Desempenho de Aletas

Teoria Completa

Eficiência da Aleta η a

A taxa máxima na qual uma aleta poderia perder calor por convecção q a , m á x é aquela que ocorreria se a toda a aleta estivesse na temperatura da base T b . Nesse caso:

q a , m a x = h . A a . T b - T ∞

q a , m a x = h . A a . θ b

Onde A a é a área de troca térmica da aleta (área da extremidade e das laterais).

Mas como a temperatura da aleta vai diminuindo da base até sua extremidade, a quantidade de calor trocada é menor que q a , m a x . Então, a gente pode escrever que a taxa real de calor q a é dada por:

q a = η a . h . A a . θ b

Em que η a é a eficiência da aleta, um número entre 0 e 1 , que pode ser encarada como a razão entre a taxa de calor real ( q a ) e a taxa de calor se toda a aleta estivesse na temperatura da base T b :

η a = q a h . A a . θ b  

Eficácia ou Efetividade da Aleta ε a

Além da eficiência, existe outro parâmetro também utilizado, que é a efeividade da aleta ( ε a ). Ele é a razão entre a taxa de calor real da aleta por convecção ( q a ) e a taxa de convecção que haveria se a superfície não tivesse aleta.

ε a = q a h . A c , b . θ b  

Em que A c , b é a área da seção transversal na base da aleta.

Maaaaaas, não podemos afirmar com convicção que a transferência de calor vai melhorar se colocarmos uma aleta.

A aleta também representa uma resistência térmica à transferência de calor na superfície original. Por isso não dá pra afirmar logo de cara que a taxa de transferência de calor vai aumentar. E esse é um dos motivos de usarmos a efetividade para fazer essa avaliação.

Resistência Térmica da Aleta

Como já falamos em resistência térmica, vamos um pouco além com esse conceito, ok? Por definição, a resistência térmica é a razão entre o gradiente de temperatura e a taxa de transferência de calor, logo:

R a = θ b q a = θ b η a . h . A a . θ b

Logo, a resistência térmica da aleta ( R a ) é dada por:

R a = 1 η a . h . A a  

Isso quer dizer que a gente pode calcular a resistência térmica pra determinar a taxa de calor da aleta.

Pra isso, a gente precisa determinar a eficiência da aleta. “Mas como?” Cada geometria de aleta tem uma eficiência diferente e existem basicamente duas formas de se calculá-la: por gráficos ou por equações.

Os gráficos são mostrados aqui embaixo e a tabela com as equações está no fim desse conteúdo:

Para algumas das geometrias, você verá os termos comprimento corrigido ( L c ) e raio corrigido ( r 2 c ). Eles são uma estratégia, para que todos os casos possam ser tratados como tendo uma condição de contorno de extremidade adiabática.

“Mas como assim?” Uma aleta que troca calor simultaneamente pelas suas laterais e pela extremidade é igual a uma aleta que só troca calor pelas laterais, mas com uma área lateral um pouquinho maior.

Porque, afinal, a gente pode considerar a contribuição da área da extremidade como se fosse uma porção adicional da área lateral e isso facilita bastante a nossa vida.

Daí, esse comprimento ou raio que garante que a área lateral é grande o suficiente pra contabilizar a área da extremidade é o comprimento ou raio corrigido. Mas não se preocupa, que tem nos gráficos como calcular eles! ^^

Agora que a gente já virou os mestres das aletas, bora encarar os exercícios!

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Exercício Resolvido #1

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.

Aletas de alumínio ( k = 240   W . m - 1 . K - 1 ) de perfil triangular são fixadas em uma parede cuja temperatura de superfície é 250 o C . A base da aleta possui 2   m m de espessura e seu comprimento é de 6   m m . O sistema está no ar ambiente a temperatura de 20 o C é o coeficiente de convecção de superfície é 40   W . m - 2 . K - 1 .

a Quais são a eficiência e a efetividade da aleta?

b Qual o calor dissipado por unidade de largura para uma única aleta?

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Passo 1

a Quais são a eficiência e a efetividade da aleta?

O enunciado propõe uma aleta triangular como mostrado aqui embaixo:

Para este tipo de geometria, a gente precisa tirar a eficiência no gráfico:

Pra isso, a gente precisa calcular o valor do eixo x do gráfico ( L c = L ):

x = L 3 / 2 . h k . A p

Em que:

A p = L . t 2                 →                 A p = 0,006   m . 0,002   m 2                 →                 A p = 6   x   10 - 6   m 2

Assim:

x = ( 0,006   m ) 3 / 2 . ( 40   W . m - 2 . K - 1 ) ( 2 40   W . m - 1 . K - 1 ) . ( 6   x   10 - 6   m 2 )

x = 0,077

Pelo gráfico:

Logo:

η a = 0,99

Passo 2

Por definição, a efetividade e a eficiência de aletas são calculadas, respectivamente, por:

ε a = q a h . A c , b . θ b                       e                       η a = q a h . A a . θ b

Então a gente pode relacionar as duas por meio da taxa q a :

q a = ε a . h . A c , b . θ b = η a . h . A a . θ b

Assim:

ε a = η a . A a A c , b

Passo 3

Vamos trabalhar nas áreas para calcular a efetividade da aleta. O termo A a é a área da aleta e A c , b é a área da seção transversal na base. Elas são dadas por:

A a = 2 . x . w                   e                 A c , b = t . w

Em que x pode ser entendido pela imagem abaixo:

Logo:

A a = 2 . t 2 2 + L 2 . w

Dividindo pela largura w , a gente fica com a área por unidade de comprimento:

A a ' = 2 . 0,002   m 2 2 + 0,006   m 2

A a ' = 0,0122   m

Além disso, a área da base por unidade de comprimento será:

A c , b ' = t

A c , b ' = 0,002   m

Dessa maneira, a efetividade será:

ε a = ( 0,99 ) . 0,0122   m 0,002   m

ε a = 6,04

Passo 4

b Qual o calor dissipado por unidade de largura para uma única aleta?

A taxa de calor por unidade de largura pode ser calculada tanto pela eficiência quanto pela efetividade, dado que a gente já sabe as duas!

Vou escolher usar a efetividade, mas tanto faz, tá bem? :) Pela definição:

ε a = q a h . A c , b . θ b

Logo:

q a = ε a . h . A c , b . θ b

Dividindo pela largura da aleta ( w ) em ambos os lados, ficamos com:

q a ' = ε a . h . A c , b ' . θ b

Substituindo os valores do enunciado:

q a = 6,04 . 40   W . m - 2 . K - 1 . 0,002   m . 523 - 293   K

q a = 111,1   W

Resposta

a

η a = 0,99               e                 ε a = 6,04

b

q a = 111,1   W

Exercício Resolvido #2

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.

Uma barra de diâmetro D = 25   m m e condutividade térmica k = 60   W . m - 1 . K - 1 se projeta na direção normal, a partir de uma parede de uma fornalha que está a uma temperatura T w = 200 o C e é coberta com um isolamento de espessura L i = 200   m m . A barra é soldada à parede da fornalha e é utilizada como um gancho para suporte de cabos de instrumentação. Para evitar danos aos cabos, a temperatura da barra em sua superfície exposta ( T o ) deve ser mantida abaixo do limite de operação especificado de T o , m a x = 100 o C . A temperatura do ar ambiente é T ∞ = 25 o C é o coeficiente de convecção,   h = 15   W . m - 2 . K - 1 .

Calcule a temperatura T o   da superfície exposta em função dos parâmetros térmicos e geométricos dados. A barra possui um comprimento exposto de L o = 200   m m e sua extremidade é bem isolada. Verifique se a temperatura ultrapassa o limite.

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Passo 1

Antes de partir pros cálculos, bora entender a situação? No problema, a gente tem uma aleta de seção uniforme circular, em que parte dela está isolada e parte dela pode trocar calor. Além disso, sua extremidade também está isolada!

Como o forno é a região mais quente da situação, esperamos que o fluxo saia de sua parede em sentido do ar ambiente.

Mas, como a parte inicial da aleta está isolada, a energia é transportada somente por condução incialmente ao longo da aleta e, depois, ela passa a ser transportada por condução até o final, mas também é liberada por convecção para o ambiente na região sem isolamento. Entendido?

Bom, no problema, a temperatura de toda a barra não deve ultrapassar os 100 o C . Mas se a gente garantir que a temperatura logo após o isolamento é menor que 100 o C , então garantimos que toda a barra estará numa temperatura menor que 100 o C .

Isso acontece porque ao longo da barra, ela troca calor com o ambiente e a temperatura vai diminuindo.

Passo 2

Beleza! Entendido o problema, a gente pode então usar nossa estratégia de montar o circuito térmico pra achar a temperatura T o :

Como a taxa é constante ao longo de todo o circuito, a gente tem duas formas de se fazer a questão pelo menos:

I) Por meio das equações analíticas da taxa de calor de aletas

A gente sabe que a taxa de calor que passa por uma aleta de seção uniforme com extremidade adiabática (caso B ) é dada por:

q a = M . tanh ⁡ ( m L )

Em que:

M = h . P . k . A c . T o - T ∞                         e                         m = h . P k . A c

Como a taxa é constante, a gente pode escrever que:

q = M . tanh ⁡ ( m L ) = ( T w - T o ) R c o n d

Substituindo a expressão de M :

h . P . k . A c . T o - T ∞ . tanh ⁡ m . L = ( T w - T o ) R c o n d

Nessa equação, a única incógnita é a temperatura T o e a gente consegue resolver!

Passo 3

A segunda forma de fazer a questão é:

II) Por meio dos gráficos de eficiência.

Se a taxa é constante, então a taxa de calor que passa pelo trecho isolado é igual à taxa que passa por todo o sistema:

q = ( T w - T o ) R c o n d = T w - T ∞ R c o n d + R t , a

Isolando a temperatura T o na equação, a gente fica com:

T o = T w - R c o n d . T w - T ∞ R c o n d + R t , a

Em que as temperaturas T w e T ∞ são conhecidas e as resistências são calculadas por:

R c o n d = L i k . A c                   e                     R t , a = 1 h . A a . η a

E, assim, a gente pode calcular cada uma das resistências pra determinar a temperatura T o . Daí pra calcular a R t , a , a gente precisaria da eficiência ( η a ), que é obtida por um dos gráficos que vimos na teoria!

Passo 4

Aqui vou fazer com vocês a resolução pela equação analítica, que é sempre mais preciso usar equações do que gráficos! Recapitulando, a gente descobriu a seguinte equação: h . P . k . A c . T o - T ∞ . tanh ⁡ m . L = ( T w - T o ) R c o n d

Então, bora calcular o que dá pra calcular, como: o perímetro P , o valor de m e a resistência por condução R c o n d .

O perímetro é dado por:

P = π . D                       →                       P = π . 0,025   m                       →                       P = 0,0785   m

E o valor de m é dado abaixo:

m = h . P k . A c

Em que a área A c é a área transversal da aleta, ou seja, a área de um círculo como diâmetro D ! Sendo assim:

m = 15   W . m - 2 . K - 1 . 0,0785   m 60   W . m - 1 . K - 1 . π . 0,025   m 2 4

m = 6,3245   m - 1

Agora, a gente pode calcular a resistência de condução:

R c o n d = L i k . A c

Substituindo os valores:

R c o n d = 0,200   m 60   W . m - 1 . K - 1 . π . 0,025   m 2 4

R c o n d = 6,791   K . W - 1

Passo 5

Pronto! Substituindo todos os valores conhecidos, ficamos com:

M . tanh ⁡ ( 6,3245 ) . ( 0,200   m ) = [ ( 473   K ) - T o ] 6,791   K . W - 1

M . 0,8524 = [ ( 473   K ) - T o ] ( 6,791   K . W - 1 )

Em que, o valor de M será:

M = 15 W m 2 . K . 0,0785   m . 60 W m . K . π . 0,025   m 2 4 . T o - 298   K

M = 0,1862 . T o - 298   K

Dessa maneira, substituindo na equação:

M . 0,8524 = [ ( 473   K ) - T o ] ( 6,791   K . W - 1 )

0,1862 . T o - 298   K . 0,8524 = [ ( 473   K ) - T o ] ( 6,791   K . W - 1 )

Reorganizando a equação:

1,0778 . T o - 298   K = [ ( 473   K ) - T o ]

Isolando a temperatura:

T o = 3 82 , 2   K

Isso equivale a cerca de 109,1 o C . Logo, a temperatura vai ultrapassar o limite estabelecido de 100 o C .

Resposta

A temperatura T o equivale, em graus Celsius, a 109,1 o C . Logo, a temperatura vai ultrapassar o limite estabelecido de 100 o C .

Exercício Resolvido #3

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.

Tubos de aço utilizados no transporte de água pressurizada são unidos por flanges de espessura t = 15   m m . Os diâmetros interno e externo dos tubos são D i = 120   m m e D e = 150   m m , respectivamente, e o diâmetro externo dos flanges é D f = 250   m m .

Em condições normais de operação, a superfície interna do tubo encontra-se a uma temperatura de T s ,   i = 300 o C , enquanto o ar ambiente está a T ∞ = 20 o C . Se o coeficiente de convecção nas superfícies dos flanges é h = 10   W . m - 2 . K - 1 , qual a perda de calor através dos flanges? Considere a condutividade térmica do tubo e do flange iguais a k = 40   W . m - 1 . K - 1 .

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Passo 1

Pra achar a taxa de calor que é perdida pelo sistema, bora dar uma olhadinha na vista lateral do desenho aqui embaixo:

O que tá acontecendo nesse problema? A superfície mais interna do sistema está bem quente ( T s , i ) e tem um fluido a temperatura ambiente do lado de fora ( T ∞ ). Dessa forma, a gente espera que haja um fluxo de calor de dentro pra fora.

A presença dos flanges acaba tendo a função de uma aleta, pois aumenta a área de troca térmica para o ambiente externo. Então, é só a gente fazer usar as fórmulas de aletas! ^^

Já que não há geração em nenhum dos materiais, a gente pode usar a estratégia do circuito térmico! Ficaria da seguinte maneira:

Então, a taxa de calor pode ser escrita em função das resistências:

q = ( T s , i -   T ∞ ) R t , p + R t , a

Em que as resistências térmicas de condução na parede cilíndrica ( R t , p ) e no flange ( R t , a ) são calculadas por:

R t , p = ln ⁡ D e D i 4 π . k . t                   e                       R t , a = 1 h . A a . η a

Passo 2

Bora calcular as resistências! Primeiro com a que a gente já tá mais acostumado: