Equação da Aleta

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Teoria

Bora entender de uma vez por todas como ocorre a condução em superfícies aletadas?!

O que é uma aleta?

A aleta é uma extensão da superfície usada para aumentar a área de troca térmica e consequentemente sua taxa de transferência de calor .

Mas calma, vou te explicar melhor! Se liga no esqueminha abaixo:

Aumento da área de troca térmica com aletas
Aumento da área de troca térmica com aletas

Na figura acima temos o aumento da área de troca térmica com um conjunto de aletas. Mas pra as coisas ficarem mais claras, dar um passinho pra trás!

Quando a gente estuda convecção, vemos que uma superfície a certa temperatura troca calor por convecção se estiver em contato com um fluido numa temperatura diferente . E a gente sabe calcular essa taxa de calor:

Mas imagina que você não tá satisfeito com a quantidade de calor que tá sendo trocada entre a superfície e o fluido. Você quer aumentar a taxa de energia! O que você faria?

Se a taxa de calor trocado por convecção depende do coeficiente de convecção , da área de troca térmica e do gradiente de temperatura , é só aumentar uma dessas coisas, certo?

Beleza! Mas as vezes é difícil alterar o ou mesmo o gradiente de temperatura. Daí, só nos resta aumentar a área de troca térmica! É ai que entram as aletas!

Tipos de Aletas

Existem vários tipos de aleta, a imagem abaixo nos mostra os principais tipos de aletas:

Tipos de Aletas
Tipos de Aletas

As aletas podem ser planas de seção transversal uniforme (a) ou plana de seção transversal não uniforme (b), ou ainda ser uma aleta anular (c) e até em forma de pino (d).

A equação geral da aleta é dada por:

Equação da aleta: Caso geral
Equação da aleta: Caso geral

Onde é a área transversal da aleta e é o perímetro da aleta. Mas não precisa se assustar com essa equação feiosa, a gente vai simplificar ela já já porque vamos trabalhar somente com aletas com seção transversal uniforme, que é o caso mais comum!

Então bora entender como ela funciona e quais são as suas condições de contorno?! 😉

Aletas com Seção Transversal Uniforme

Primeiro a gente vai determinar a distribuição de temperatura em aletas.

Aleta com secção transversal uniforme: distribuição de temperatura
Aleta com secção transversal uniforme: distribuição de temperatura

Pra isso, vamos fazer o seguinte balanço de energia num elemento infinitesimal da aleta:

Balanço de energia num elemento infinitesimal da aleta com secção transversal uniforme.
Balanço de energia num elemento infinitesimal da aleta com secção transversal uniforme.

No caso em particular que estamos considerando, onde a seção transversal é constante e considerando também a condutividade constante, teremos que:

Equação da aleta de secção transversal uniforme
Equação da aleta de secção transversal uniforme

O perfil de temperatura geralmente é escrito em termos de , em que e essa diferença é a denominada temperatura de excesso. Dessa forma, podemos escrever a Equação da Aleta da seguinte forma:

Onde:

A solução da equação diferencial em tem essa cara aqui:

Beleza! Pra encontrar as constantes e , precisaremos de duas condições de contorno: uma na base da aleta e outra em sua extremidade . Na base, a condição de contorno é sempre a de temperatura especificada:

A condição de contorno na extremidade pode dividida em 4 casos:

Caso A: Convecção na Extremidade

Nesse caso consideramos que existe convecção na extremidade da aleta, e não só no seu comprimento.

Caso B: Extremidade Adiabática

Aqui, diferente do caso A, a extremidade da aleta não troca calor!

Caso C: Extremidade Com Temperatura Constante

Nesse caso a temperatura na extremidade da aleta permanece com a temperatura igual a temperatura inicial.

Caso D: Aleta Infinita

Por fim temos o caso da aleta infinita, que é usado quando as aletas tem um comprimento tão grande, que o calor nunca chega na sua extremidade!

As distribuições de temperatura e as taxas de calor para cada condição de contorno, podem ser observadas na figura abaixo:

Condições de contorno na extremidade da aleta
Condições de contorno na extremidade da aleta

Aletas: Vídeo Aula

Agora se liga nessa vídeo aula com um resumo super completo sobre aletas!

Agora vamos praticar com exercícios?

Aletas com Seção Transversal Uniforme

Aletas: Vídeo Aula

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um longo bastão circular de alumínio tem uma de suas extremidades fixada a uma parede aquecida e transfere calor por convecção para um fluido frio.

a Se o diâmetro do bastão fosse triplicado, qual seria a mudança na taxa de remoção de calor através do bastão?

b Se um bastão de cobre com o mesmo diâmetro fosse usado em lugar do bastão de alumínio, qual seria a mudança na taxa de remoção de calor através do bastão?

Dado: k A l = 240   W / m K e k C u = 400   W / m K .

Passo 1

a Se o diâmetro do bastão fosse triplicado, qual seria a mudança na taxa de remoção de calor através do bastão?

Quando o problema nos diz que o bastão é longo, isso quer dizer que podemos considerar o Caso D da nossa teoria, ou seja, de uma aleta infinita.

Se olharmos na tabela, veremos que, pra esse caso, a taxa de transferência de calor é dada por:

q a = M = h . p . k . A c T b - T ∞

Como estamos trabalhando com uma aleta cilíndrica, teremos:

A = π D 2 4

p = π D

Logo:

q a = h . π . D . k . π D 2 4 T b - T ∞

q a = h . π . k . π D 3 4 T b - T ∞ = h . π . k . π D 3 4 1 / 2 . T b - T ∞

Como estamos preocupados apenas com o que acontece quando mudamos o diâmetro (ou seja, as outras variáveis permanecem constantes), podemos ver pela equação acima que a taxa de transferência de calor é proporcional a D 3 / 2 :

q a   α   D 3 / 2

Passo 2

Agora que encontramos a relação entre a taxa de transferência de calor, podemos analisar o que acontece com a mesma se triplicarmos o diâmetro:

q a 3 D q a D = 3 D D 3 / 2

q a 3 D q a D = 3 3 / 2

q a 3 D = 5,2   q a D  

Passo 3

b Se um bastão de cobre com o mesmo diâmetro fosse usado em lugar do bastão de alumínio, qual seria a mudança na taxa de remoção de calor através do bastão?

Olhando novamente para a equação da taxa de transferência de calor:

q a = h . p . k . A c T b - T ∞

Vemos que, nesse caso, a mesma será proporcional k 1 / 2 , logo, ao mudarmos o material:

q a C u q a A l = k C u k A l 1 / 2

q a C u q a A l = 400 240 1 / 2

q a C u = 1,29   q a A l  

Resposta

a

q a 3 D = 5,2 q a D

b

q a C u = 1,29   q a A l

Exercício Resolvido #2

Uma barra circular longa de 5   m m de diâmetro tem uma extremidade mantida a 100 o C . A superfície da barra está exposta ao ar ambiente a 25 o C com um coeficiente de transferência de calor por convecção de 100   W . m - 2 . K - 1 .

  1. Determinar a distribuição de temperatura ao longo da barra construída de cobre puro ( k C u = 398   W . m - 1 . K - 1 ).
  2. Qual a perda correspondente de calor a partir da barra?
  3. Estimar o comprimento da barra para que a hipótese de comprimento infinito forneça uma estimativa precisa para a perda de calor.

Passo 1

a) Pra gente determinar a distribuição de temperatura na aleta, a gente pode usar as equações que estão na tabela! A situação ilustrada pelo enunciado refere-se ao caso D , pois o enunciado diz que a barra é longa.

Então, se a gente admitir que a barra tem comprimento infinito, sua superfície mais extrema terá a mesma temperatura que o fluido ( 25 o C ) e a equação do perfil de temperatura nessa situação será:

θ θ b = e - m . x

Ou seja:

T ( x ) - T ∞ T b - T ∞ = e - m . x

A distribuição de temperatura é exatamente a expressão que descreve a temperatura ao longo de x , então isolando o termo T ( x ) , a gente fica com:

T x = T ∞ + T b - T ∞ . e - m . x

Em que:

m 2 = h . P k . A c

O termo P é referente ao perímetro superfície mais extrema, ou seja, o perímetro da circunferência de diâmetro 5   m m e o termo A c se refere à área dessa superfície!

Dessa maneira:

m 2 = h . P k . A c

m = 100   W . m - 2 . K - 1 . π . ( 0,005   m ) 398   W . m - 1 . K - 1 . π 4 . 0,005   m 2

Logo:

m = 14,18

Dessa maneira, a distribuição de temperatura na barra é dada por:

T x = T ∞ + T b - T ∞ . e - m . x

T x = 298 + 75 . e - 14,18 x ,             e m   K e l v i n

Passo 2

b) A gente pode obter a taxa de calor diretamente pela tabela também:

q a = M = h . P . k . A c . θ b

Substituindo os valores do enunciado:

q a = 100 W m . K . π . ( 0,005   m )   . 398 W m . K . π 4 . 0,005   m 2 . 373 - 298   K

q a = 8,3   W

Passo 3

c) Admitindo que a barra é muito longa, a temperatura da extremidade terá a mesma temperatura que o fluido, então ali não haverá perda de calor (não existe gradiente de temperatura).

E, se você der uma olhada na nossa tabela de fórmulas, você vai ver que existe uma expressão para a condição de superfície adiabática.

Nessa condição, a taxa de calor é dada por:

q a = M . tanh ⁡ m L

“Mas, se a superfície é adiabática, como que tem troca de calor?”. A extremidade é adiabática, mas o restante da superfície troca energia com o ambiente!

Como a gente quer que a taxa de calor no caso adiabático seja igual à taxa no caso de aleta de comprimento infinito, a gente poderia simplesmente igualar as expressões de cada um:

M . tanh ⁡ m L ∞ = M

tanh ⁡ m L ∞ = 1

Essa equação só é satisfeita para m L ∞ tendendo ao infinito! Isso não é possível fisicamente! Então, o que a gente pode fazer é assumir que se a taxa chegar a 99 % do valor, isso já será suficiente! Bora ver no que dá então:

M . tanh ⁡ m L ∞ = 0,99 . M

tanh ⁡ m L ∞ = 0,99

Essa equação é satisfeita para:

m L ∞ = 2,65

Como já calculamos o m na letra a), a gente tem que:

14,18 . L ∞ = 2,65

L ∞ = 0,187   m

Pronto! Esse é o comprimento da barra que a gente já pode considera-la infinita! Então, o comprimento pode ser maior ou igual a 0,187   m .

Resposta

  1. T x = 298 + 75 . e - 14,18 x
  2. q a = 8,3   W
  3. L ∞ ≥ 0,187   m

Exercício Resolvido #3

Aletas em forma de pino são amplamente utilizadas em sistemas eletrônicos para promover resfriamento, bem como suporte de componentes. Considere uma aleta em forma de pino de diâmetro uniforme D , comprimento L e condutividade térmica k conectando dois componentes de comprimento L g e área de superfície A g . Os componentes são caracterizados por uma geração volumétrica de energia térmica q ˙ e condutividade térmica k g . Considere que as superfícies expostas dos componentes estão a uma temperatura uniforme correspondente àquela da base da aleta pino ( T b ) e que o calor é transferido por convecção da superfície exposta para um fluido em contato. A parte posterior e as laterais dos componentes estão perfeitamente isoladas.

Deduza uma expressão para a temperatura da base T b em função dos parâmetros do componente ( k g , q ˙ , L g e A g ), dos parâmetros de convecção ( T ∞ e h ) e dos parâmetros da aleta ( k , D e L ).

Passo 1

Observamos que haverá troca de calor, por condução, no interior da aleta e, por convecção, nas superfícies dos componentes e da aleta.

Devido à simetria do problema, a gente pode resolver só um dos lados e afirmar que acontece o mesmo do lado oposto. Com isso, dizemos que as duas metades não trocam calor entre si e vamos usar as equações do caso B de aleta adiabática na extremidade:

Essa estratégia é a mesma que fazemos com uma parede plana de condições de contorno simétricas.

Pelo balanço de energia na superfície de controle:

Então, a gente tem uma taxa de energia que entra (proveniente da geração de calor) e parte dessa energia sai pela aleta ( q a ) e parte sai pela superfície lisa ( q s ):

E ˙ e = E ˙ s

q d = q s + q a

Tudo que está entrando de energia nessa superfície ( q d ) vem da geração volumétrica na parede. Então, a gente pode fazer um balanço de energia na parede pra expressar essa taxa de entrada ( q d ):

E ˙ e - E ˙ s + E ˙ g = E ˙ a

0 - E ˙ s + E ˙ g = 0

E ˙ s = E ˙ g

q d = q ˙ . V

Em termos dos dados geométricos que temos, o volume pode ser reescrito:

q d = q ˙ . A g . L g

Substituindo no balanço de superfície, a gente fica com:

q d = q s + q a

q ˙ . A g . L g = q s + q a

Agora a gente precisa achar uma expressão para a taxa de calor que sai pela superfície plana ( q s ) e a taxa de calor que sai pela aleta ( q a )!

Passo 2

Bora determinar primeiro o mais fácil: a taxa de calor pela superfície lisa ( q s )! Isso é simplesmente uma convecção sobre uma superfície, então a gente calcula pela lei de resfriamento de Newton:

q s = h . A . ( T s - T ∞ )

Nesse caso a temperatura da superfície é a mesma da base ( T b ) e a área de troca térmica da parede lisa será:

A = A g - A c

Substituindo os valores da aleta:

A = A g - π . D 2 4

Logo:

q s = h . A g - π . D 2 4 . ( T b - T ∞ )

Passo 3

Agora, a gente precisa calcular a taxa de calor da aleta!

A aleta em questão se enquadra no caso B , então a taxa de calor perdida por ela pode ser escrita como:

q a = M . tanh ⁡ m . L 2

Em que:

M = h . P . k . A c . T o - T ∞                         e                         m = h . P k . A c

Bora calcular cada um deles então!

A área A c já foi calculada antes e o perímetro é dado por:

P = π . D

Logo:

M = h . ( π . D ) . k . π . D 2 4 . T o - T ∞

M = π 2 . h . k . D 3 . T o - T ∞

E ainda:

m = h . ( π . D ) k . π . D 2 4

m = 4 . h k . D

Substituindo na expressão da taxa de calor da aleta:

q a = π 2 . h . k . D 3 . T o - T ∞ . tanh ⁡ 4 . h k . D . L 2

q a = π 2 . h . k . D 3 . T o - T ∞ . tanh ⁡ h k . D . L

Passo 4

Substituindo as expressões do calor trocado pela superfície plana ( q s ) e pela aleta ( q a ) no balanço de energia na superfície:

q ˙ . A g . L g = q s + q a

q ˙ . A g . L g = h . A g - π . D 2 4 . ( T b - T ∞ ) + π 2 . h . k . D 3 . T o - T ∞ . tanh ⁡ h k . D . L

Isolando a temperatura da base ( T b ):

T b = T ∞ + q ˙ . A g . L g . h . A g - π . D 2 4 + π 2 . h . k . D 3 . tanh ⁡ h k . D . L - 1

Resposta

T b = T ∞ + q ˙ . A g . L g . h . A g - π . D 2 4 + π 2 . h . k . D 3 . tanh ⁡ h k . D . L - 1

Exercício Resolvido #4

Um bastão de latão k = 133   W / m K com 100   m m de comprimento e 5   m m de diâmetro se estende horizontalmente a partir de uma solda a 200 ° C . O bastão encontra-se em um ambiente com T ∞ = 20 ° C e h = 3 0   W / m 2 K .

Quais são as temperaturas no bastão a 25 , 50 e 100   m m da solda?

Passo 1

De acordo com o enunciado, a extremidade está sob convecção, o que corresponde ao Caso A da nossa tabela, logo:

θ θ b = cosh ⁡ m L - x + h / m k sinh ⁡ m L - x cosh ⁡ m L + h / m k sinh ⁡ m L

Onde:

m = h p k A c = h . π D k . π D 2 / 4 = 4 h k D

m = 4 × 3 0 133 × 0 , 005 = 13,43

h m k = 3 0 13,43 × 133 = 0,017

Substituindo os valores:

θ = cosh ⁡ m L - x + 0,017 sinh ⁡ m L - x cosh ⁡ 13,43 × 0,1 + 0,017 × sinh ⁡ 13,43 × 0,1 200 - 20

θ = 86,95 cosh ⁡ m L - x + 0,017 sinh ⁡ m L - x

T = 20 + 86,95 cosh ⁡ m L - x + 0,017 sinh ⁡ m L - x

Agora basta testar com os valores que o problema pediu.

Passo 2

x = 25   m m = 0,025 m → T = 156,5 ° C

x = 50   m m = 0,05 m → T = 128,9 ° C

x = 100   m m = 0,1 m → T = 107 ° C

Resposta

x = 25   m m → T = 156,5 ° C

x = 50   m m → T = 128,9 ° C

x = 100   m m → T = 107 ° C

Exercício Resolvido #5

Dois longos bastões de cobre ( k = 379   W / m K ) , com diâmetro D = 10   m m , serão soldados pelas extremidades com uma solda com ponto de fusão de 650 ° C . Os bastões encontram-se em um ambiente a 25 ° C com um coeficiente de transferência de calor igual a 10   W / m 2 K .

Qual é a menor alimentação de potência necessária para efetuar a soldagem?

Passo 1

A ideia aqui é a seguinte:

Como estamos tratando os dois bastões de cobre como longos, ambos correspondem ao Caso D da nossa tabela.

Assim, a taxa de transferência de calor necessária para manter a extremidade de cada bastão à temperatura de 650 ° C vai ser dada por:

q f = M = h p k A c θ b

Assim, como precisamos manter as das duas extremidades das duas à mesma temperatura, a quantidade mínima de potência necessária será:

q m í n = 2 q f

q m í n = 2 h p k A c θ b

Passo 2

Dados:

h = 10   W / m 2 K

p = π D = 0,01 π → p = 0,031   m

k = 379   W / m K

A c = π D 2 4 = π × 0,01 2 4 → A c = 7,85 × 10 - 5   m 2

θ b = T b - T ∞ = 650 - 25 = 625   ° C

Substituindo os valores:

q m í n = 2 10 × 0,031 × 379 × 7,85 × 10 - 5 × 625