2 \\ 3 \\ -2\end{array}\right) e^{3 t}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se os vetores dados são um sistema fundamental em (-\infty,\infty). As informações fornecidas são:
Você informou que esses vetores são soluções do sistema \mathbf{X}'=\mathbf{A X}. A pergunta é apenas uma: “esses três vetores formam um sistema fundamental em (-\infty,\infty)?”]
Passo 2
O que significa “formar um sistema fundamental” aqui (explicando devagar e sem pular etapas):
Para um sistema linear de equações diferenciais de ordem 1 em \mathbb{R}^3, o espaço de soluções tem dimensão 3.
Um conjunto de três soluções forma um sistema fundamental (ou base de soluções) se e somente se são linearmente independentes em algum (e então em todo) ponto do intervalo considerado.
Uma maneira prática de testar independência linear de vetores-solução é calcular o determinante da matriz cujas colunas são essas soluções (o “Wronskiano” para sistemas). Se esse determinante for não nulo para algum t_{0} do intervalo, então as soluções são linearmente independentes em todo o intervalo (teorema padrão sobre o Wronskiano em sistemas lineares). Vou usar esse critério.
Passo 3
Formo a matriz cujas colunas são \mathbf{X}_1,\mathbf{X}_2,\mathbf{X}_3 e calculo seu determinante W(t):
Observe que para todo t\in(-\infty,\infty) temos e^{-t}>0, e como -84\neq0 segue que W(t)\neq0 para todo t\in(-\infty,\infty).
Resposta
Sim. Formam um sistema fundamental em (-\infty,\infty), pois \det[\mathbf{X}_1,\mathbf{X}_2,\mathbf{X}_3]=-84\,e^{-t}\neq0 para todo t\in(-\infty,\infty).