Verifique as seguintes propriedades envolvendo módulo e conjugado de um número complexo: \left(z, w, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ; n \in \mathbb{N}\right)
|z|=|-z|=|\bar{z}|

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados z\in\mathbb{C}, vale a igualdade dos módulos
|z| = |-z| = |\bar{z}|.
O conteúdo usado será a definição de módulo em termos das partes real e imaginária e as propriedades básicas de potências.

Passo 2

Escrevemos z em coordenadas reais: seja
z = x + \mathrm{i}y,
onde x,y\in\mathbb{R}. Pela definição de módulo,
|z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}.

Passo 3

Para -z temos
-z = -x - \mathrm{i}y,
então
|-z| = \sqrt{(-x)^{2} + (-y)^{2}} = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = |z|.

Passo 4

Para o conjugado \bar{z} temos
\bar{z} = x - \mathrm{i}y,
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|\bar{z}| = \sqrt{x^{2} + (-y)^{2}} = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = |z|.

Passo 5

Juntando os resultados, concluímos que
|z| = |-z| = |\bar{z}|.

Resposta

|z| = |-z| = |\bar{z}|

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