\mathbf{X}(t)=\begin{pmatrix}\sin t \\[4pt] -\tfrac{1}{2}\sin t - \tfrac{1}{2}\cos t \\[4pt] -\sin t + \cos t\end{pmatrix}.
O que precisamos checar explicitamente é se a igualdade \mathbf{X}'(t)=A\,\mathbf{X}(t) vale para todo t, onde A é a matriz dada. Nada mais é pedido além de verificar essa igualdade.]
Passo 2
Primeiro vamos calcular \mathbf{X}'(t), ou seja, a derivada componente a componente. Lembrete rápido das regras de derivação que usaremos:
\dfrac{d}{dt}\sin t = \cos t.
\dfrac{d}{dt}\cos t = -\sin t.
A derivada é linear: \dfrac{d}{dt}(a f(t)+b g(t))=a f'(t)+b g'(t) para constantes a,b.
Agora aplicamos isso a cada componente de \mathbf{X}(t).
Passo 3
Derivando a primeira componente \sin t:
\frac{d}{dt}(\sin t)=\cos t.
Derivando a segunda componente -\tfrac{1}{2}\sin t - \tfrac{1}{2}\cos t:
\frac{d}{dt}\Big(-\tfrac{1}{2}\sin t - \tfrac{1}{2}\cos t\Big) = -\tfrac{1}{2}\cos t + \tfrac{1}{2}\sin t = \tfrac{1}{2}\sin t - \tfrac{1}{2}\cos t.
Derivando a terceira componente -\sin t + \cos t:
\frac{d}{dt}(-\sin t + \cos t)= -\cos t - \sin t = -(\sin t + \cos t).
Portanto
\mathbf{X}'(t)=\begin{pmatrix} \cos t \\[4pt] \tfrac{1}{2}\sin t - \tfrac{1}{2}\cos t \\[4pt] - \sin t - \cos t \end{pmatrix}.]
Passo 4
Agora vamos calcular A\,\mathbf{X}(t), isto é, multiplicar a matriz
\begin{aligned} -2x_1 + x_2 - x_3 &= -2\sin t + \Big(-\tfrac{1}{2}\sin t - \tfrac{1}{2}\cos t\Big) -\big(-\sin t + \cos t\big)\\[4pt] &= -2\sin t -\tfrac{1}{2}\sin t -\tfrac{1}{2}\cos t + \sin t - \cos t\\[4pt] &= \big(-2 -\tfrac{1}{2} + 1\big)\sin t + \big(-\tfrac{1}{2} -1\big)\cos t\\[4pt] &= -\tfrac{3}{2}\sin t - \tfrac{3}{2}\cos t\\[4pt] &= -\tfrac{3}{2}(\sin t + \cos t). \end{aligned}
Assim
(A\mathbf{X})_3 = -\tfrac{3}{2}\sin t - \tfrac{3}{2}\cos t.]
Passo 8
Comparando componente a componente:
Primeira componente: \mathbf{X}'_1=\cos t e (A\mathbf{X})_1=\cos t — coincidem.
Segunda componente: \mathbf{X}'_2=\tfrac{1}{2}\sin t - \tfrac{1}{2}\cos t e (A\mathbf{X})_2=\tfrac{1}{2}\sin t - \tfrac{1}{2}\cos t — coincidem.
Terceira componente: \mathbf{X}'_3= -\sin t - \cos t = -(\sin t + \cos t), enquanto (A\mathbf{X})_3 = -\tfrac{3}{2}(\sin t + \cos t). Essas duas expressões não são iguais (a menos que \sin t + \cos t fosse sempre zero, o que não é verdadeiro para todo t). Portanto \mathbf{X}'(t)\neq A\mathbf{X}(t) para valores gerais de t.
Conclusão: o vetor fornecido não satisfaz a igualdade do sistema diferencial (falha na terceira componente). Não desanime — fizemos passo a passo correto e vimos claramente onde dá problema.
Resposta
Não; \mathbf{X}'(t)\neq A\mathbf{X}(t). Em particular \mathbf{X}'_3=-\sin t-\cos t enquanto (A\mathbf{X})_3=-\tfrac{3}{2}\sin t-\tfrac{3}{2}\cos t, então a igualdade falha.