Os vetores dados são soluções de um sistema \mathbf{X}^{\prime}=\mathbf{A X}. Determine se os vetores formam um sistema fundamental em (-\infty, \infty).
20. \mathbf{X}{1}=\left( \begin{array}{r}1 \\ 6 \\ -13\end{array}\right), \quad \mathbf{X}{2}=\left( \begin{array}{r}1 \\ -2 \\ -1\end{array}\right) e^{-4 t}, \quad \mathbf{X}_{3}=\left( \begin{array}{r}2 \\ 3 \\ -2\end{array}\right) e^{3 t}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se os vetores dados são um sistema fundamental em (-\infty,\infty). As informações fornecidas são:
\mathbf{X}_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]6\\[4pt]-13\end{pmatrix},\qquad \mathbf{X}_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]-1\end{pmatrix}e^{-4t},\qquad \mathbf{X}_{3}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\\[4pt]-2\end{pmatrix}e^{3t}.
Você informou que esses vetores são soluções do sistema \mathbf{X}'=\mathbf{A X}. A pergunta é apenas uma: “esses três vetores formam um sistema fundamental em (-\infty,\infty)?”]

Passo 2

O que significa “formar um sistema fundamental” aqui (explicando devagar e sem pular etapas):
  • Para um sistema linear de equações diferenciais de ordem 1 em \mathbb{R}^3, o espaço de soluções tem dimensão 3.
  • Um conjunto de três soluções forma um sistema fundamental (ou base de soluções) se e somente se são linearmente independentes em algum (e então em todo) ponto do intervalo considerado.
  • Uma maneira prática de testar independência linear de vetores-solução é calcular o determinante da matriz cujas colunas são essas soluções (o “Wronskiano” para sistemas). Se esse determinante for não nulo para algum t_{0} do intervalo, então as soluções são linearmente independentes em todo o intervalo (teorema padrão sobre o Wronskiano em sistemas lineares). Vou usar esse critério.

Passo 3

Formo a matriz cujas colunas são \mathbf{X}_1,\mathbf{X}_2,\mathbf{X}_3 e calculo seu determinante W(t):
W(t)=\det\big[\mathbf{X}_1\\ \mathbf{X}_2\\ \mathbf{X}_3\big] =\det\begin{pmatrix} 1 & 1\cdot e^{-4t} & 2\cdot e^{3t}\\[4pt] 6 & -2\cdot e^{-4t} & 3\cdot e^{3t}\\[4pt] -13 & -1\cdot e^{-4t} & -2\cdot e^{3t} \end{pmatrix}.
Como a determinante é linear em cada coluna, posso fatorar os escalares e^{-4t} e e^{3t} das colunas 2 e 3:
W(t)=e^{-4t}e^{3t}\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\[4pt] 6 & -2 & 3\\[4pt] -13 & -1 & -2 \end{pmatrix} = e^{-t}\cdot \det(M),
onde
M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\[4pt] 6 & -2 & 3\\[4pt] -13 & -1 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculo \det(M) passo a passo. Usando desenvolvimento pela primeira linha:
\det(M)=1\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & 3\\[4pt]-1 & -2\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}6 & 3\\[4pt]-13 & -2\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}6 & -2\\[4pt]-13 & -1\end{pmatrix}.
Calculo cada menor 2\times2:
\det\begin{pmatrix}-2 & 3\\[4pt]-1 & -2\end{pmatrix}=(-2)(-2)-3(-1)=4+3=7,
\det\begin{pmatrix}6 & 3\\[4pt]-13 & -2\end{pmatrix}=6(-2)-3(-13)=-12+39=27,
\det\begin{pmatrix}6 & -2\\[4pt]-13 & -1\end{pmatrix}=6(-1)-(-2)(-13)=-6-26=-32.
Substituindo:
\det(M)=1\cdot 7 - 1\cdot 27 + 2\cdot(-32)=7-27-64=-84.]

Passo 5

Voltando para W(t):
W(t)=e^{-t}\cdot(-84)=-84\,e^{-t}.
Observe que para todo t\in(-\infty,\infty) temos e^{-t}>0, e como -84\neq0 segue que W(t)\neq0 para todo t\in(-\infty,\infty).

Resposta

Sim. Formam um sistema fundamental em (-\infty,\infty), pois \det[\mathbf{X}_1,\mathbf{X}_2,\mathbf{X}_3]=-84\,e^{-t}\neq0 para todo t\in(-\infty,\infty).

Exercícios relacionados