Verifique as seguintes igualdades:
1+2 i3+4 i+2-i5 i=6-8 i25.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente verificar essa igualdade envolvendo números complexos:
1+2i3+4i ;+;2 - i5i ;=;6-8i25
O conteúdo é divisão de números complexos e soma de frações. Para resolver a gente vai precisar:
  • Racionalizar denominadores de expressões com (multiplicar pelo conjugado ou por apropriado).
  • Somar frações complexas com denominadores diferentes.

Passo 2

Primeiro termo: 1+2i3+4i =(1+2i),(3-4i)(3+4i),(3-4i) .
Pra “tirar” o 1+2i3+4i = 11+2i25 do denominador, multiplico numerador e denominador pelo conjugado de , que é :
Explicando a teoria do conjugado: ao multiplicar , a parte imaginária some e sobra .
Agora calculemos:
Numerador:

Denominador:
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Passo 3

Segundo termo: 2 - i5i =(2 - i)(-i)5icdot(-i) =-2i + i^2-5i^2 =-2i -15 =-1 - 2i5 .
Aqui o denominador é . Pra eliminar o , multiplico numerador e denominador por (pois ):
Usei e .

Passo 4

Agora somamos
11+2i25 ;+;-1 -2i5
Pra somar, colocamos o mesmo denominador. O segundo já tem 5, pra virar 25 multiplico num. e den. por 5:
-1 -2i5 = -5 -10i25
Então
11+2i25 + -5-10i25 =(11+2i)+(-5-10i)25 =11 - 5 + 2i -10i25 =6 - 8i25

Resposta

Sim, a soma dá exatamente , então a igualdade está verificada.

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