Dados os sistemas lineares abaixo, faça o estudo de convergência e determine uma solução aproximada usando o método de Gauss-Seidel com aproximação inicial e precisão .
Passo 1
Beleza, vou te ajudar num papo de amigo. A questão é sobre o método de Gauss–Seidel pra resolver o sistema linear
3x-4y+z=9 4x-3z=-2 x+2y+2z=3
com chute inicial x = f1(y,z), y = f2(x,z), z = f3(x,y) e precisão . Temos que:
Conteúdo: método iterativo de Gauss–Seidel e critério de convergência (dominância diagonal e critério de Sassenfeld).
Precisamos isolar cada variável numa forma do tipo
e depois checar se a iteração converge.
Passo 2
Isolando as variáveis, por exemplo:
Da 2ª equação x = 3z-24 temos y = 3x+z-94
Da 1ª equação z = 3 - x - 2y2 isolamos x^(k) = dfrac3,z^(k-1) - 24,[6pt] y^(k) = dfrac3,x^(k) + z^(k-1) - 94,[6pt] z^(k) = dfrac3 - x^(k) - 2,y^(k)2 :
Da 3ª equação isolamos :
Logo, as fórmulas de iteração Gauss–Seidel são, no passo :
Passo 3
Critério da dominância diagonal: a matriz dos coeficientes 3&-4&14&0&-31&2&2
não é estritamente diagonal dominante (por linha, o módulo do elemento diagonal é menor que a soma dos módulos dos outros elementos). Então já não temos garantia de convergência por esse critério.
Como , falha o critério de Sassenfeld. Logo, não há garantia de convergência.
Passo 5
Se tentarmos iterar a partir de , vemos que os valores oscilam e explodem em módulo (nenhuma sequência estacionária dentro de aparece). Isso confirma que o método diverge.
Resposta
O método de Gauss–Seidel NÃO converge para esse sistema (nem com a reorganização feita), ou seja, não existe aproximação dentro da precisão .