Dados os sistemas lineares abaixo, faça o estudo de convergência e determine uma solução aproximada barx usando o método de Gauss-Seidel com aproximação inicial x^(0)=[lll0 & 0 & 0]^T e precisão varepsilon=10^-2.
3 x-4 y+z & =9 4 x-3 z & =-2 x+2 y+2 z & =3

Passo 1

Beleza, vou te ajudar num papo de amigo. A questão é sobre o método de Gauss–Seidel pra resolver o sistema linear
3x-4y+z=9 4x-3z=-2 x+2y+2z=3
com chute inicial x = f1(y,z), y = f2(x,z), z = f3(x,y) e precisão . Temos que:
  • Conteúdo: método iterativo de Gauss–Seidel e critério de convergência (dominância diagonal e critério de Sassenfeld).
  • Precisamos isolar cada variável numa forma do tipo
e depois checar se a iteração converge.

Passo 2

Isolando as variáveis, por exemplo:
  1. Da 2ª equação x = 3z-24 temos y = 3x+z-94
  2. Da 1ª equação z = 3 - x - 2y2 isolamos x^(k) = dfrac3,z^(k-1) - 24,[6pt] y^(k) = dfrac3,x^(k) + z^(k-1) - 94,[6pt] z^(k) = dfrac3 - x^(k) - 2,y^(k)2 :
  3. Da 3ª equação isolamos :
Logo, as fórmulas de iteração Gauss–Seidel são, no passo :

Passo 3

Critério da dominância diagonal: a matriz dos coeficientes
3&-4&14&0&-31&2&2
não é estritamente diagonal dominante (por linha, o módulo do elemento diagonal é menor que a soma dos módulos dos outros elementos). Então já não temos garantia de convergência por esse critério.

Passo 4

Critério de Sassenfeld: calculamos
beta1 = |3/4|1=0,75, beta2 = |3/4|beta1 + |1/4|1=0,8125, beta3 = |(-1/2)|beta1 + |(-2/2)|beta21=1,1875
Como , falha o critério de Sassenfeld. Logo, não há garantia de convergência.

Passo 5

Se tentarmos iterar a partir de , vemos que os valores oscilam e explodem em módulo (nenhuma sequência estacionária dentro de aparece). Isso confirma que o método diverge.

Resposta

O método de Gauss–Seidel NÃO converge para esse sistema (nem com a reorganização feita), ou seja, não existe aproximação dentro da precisão .

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