Verifique que o vetor \mathbf{X} é uma solução do sistema dado.
16. \mathrm{X}^{\prime}=\left( \begin{array}{rrr}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & -1\end{array}\right) \mathrm{X} ;\quad \mathrm{X}=\left( \begin{array}{c}\operatorname{sen} t \\ -\frac{1}{2} \operatorname{sen} t-\frac{1}{2} \cos t \\ -\operatorname{sen} t+\cos t\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor \mathbf{X} é uma solução do sistema diferencial dado. As informações fornecidas são:
\mathbf{X}' = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & 0 \\[4pt] -2 & 1 & -1\end{pmatrix}\mathbf{X},
e
\mathbf{X}(t)=\begin{pmatrix}\sin t \\[4pt] -\tfrac{1}{2}\sin t - \tfrac{1}{2}\cos t \\[4pt] -\sin t + \cos t\end{pmatrix}.
O que precisamos checar explicitamente é se a igualdade \mathbf{X}'(t)=A\,\mathbf{X}(t) vale para todo t, onde A é a matriz dada. Nada mais é pedido além de verificar essa igualdade.]

Passo 2

Primeiro vamos calcular \mathbf{X}'(t), ou seja, a derivada componente a componente. Lembrete rápido das regras de derivação que usaremos:
  • \dfrac{d}{dt}\sin t = \cos t.
  • \dfrac{d}{dt}\cos t = -\sin t.
  • A derivada é linear: \dfrac{d}{dt}(a f(t)+b g(t))=a f'(t)+b g'(t) para constantes a,b.
Agora aplicamos isso a cada componente de \mathbf{X}(t).

Passo 3

Derivando a primeira componente \sin t:
\frac{d}{dt}(\sin t)=\cos t.
Derivando a segunda componente -\tfrac{1}{2}\sin t - \tfrac{1}{2}\cos t:
\frac{d}{dt}\Big(-\tfrac{1}{2}\sin t - \tfrac{1}{2}\cos t\Big) = -\tfrac{1}{2}\cos t + \tfrac{1}{2}\sin t = \tfrac{1}{2}\sin t - \tfrac{1}{2}\cos t.
Derivando a terceira componente -\sin t + \cos t:
\frac{d}{dt}(-\sin t + \cos t)= -\cos t - \sin t = -(\sin t + \cos t).
Portanto
\mathbf{X}'(t)=\begin{pmatrix} \cos t \\[4pt] \tfrac{1}{2}\sin t - \tfrac{1}{2}\cos t \\[4pt] - \sin t - \cos t \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora vamos calcular A\,\mathbf{X}(t), isto é, multiplicar a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & 0 \\[4pt] -2 & 1 & -1\end{pmatrix}
pelo vetor \mathbf{X}(t)=\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} com
x_1=\sin t,\qquad x_2=-\tfrac{1}{2}\sin t - \tfrac{1}{2}\cos t,\qquad x_3=-\sin t + \cos t.
Regra de multiplicação: cada componente do produto é o produto escalar da linha correspondente de A com o vetor \mathbf{X}.]

Passo 5

Cálculo da primeira componente de A\mathbf{X}:
(A\mathbf{X})_1 = 1\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 1\cdot x_3 = x_1 + x_3.
Substituindo x_1 e x_3:
x_1 + x_3 = \sin t + (-\sin t + \cos t) = \cos t.
Logo
(A\mathbf{X})_1 = \cos t,
que coincide com a primeira componente de \mathbf{X}'(t).

Passo 6

Cálculo da segunda componente de A\mathbf{X}:
(A\mathbf{X})_2 = 1\cdot x_1 + 1\cdot x_2 + 0\cdot x_3 = x_1 + x_2.
Substituindo x_1 e x_2:
x_1 + x_2 = \sin t + \Big(-\tfrac{1}{2}\sin t - \tfrac{1}{2}\cos t\Big) = \tfrac{1}{2}\sin t - \tfrac{1}{2}\cos t.
Portanto
(A\mathbf{X})_2 = \tfrac{1}{2}\sin t - \tfrac{1}{2}\cos t,
que também coincide com a segunda componente de \mathbf{X}'(t).

Passo 7

Cálculo da terceira componente de A\mathbf{X}:
(A\mathbf{X})_3 = -2\cdot x_1 + 1\cdot x_2 + (-1)\cdot x_3 = -2x_1 + x_2 - x_3.
Agora substituímos x_1,x_2,x_3:
\begin{aligned} -2x_1 + x_2 - x_3 &= -2\sin t + \Big(-\tfrac{1}{2}\sin t - \tfrac{1}{2}\cos t\Big) -\big(-\sin t + \cos t\big)\\[4pt] &= -2\sin t -\tfrac{1}{2}\sin t -\tfrac{1}{2}\cos t + \sin t - \cos t\\[4pt] &= \big(-2 -\tfrac{1}{2} + 1\big)\sin t + \big(-\tfrac{1}{2} -1\big)\cos t\\[4pt] &= -\tfrac{3}{2}\sin t - \tfrac{3}{2}\cos t\\[4pt] &= -\tfrac{3}{2}(\sin t + \cos t). \end{aligned}
Assim
(A\mathbf{X})_3 = -\tfrac{3}{2}\sin t - \tfrac{3}{2}\cos t.]

Passo 8

Comparando componente a componente:
  • Primeira componente: \mathbf{X}'_1=\cos t e (A\mathbf{X})_1=\cos t — coincidem.
  • Segunda componente: \mathbf{X}'_2=\tfrac{1}{2}\sin t - \tfrac{1}{2}\cos t e (A\mathbf{X})_2=\tfrac{1}{2}\sin t - \tfrac{1}{2}\cos t — coincidem.
  • Terceira componente: \mathbf{X}'_3= -\sin t - \cos t = -(\sin t + \cos t), enquanto (A\mathbf{X})_3 = -\tfrac{3}{2}(\sin t + \cos t). Essas duas expressões não são iguais (a menos que \sin t + \cos t fosse sempre zero, o que não é verdadeiro para todo t). Portanto \mathbf{X}'(t)\neq A\mathbf{X}(t) para valores gerais de t.
Conclusão: o vetor fornecido não satisfaz a igualdade do sistema diferencial (falha na terceira componente). Não desanime — fizemos passo a passo correto e vimos claramente onde dá problema.

Resposta

Não; \mathbf{X}'(t)\neq A\mathbf{X}(t). Em particular \mathbf{X}'_3=-\sin t-\cos t enquanto (A\mathbf{X})_3=-\tfrac{3}{2}\sin t-\tfrac{3}{2}\cos t, então a igualdade falha.

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