Suponha que uma força para cima de resistência do ar em um objeto em queda livre seja proporcional ao quadrado da velocidade. Nesse caso, a velocidade pode ser calculada por:
v(t)=raizg mcd tanh (raizg cdm t)
em que cd é o coeficiente de arrasto de segunda ordem, g é a aceleração da gravidade, m é a massa do objeto e t é o tempo.
(b) Repita o mesmo cálculo utilizando a Regra dos Trapézios repetidos. Use um valor de n suficientemente grande para obter uma acurácia tal que o erro seja <10 % do valor exato.

Passo 1

Então, resumindo: a gente tem a velocidade de um objeto em queda livre com arrasto quadrático:
v(t)=raizg,mcd;tanh!l(raiztfracg,cdm;tr)
No item (b) precisamos “repetir o mesmo cálculo” que fizemos em (a), isto é, calcular o deslocamento
x(t)=integral0^tv(tau),dtau
só que agora aproximando essa integral pelos Trapézios repetidos, escolhendo um número de subintervalos suficientemente grande para que o erro seja menor que 10% do valor exato.
Conteúdo: Regra dos Trapézios repetidos, cálculo de erro e escolha de .

Passo 2

Primeiro: escrevemos a integral exata. Defina
a = raizg,cdm, A = raizg,mcd,
Então
xrm exato(t) = integral0^t A,tanh(a,tau),dtau = Aa,ln!l(cosh(a,t)r),
Esse é o valor “verdadeiro” do deslocamento até o tempo .

Passo 3

Agora vamos aproximar por Trapézios repetidos. Dividimos o intervalo h = tn, em xn = hl[tfrac12,v(0) + v(tau1)+v(tau2)+cdots+v(taun-1) + tfrac12,v(taun)r] pedaços de comprimento
xn = h2,v(0) + hsumi=1^n-1v(taui) + h2,v(t)
Definimos os nós , . A regra dos trapézios dá:
Ou seja

Passo 4

Para saber quão grande deve ser l|xn - xrm exator| <= (t-0)^312,n^2,max0<= tau<= tl|x''(tau)r| , usamos o limite de erro da regra dos trapézios:
v(tau)=A,tanh(atau),
Aqui v'(tau)=A,a,sech^2(atau), v''(tau)=-2,A,a^2,sech^2(atau),tanh(atau) é a segunda derivada do integrando . Como
vemos
O máximo de em vale no pior caso
.

Passo 5

Então exigimos
t^312,n^2;2,A,a^2 < 0.1,xrm exato(t)
Isolando n > raiz2,a^2,t^312cdot0.1,xrm exato(t),A = raiza^2,t^30.6,xrm exato(t),A, :
Basta calcular , inserir e e pegar o menor inteiro acima desse valor.

Resposta

Para aproximar
x(t)=integral0^t v(tau),dtau
com erro <10% do exato,
  1. use xn = hl[tfrac12v(0)+sumi=1^n-1v(i,h)+tfrac12v(t)r] subdivisões e n > raiza^2,t^30.6,l(tfracAalncosh(a t)r),A com A=raiztfracgmcd,; a=raiztfracg,cdm ;
  2. calcule
  1. escolha o menor inteiro que satisfaça
Esse garante erro abaixo de 10%.

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