Se x^3-1=14, calcule o valor de x^6-12 x^3+2.

Passo 1

Resumo do enunciado: Se x^6 - 12x^3 + 2 , calcule o valor de
Conteúdo da matéria: álgebra de expoentes, fatoração de diferença de quadrados e simplificação de frações algébricas. Vamos precisar usar que
  1. ,
  2. a fatoração de diferença de quadrados: ,
  3. propriedades de frações para cancelar fatores em comum,
  4. substituição direta de valores já conhecidos.

Passo 2

Primeiro, da equação x^3 = 14 + 1 = 15 , isolamos :
Isso nos dá o valor de que vamos usar na expressão.

Passo 3

Observamos a expressão
x^6 - 12x^3 + 2
Note que x^6 - 1 = (x^3)^2 - 1^2 = (x^3 - 1),(x^3 + 1) , então podemos ver o numerador como diferença de quadrados:
2x^3 + 2 = 2,(x^3 + 1)
O denominador pode ser colocado em evidência:

Passo 4

Substituindo essas fatorações na fração, temos
x^6 - 12x^3 + 2 = (x^3 - 1)(x^3 + 1)2,(x^3 + 1)
Agora percebemos que = x^3 - 12 aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar:
x^3 - 12 = 15 - 12 = 142 = 7
Finalmente, substituímos :

Resposta

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