Numa determinada progressão aritmética temos a_{p}=q e a_{q}=p. Calcule a_{p+q}.

Passo 1

O enunciado diz que \bigl(a_n\bigr) é uma progressão aritmética, ou seja,
a_n = a_1 + (n-1)d
para algum a_1 e razão d. Sabemos que
a_{p} = q \quad\text{e}\quad a_{q} = p
e precisamos encontrar a_{p+q}.

Passo 2

Escrevendo as duas condições em função de a_1 e d:
a_p = a_1 + (p-1)d = q,
a_q = a_1 + (q-1)d = p.

Passo 3

Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos
\bigl[a_1 + (p-1)d\bigr] - \bigl[a_1 + (q-1)d\bigr] = q - p
(p-1 - (q-1))\,d = q - p
(p - q)\,d = q - p
Logo,
d = \frac{q-p}{p-q} = -1.

Passo 4

Substituindo d=-1 em a_1 + (p-1)d = q, vem
a_1 + (p-1)(-1) = q \quad\Longrightarrow\quad a_1 = q + p - 1.

Passo 5

Agora calculamos
a_{p+q} = a_1 + \bigl(p+q-1\bigr)d = \bigl(q + p - 1\bigr) + (p+q-1)\,(-1) = 0.

Resposta

0

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