Desempenho de Aletas

Teoria Completa

Eficiência da Aleta η a

A taxa máxima na qual uma aleta poderia perder calor por convecção q a , m á x é aquela que ocorreria se a toda a aleta estivesse na temperatura da base T b . Nesse caso:

q a , m a x = h . A a . T b - T ∞

q a , m a x = h . A a . θ b

Onde A a é a área de troca térmica da aleta (área da extremidade e das laterais).

Mas como a temperatura da aleta vai diminuindo da base até sua extremidade, a quantidade de calor trocada é menor que q a , m a x . Então, a gente pode escrever que a taxa real de calor q a é dada por:

q a = η a . h . A a . θ b

Em que η a é a eficiência da aleta, um número entre 0 e 1 , que pode ser encarada como a razão entre a taxa de calor real ( q a ) e a taxa de calor se toda a aleta estivesse na temperatura da base T b :

η a = q a h . A a . θ b  

Eficácia ou Efetividade da Aleta ε a

Além da eficiência, existe outro parâmetro também utilizado, que é a efeividade da aleta ( ε a ). Ele é a razão entre a taxa de calor real da aleta por convecção ( q a ) e a taxa de convecção que haveria se a superfície não tivesse aleta.

ε a = q a h . A c , b . θ b  

Em que A c , b é a área da seção transversal na base da aleta.

Maaaaaas, não podemos afirmar com convicção que a transferência de calor vai melhorar se colocarmos uma aleta.

A aleta também representa uma resistência térmica à transferência de calor na superfície original. Por isso não dá pra afirmar logo de cara que a taxa de transferência de calor vai aumentar. E esse é um dos motivos de usarmos a efetividade para fazer essa avaliação.

Resistência Térmica da Aleta

Como já falamos em resistência térmica, vamos um pouco além com esse conceito, ok? Por definição, a resistência térmica é a razão entre o gradiente de temperatura e a taxa de transferência de calor, logo:

R a = θ b q a = θ b η a . h . A a . θ b

Logo, a resistência térmica da aleta ( R a ) é dada por:

R a = 1 η a . h . A a  

Isso quer dizer que a gente pode calcular a resistência térmica pra determinar a taxa de calor da aleta.

Pra isso, a gente precisa determinar a eficiência da aleta. “Mas como?” Cada geometria de aleta tem uma eficiência diferente e existem basicamente duas formas de se calculá-la: por gráficos ou por equações.

Os gráficos são mostrados aqui embaixo e a tabela com as equações está no fim desse conteúdo:

Para algumas das geometrias, você verá os termos comprimento corrigido ( L c ) e raio corrigido ( r 2 c ). Eles são uma estratégia, para que todos os casos possam ser tratados como tendo uma condição de contorno de extremidade adiabática.

“Mas como assim?” Uma aleta que troca calor simultaneamente pelas suas laterais e pela extremidade é igual a uma aleta que só troca calor pelas laterais, mas com uma área lateral um pouquinho maior.

Porque, afinal, a gente pode considerar a contribuição da área da extremidade como se fosse uma porção adicional da área lateral e isso facilita bastante a nossa vida.

Daí, esse comprimento ou raio que garante que a área lateral é grande o suficiente pra contabilizar a área da extremidade é o comprimento ou raio corrigido. Mas não se preocupa, que tem nos gráficos como calcular eles! ^^

Agora que a gente já virou os mestres das aletas, bora encarar os exercícios!

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Exercício Resolvido #1

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.

Aletas de alumínio ( k = 240   W . m - 1 . K - 1 ) de perfil triangular são fixadas em uma parede cuja temperatura de superfície é 250 o C . A base da aleta possui 2   m m de espessura e seu comprimento é de 6   m m . O sistema está no ar ambiente a temperatura de 20 o C é o coeficiente de convecção de superfície é 40   W . m - 2 . K - 1 .

a Quais são a eficiência e a efetividade da aleta?

b Qual o calor dissipado por unidade de largura para uma única aleta?

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Passo 1

a Quais são a eficiência e a efetividade da aleta?

O enunciado propõe uma aleta triangular como mostrado aqui embaixo:

Para este tipo de geometria, a gente precisa tirar a eficiência no gráfico:

Pra isso, a gente precisa calcular o valor do eixo x do gráfico ( L c = L ):

x = L 3 / 2 . h k . A p

Em que:

A p = L . t 2                 →                 A p = 0,006   m . 0,002   m 2                 →                 A p = 6   x   10 - 6   m 2

Assim:

x = ( 0,006   m ) 3 / 2 . ( 40   W . m - 2 . K - 1 ) ( 2 40   W . m - 1 . K - 1 ) . ( 6   x   10 - 6   m 2 )

x = 0,077

Pelo gráfico:

Logo:

η a = 0,99

Passo 2

b Qual o calor dissipado por unidade de largura para uma única aleta?

Por definição, a efetividade e a eficiência de aletas são calculadas, respectivamente, por:

ε a = q a h . A c , b . θ b                       e                       η a = q a h . A a . θ b

Então a gente pode relacionar as duas por meio da taxa q a :

q a = ε a . h . A c , b . θ b = η a . h . A a . θ b

Assim:

ε a = η a . A a A c , b

Passo 3

Vamos trabalhar nas áreas para calcular a efetividade da aleta. O termo A a é a área da aleta e A c , b é a área da seção transversal na base. Elas são dadas por:

A a = 2 . x . w                   e                 A c , b = t . w

Em que x pode ser entendido pela imagem abaixo:

Logo:

A a = 2 . t 2 2 + L 2 . w

Dividindo pela largura w , a gente fica com a área por unidade de comprimento:

A a ' = 2 . 0,002   m 2 2 + 0,006   m 2

A a ' = 0,0122   m

Além disso, a área da base por unidade de comprimento será:

A c , b ' = t

A c , b ' = 0,002   m

Dessa maneira, a efetividade será:

ε a = ( 0,99 ) . 0,0122   m 0,002   m

ε a = 6,04

Passo 4

b) A taxa de calor por unidade de largura pode ser calculada tanto pela eficiência quanto pela efetividade, dado que a gente já sabe as duas!

Vou escolher usar a efetividade, mas tanto faz, tá bem? :) Pela definição:

ε a = q a h . A c , b . θ b

Logo:

q a = ε a . h . A c , b . θ b

Dividindo pela largura da aleta ( w ) em ambos os lados, ficamos com:

q a ' = ε a . h . A c , b ' . θ b

Substituindo os valores do enunciado:

q a = 6,04 . 40   W . m - 2 . K - 1 . 0,002   m . 523 - 293   K