Conjunto de Aletas

Teoria Completa

Introdução

A gente já viu como calcular eficiência, efetividade, resistência de uma aleta, certo? Mas, se elas são tão boas assim, por que a gente não coloca um monte de uma vez só?

Pois é! Pensaram exatamente nisso! E daí que surgem as matrizes de aletas! Matriz é um conjunto de elementos, então isso significa que agora a gente vai trabalhar com várias aletas iguaizinhas numa dada superfície.

Mas não se preocupe! A transferência de calor vai aumentar com o número de aletas, mas nosso trabalho nos exercícios não vai aumentar tanto assim! Ahaha

Pelo que a gente viu antes, basicamente o que a gente faz pra calcular a taxa de calor é calcular a eficiência da aleta e a resistência dela. Aqui não vai ser diferente, mas as fórmulas se modificam um pouquinho. Então, dá uma olhadinha, grande mestre!

Então tem eficiência para matriz de aletas?

Tem sim, pequeno gafanhoto! E a definição é bem parecida, só que agora a gente tem várias aletas pra dar conta e não apenas uma! Dá uma olhadinha:

A taxa de calor total de um sistema com várias aletas ( q t ) é dado pela convecção a partir das aletas ( N . q a ) e da superfície primária sem aletas ( q c v , b ), podendo ser expressa por

q t = N . q a + q c v , b

q t = N . η a . h . A a . θ b + h . A b . θ b

Na equação acima:

  • N : número de aletas;
  • η a : eficiência da aleta;
  • h : coeficiente de transferência de calor por convecção;
  • A a : área de troca térmica de uma aleta;
  • θ b : diferença de temperatura entre a base e o ambiente T b - T ∞ ;
  • A b : área da porção exposta da base;

Agora que estamos todos familiarizados, podemos ir em frente!

Colocando o termo convectivo h e a diferença de temperatura θ b em evidência, temos:

q t = h . θ b . N . η a . A a + A b

A área da base exposta ( A b ) pode ser expressa como:

A b = A t - N . A a

Em que o termo A t é a área total do sistema, ou seja, é soma das áreas das aletas com a área da porção exposta da base.

Substituindo na expressão da taxa de calor total ( q t ):

q t = h . θ b . N . η a . A a + ( A t - N . A a )

q t = h . θ b . A t . 1 - N . A a A t . ( 1 - η a )

Olha que bacana! A gente agora pode chamar esse termo dos colchetes de eficiência total do sistema aletado ( η t ), pra ficar com a mesma cara da taxa que achamos pra aletas simples:

q t = η t . h . A t . θ b

A eficiência global da superfície ( η t ) é a razão entre a taxa de calor real da aleta e a taxa de calor se a aleta estivesse toda na mesma temperatura que a base ( T b ).

η t = q t h . A t . θ b

Mas a fórmula que você precisa pra calcular é essa daqui:

η t = 1 - N . A a A t . 1 - η a  

Eu também posso usar resistência térmica aqui?

Circuitos térmicos ajudam a beça a gente, não é mesmo! Então, relaxa aí na cadeira que aqui também tá liberado usar resistências! Vamos ver que essa matriz grandona aí se reduz a uma única resistência R a , t , que descreve todo o sistema!

A gente já viu que a taxa total de calor é dada por:

q t = η t . h . A t . θ b

Pela definição de resistência térmica (razão entre gradiente e taxa), a gente tem que:

R a , t = θ b q t = θ b η t . h . A t . θ b  

Assim, temos a expressão para a resistência térmica total da matriz de aletas ( R a , t ):

R a , t = 1 η t . h . A t  

Essa resistência representa toda a energia que é perdida pelo sistema ( a l e t a s   +   p o r ç ã o   d a   b a s e   e x p o s t a ). Dá uma olhadinha só:

Na prática, você teria aquele circuito em paralelo ali pra resolver, mas com essa expressão, isso se resume a uma única resistência (circuito mais abaixo).

E se as aletas forem fabricadas e depois fixadas à parede?

Nesse caso, pode surgir uma resistência de contato ( R t , c ' ' ) entre as superfícies. Então, a gente tem que saber cuidar desse caso também!

Mas como eu sou seu amigo, vou deixar tudo prontinho pra você só usar! Se liga aí nesse exemplo:

Com a resistência térmica de contato, aquele circuito em paralelo ficaria ainda mais chato, porque além de serem resistências em paralelo, existem duas resistências em série num dos ramos do circuito.

Mas, calma! Mais uma vez a gente pode simplificar tudo e esse “circuitão” aí se reduz a essa única resistência térmica:

R a , t ( c ) = 1 η t ( c ) . h . A t  

A eficiência total com resistência de contato pode ser calculada por:

η t ( c ) = 1 - N . A a A t . 1 - η a C 1  

Em que:

C 1 = 1 + η a . h . A a . R t , c ' ' A c , b  

OBS: Note que essa expressão é mais geral, porque se não tiver nenhuma resistência de contato ( R t , c ' ' = 0 ), a constante C 1 fica igual a 1 e a expressão fica igual à anterior!

Agora estamos mais do que prontos pra cair dentro dos exercícios!

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Exercício Resolvido #1

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.

O motor cilíndrico de uma moto é constituído por alumínio 2024 - T 6 ( k = 186   W . m - 1 . K - 1 ) e tem uma altura de H = 0,15   m com diâmetro de D = 50   m m . Sob condições normais de operação, a superfície externa do cilindro encontra-se a uma temperatura de 500   K e é exposta ao ar ambiente, cuja temperatura vale 300   K e cujo coeficiente de convecção é 50   W . m - 2 . K - 1 . Aletas anulares são integradas ao corpo cilíndrico do motor para aumentar a transferência de calor para a vizinhança.

Considere cinco aletas anulares com espessura de t = 6   m m , comprimento de L = 20   m m e que estão igualmente espaçadas. Qual o aumento percentual na perda de calor ao utilizarmos as aletas?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Aqui a gente vai verificar se colocar aletas realmente é um bom negócio! Vem comigo então!

Caso não houvesse aletas, teríamos um cilindro trocando calor com o ambiente. Sendo assim, a taxa de calor seria calculada por:

q c i l = h . A c i l . θ b

A área do cilindro é dada por:

A c i l = 2 π . r 1 . H

A c i l = 2 π . 0,025   m . 0,15   m

A c i l = 0,0236   m 2

Sendo assim, a gente tem que:

q c i l = 50   W . m - 2 . K - 1 . 0,0236   m 2 . 500 - 300   K

q c i l = 236   W

Passo 2

Agora é a situação com as aletas! A taxa de calor trocada por um conjunto de aletas ( q t ) é dada por:

q t = η t . h . A t . θ b

Em que:

η t = 1 - N . A a A t . ( 1 - η a )

A área superficial de uma aleta anular é dada por:

A a = 2 . π . r 2 c 2 - r 1 2

A a = 2 π . 0,048   m 2 - 0,025   m 2

A a = 0,0105   m 2

A área total do sistema “aleta+base” é dada por:

A t = N . A a + 2 π . r 1 . ( H - N . t )

A t = 5 . 0,0105   m 2 + 2 π . 0,025   m . 0,150   m - 5 . 0,030   m

A t = 0,071   m 2

Passo 3

Agora nos resta calcular o rendimento de uma aleta única ( η a ). Bora usar o gráfico (no capítulo anterior) pra isso:

Então, a gente precisa calcular a razão entre r 2 c e r 1 pra saber qual das quatro curvas usar e determinar o valor da abscissa!

Bora calcular o valor de x do gráfico então:

x = L c 3 / 2 . h k . A p 1 / 2

Em que L c