Suponha que uma força para cima de resistência do ar em um objeto em queda livre seja proporcional ao quadrado da velocidade. Nesse caso, a velocidade pode ser calculada por:
em que é o coeficiente de arrasto de segunda ordem, é a aceleração da gravidade, é a massa do objeto e é o tempo.
(b) Repita o mesmo cálculo utilizando a Regra dos Trapézios repetidos. Use um valor de n suficientemente grande para obter uma acurácia tal que o erro seja do valor exato.
Passo 1
Então, resumindo: a gente tem a velocidade de um objeto em queda livre com arrasto quadrático:
No item (b) precisamos “repetir o mesmo cálculo” que fizemos em (a), isto é, calcular o deslocamento
só que agora aproximando essa integral pelos Trapézios repetidos, escolhendo um número de subintervalos suficientemente grande para que o erro seja menor que 10% do valor exato.
Conteúdo: Regra dos Trapézios repetidos, cálculo de erro e escolha de .
Passo 2
Primeiro: escrevemos a integral exata. Defina
Então
Esse é o valor “verdadeiro” do deslocamento até o tempo .
Passo 3
Agora vamos aproximar por Trapézios repetidos. Dividimos o intervalo em pedaços de comprimento
Definimos os nós , . A regra dos trapézios dá:
Ou seja
Passo 4
Para saber quão grande deve ser , usamos o limite de erro da regra dos trapézios:
Aqui v'(tau)=A,a,sech^2(atau), v''(tau)=-2,A,a^2,sech^2(atau),tanh(atau) é a segunda derivada do integrando . Como
vemos
O máximo de em vale no pior caso .
Passo 5
Então exigimos
t^312,n^2;2,A,a^2 < 0.1,xrm exato(t)
Isolando n > raiz2,a^2,t^312cdot0.1,xrm exato(t),A = raiza^2,t^30.6,xrm exato(t),A, :
Basta calcular , inserir e e pegar o menor inteiro acima desse valor.
Resposta
Para aproximar
x(t)=integral0^t v(tau),dtau
com erro <10% do exato,
use xn = hl[tfrac12v(0)+sumi=1^n-1v(i,h)+tfrac12v(t)r] subdivisões e n > raiza^2,t^30.6,l(tfracAalncosh(a t)r),A com A=raiztfracgmcd,; a=raiztfracg,cdm ;