Equação da Aleta

Teoria Completa

Introdução

Aletas! O que são? Pra que servem? Como sobrevivem? Isso e muito mais aqui no RespondeAí!

Então, bora lá! A gente já aprendeu que uma superfície a certa temperatura T s troca calor por convecção se estiver em contato com um fluido numa temperatura diferente ( T ∞ ). E a gente sabe calcular essa taxa de calor:

q c o n v = h . A . ( T s - T ∞ )

Show! Mas imagina agora que você não tá satisfeito com a quantidade de calor que tá sendo trocada entre a superfície e o fluido. Você quer aumentar a taxa de energia! O que você faria?

Se a taxa depende de h , de A e do gradiente de temperatura T s - T ∞ , você vai tentar aumentar uma dessas coisas, faz sentido? Beleza! Mas geralmente é difícil você alterar o coeficiente h ou mesmo o gradiente de temperatura. Daí, só nos resta mexer na área ( A ).

Se eu quero aumentar a taxa de calor mexendo na área, eu tenho que aumentar essa área, não é mesmo? Pronto! Você entendeu o que é uma aleta!

A aleta é exatamente uma extensão da superfície para que sua área seja maior e, assim, ela troque mais calor por convecção. Dá uma olhadinha no esquema aqui em baixo:

Na primeira imagem, a área de troca térmica ( A ) é muito menor do que na segunda, porque a gente estendeu a superfície com esses blocos. Consequentemente, a gente espera que, aumentando a área, aumente também a taxa de calor por convecção! ^^

Mas existem vááários tipos de aleta, não são só essas “quadradonas” aí não! Ela pode ser plana de seção transversal uniforme ( a ) ou plana de seção transversal não-uniforme ( b ), ou ainda ser uma aleta anular ( c ) e até em forma de pino ( d ), entre outras, dá uma olhadinha:

Por enquanto, vamos trabalhar somente com aletas com seção transversal uniforme e entender como tratamos desse carinha.

Aletas com Seção Transversal Uniforme

Assim como a gente já viu o perfil de temperaturas em paredes planas, cilindros e esferas, a gente também pode determinar a distribuição de temperatura em aletas. Pra isso, vamos fazer o seguinte balanço de energia num elemento infinitesimal da aleta:

T a x a   d e   c o n d u ç ã o d e   c a l o r   n o   e l e m e n t o e m   x = T a x a   d e   c o n d u ç ã o d e   c a l o r   n o   e l e m e n t o e m   x + Δ x + T a x a   d e   c o n v e c ç ã o d e   c a l o r   a t r a v é s   d o e l e m e n t o

Se fizermos isso, chegaremos na seguinte equação:

d d x k A c d T d x - h p T - T ∞ = 0  

Onde A c é a área transversal da aleta e p é o perímetro da aleta.

Essa é a famosa Equação da Aleta, que é válida para aletas de quaisquer formatos!!!

No caso em particular que estamos considerando, onde a seção transversal A c é constante e considerando também a condutividade constante, teremos que:

d 2 T d x 2 - h p k A c T - T ∞ = 0  

O perfil de temperatura geralmente é escrito em termos de θ ( x ) , em que θ x = T x - T ∞ e essa diferença é a denominada temperatura de excesso.

Dessa forma, podemos escrever a Equação da Aleta da seguinte forma:

d 2 θ d x - m 2 θ = 0  

Onde:

m 2 = h p k A c

E a solução desse cara?!

A solução da equação diferencial em θ tem essa cara aqui:

θ x = C 1 e m x + C 2 e - m x  

Beleza! Pra encontrar as constantes C 1 e C 2 , precisaremos de duas condições de contorno: uma na base da aleta (em x = 0 ) e outra em sua extremidade (em x = L ).

Na base, a condição de contorno é sempre a de temperatura especificada:

θ 0 = θ b = T b - T ∞  

Já na extremidade a gente pode ter basicamente 4 casos.

  • Caso A: Convecção na extremidade.
  • Caso B: Extremidade adiabática (isolada).
  • Caso C: Extremidade com temperatura constante.
  • Caso D: Aleta infinita.

Vamos pegar, por exemplo, o Caso D pra resolver, beleza?

D. Aleta infinita

Nesse caso, a aleta é tão grande que a temperatura da ponta T L é igual a temperatura do fluido T ∞ . Olhando para o θ x , isso significa que:

θ L = T L - T ∞ = 0

A distribuição de temperatura para esse caso será a seguinte:

θ θ b = T x - T ∞ T b - T ∞ = e - m x  

E a taxa de transferência de calor por condução na aleta q a será:

q a = - k A c d T d x

q a = h . p . k . A c T b - T ∞  

“Show de bola! Mas eu preciso saber resolver pra todos os casos?!“

Calma, não precisa quebrar tanto a cabeça com isso!

Coloquei aqui numa tabela os perfis de temperatura θ / θ b e as expressões da taxa de transferência de calor para cada um dos quatro casos:

Essa tabela marota certamente está no livro que você está utilizando na faculdade, então não precisa esquentar a cabeça!

Expandir

Exercício Resolvido #1

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.

Um longo bastão circular de alumínio tem uma de suas extremidades fixada a uma parede aquecida e transfere calor por convecção para um fluido frio.

a Se o diâmetro do bastão fosse triplicado, qual seria a mudança na taxa de remoção de calor através do bastão?

b Se um bastão de cobre com o mesmo diâmetro fosse usado em lugar do bastão de alumínio, qual seria a mudança na taxa de remoção de calor através do bastão?

Dado: k A l = 240   W / m K e k C u = 400   W / m K .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a Se o diâmetro do bastão fosse triplicado, qual seria a mudança na taxa de remoção de calor através do bastão?

Quando o problema nos diz que o bastão é longo, isso quer dizer que podemos considerar o Caso D da nossa teoria, ou seja, de uma aleta infinita.

Se olharmos na tabela, veremos que, pra esse caso, a taxa de transferência de calor é dada por:

q a = M = h . p . k . A c T b - T ∞

Como estamos trabalhando com uma aleta cilíndrica, teremos:

A = π D 2 4

p = π D

Logo:

q a = h . π . D . k . π D 2 4 T b - T ∞

q a = h . π . k . π D 3 4 T b - T ∞ = h . π . k . π D 3 4 1 / 2 . T b - T ∞

Como estamos preocupados apenas com o que acontece quando mudamos o diâmetro (ou seja, as outras variáveis permanecem constantes), podemos ver pela equação acima que a taxa de transferência de calor é proporcional a D 3 / 2 :

q a   α   D 3 / 2

Passo 2

Agora que encontramos a relação entre a taxa de transferência de calor, podemos analisar o que acontece com a mesma se triplicarmos o diâmetro:

q a 3 D q a D = 3 D D 3 / 2

q a 3 D q a D = 3 3 / 2

q a 3 D = 5,2   q a D  

Passo 3

b Se um bastão de cobre com o mesmo diâmetro fosse usado em lugar do bastão de alumínio, qual seria a mudança na taxa de remoção de calor através do bastão?

Olhando novamente para a equação da taxa de transferência de calor:

q a = h . p . k . A c T b - T ∞

Vemos que, nesse caso, a mesma será proporcional k 1 / 2 , logo, ao mudarmos o material:

q a C u q a A l = k C u k A l 1 / 2

q a C u q a A l = 400 240 1 / 2

q a C u = 1,29   q a A l  

Resposta

a

q a 3 D = 5,2 q a D

b

q a C u = 1,29   q a A l

Exercício Resolvido #2

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.

Uma barra circular longa de 5   m m de diâmetro tem uma extremidade mantida a 100 o C . A superfície da barra está exposta ao ar ambiente a 25 o C com um coeficiente de transferência de calor por convecção de 100   W . m - 2 . K - 1 .

  1. Determinar a distribuição de temperatura ao longo da barra construída de cobre puro ( k C u = 398   W . m - 1 . K - 1 ).
  2. Qual a perda correspondente de calor a partir da barra?
  3. Estimar o comprimento da barra para que a hipótese de comprimento infinito forneça uma estimativa precisa para a perda de calor.
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a) Pra gente determinar a distribuição de temperatura na aleta, a gente pode usar as equações que estão na tabela! A situação ilustrada pelo enunciado refere-se ao caso D , pois o enunciado diz que a barra é longa.

Então, se a gente admitir que a barra tem comprimento infinito, sua superfície mais extrema terá a mesma temperatura que o fluido ( 25 o C ) e a equação do perfil de temperatura nessa situação será:

θ θ b = e - m . x

Ou seja:

T ( x ) - T ∞ T b - T ∞ = e - m . x

A distribuição de temperatura é exatamente a expressão que descreve a temperatura ao longo de x , então isolando o termo T ( x ) , a gente fica com:

T x = T ∞ + T b - T ∞ . e - m . x

Em que:

m 2 = h . P k . A c

O termo P é referente ao perímetro superfície mais extrema, ou seja, o perímetro da circunferência de diâmetro 5   m m e o termo A c se refere à área dessa superfície!

Dessa maneira:

m 2 = h . P k . A c

m = 100   W . m - 2 . K - 1 . π . ( 0,005   m ) 398   W . m - 1 . K - 1 . π 4 . 0,005   m 2

Logo:

m = 14,18

Dessa maneira, a distribuição de temperatura na barra é dada por:

T x = T ∞ + T b - T ∞ . e - m . x

T x = 298 + 75 . e - 14,18 x ,             e m   K e l v i n

Passo 2

b) A gente pode obter a taxa de calor diretamente pela tabela também:

q a = M = h . P . k . A c . θ b

Substituindo os valores do enunciado:

q a = 100 W m . K . π . ( 0,005   m )   . 398 W m . K . π 4 . 0,005   m 2 . 373 - 298   K

q a = 8,3   W

Passo 3

c) Admitindo que a barra é muito longa, a temperatura da extremidade terá a mesma temperatura que o fluido, então ali não haverá perda de calor (não existe gradiente de temperatura).

E, se você der uma olhada na nossa tabela de fórmulas, você vai ver que existe uma expressão para a condição de superfície adiabática.

Nessa condição, a taxa de calor é dada por:

q a = M . tanh ⁡ m L

“Mas, se a superfície é adiabática, como que tem troca de calor?”. A extremidade é adiabática, mas o restante da superfície troca energia com o ambiente!

Como a gente quer que a taxa de calor no caso adiabático seja igual à taxa no caso de aleta de comprimento infinito, a gente poderia simplesmente igualar as expressões de cada um:

M . tanh ⁡ m L ∞ = M

tanh ⁡ m L ∞ = 1

Essa equação só é satisfeita para m L ∞ tendendo ao infinito! Isso não é possível fisicamente! Então, o que a gente pode fazer é assumir que se a taxa chegar a 99 % do valor, isso já será suficiente! Bora ver no que dá então:

M . tanh ⁡ m L ∞ = 0,99 . M

tanh ⁡ m L ∞ = 0,99

Essa equação é satisfeita para:

m L ∞ = 2,65

Como já calculamos o m na letra a), a gente tem que:

14,18 . L ∞ = 2,65

L ∞ = 0,187   m

Pronto! Esse é o comprimento da barra que a gente já pode considera-la infinita! Então, o comprimento pode ser maior ou igual a 0,187   m .

Resposta

  1. T x = 298 + 75 . e - 14,18 x
  2. q a = 8,3   W
  3. L ∞ ≥ 0,187   m

Exercício Resolvido #3

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.

Aletas em forma de pino são amplamente utilizadas em sistemas eletrônicos para promover resfriamento, bem como suporte de componentes. Considere uma aleta em forma de pino de diâmetro uniforme D , comprimento L e condutividade térmica k conectando dois componentes de comprimento L g e área de superfície A g . Os componentes são caracterizados por uma geração volumétrica de energia térmica q ˙ e condutividade térmica k g . Considere que as superfícies expostas dos componentes estão a uma temperatura uniforme correspondente àquela da base da aleta pino ( T b ) e que o calor é transferido por convecção da superfície exposta para um fluido em contato. A parte posterior e as laterais dos componentes estão perfeitamente isoladas.

Deduza uma expressão para a temperatura da base T b em função dos parâmetros do componente ( k g , q ˙ , L g e A g ), dos parâmetros de convecção ( T ∞ e h ) e dos parâmetros da aleta ( k , D e L ).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Observamos que haverá troca de calor, por condução, no interior da aleta e, por convecção, nas superfícies dos componentes e da aleta.

Devido à simetria do problema, a gente pode resolver só um dos lados e afirmar que acontece o mesmo do lado oposto. Com isso, dizemos que as duas metades não trocam calor entre si e vamos usar as equações do caso B de aleta adiabática na extremidade:

Essa estratégia é a mesma que fazemos com uma parede plana de condições de contorno simétricas.

Pelo balanço de energia na superfície de controle:

Então, a gente tem uma taxa de energia que entra (proveniente da geração de calor) e parte dessa energia sai pela aleta ( q a ) e parte sai pela superfície lisa ( q s ):

E ˙ e = E ˙ s

q d = q s + q a

Tudo que está entrando de energia nessa superfície ( q d ) vem da geração volumétrica na parede. Então, a gente pode fazer um balanço de energia na parede pra expressar essa taxa de entrada ( q d ):

E ˙ e - E ˙ s + E ˙ g = E ˙ a

0 - E ˙ s + E ˙ g = 0

E ˙ s = E ˙ g

q d = q ˙ . V

Em termos dos dados geométricos que temos, o volume pode ser reescrito:

q d = q ˙ . A g . L g

Substituindo no balanço de superfície, a gente fica com:

q d = q s + q a

q ˙ . A g . L g = q s + q a

Agora a gente precisa achar uma expressão para a taxa de calor que sai pela superfície plana ( q s ) e a taxa de calor que sai pela aleta ( q a )!

Passo 2

Bora determinar primeiro o mais fácil: a taxa de calor pela superfície lisa ( q s )! Isso é simplesmente uma convecção sobre uma superfície, então a gente calcula pela lei de resfriamento de Newton:

q s = h . A . ( T s - T ∞ )

Nesse caso a temperatura da superfície é a mesma da base ( T b ) e a área de troca térmica da parede lisa será:

A = A g - A c

Substituindo os valores da aleta:

A = A g - π . D 2 4

Logo:

q s = h . A g - π . D 2 4 . ( T b - T ∞ )

Passo 3

Agora, a gente precisa calcular a taxa de calor da aleta!

A aleta em questão se enquadra no caso B , então a taxa de calor perdida por ela pode ser escrita como:

q a = M . tanh ⁡ m . L 2

Em que:

M = h . P . k . A c . T o - T ∞                         e                         m = h . P k . A c

Bora calcular cada um deles então!

A área A c já foi calculada antes e o perímetro é dado por:

P = π . D

Logo:

M = h . ( π . D ) . k . π . D 2 4 . T o - T ∞

M = π 2 . h . k . D 3 . T o - T ∞

E ainda:

m = h . ( π . D ) k . π . D 2 4

m = 4 . h k . D

Substituindo na expressão da taxa de calor da aleta:

q a = π 2 . h . k . D 3 . T o - T ∞ . tanh ⁡ 4 . h k . D . L 2

q a = π 2 . h . k . D 3 . T o - T ∞ . tanh ⁡ h k . D . L

Passo 4

Substituindo as expressões do calor trocado pela superfície plana ( q s ) e pela aleta ( q a ) no balanço de energia na superfície:

q ˙ . A g . L g = q s + q a

q ˙ . A g . L g = h . A g - π . D 2 4 . ( T b - T ∞ ) + π 2 . h . k . D 3 . T o - T ∞ . tanh ⁡ h k . D . L

Isolando a temperatura da base ( T b ):

T b = T ∞ + q ˙ . A g . L g . h . A g - π . D 2 4 + π 2 . h . k . D 3 . tanh ⁡ h k . D . L - 1

Resposta

T b = T ∞ + q ˙ . A g . L g . h . A g - π . D 2 4 + π 2 . h . k . D 3 . tanh ⁡ h k . D . L - 1

Exercício Resolvido #4

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.

Um bastão de latão k = 133   W / m K com 100   m m de comprimento e 5   m m de diâmetro se estende horizontalmente a partir de uma solda a 200 ° C . O bastão encontra-se em um ambiente com T ∞ = 20 ° C e h = 3 0   W / m 2 K .

Quais são as temperaturas no bastão a 25 , 50 e 100   m m da solda?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

De acordo com o enunciado, a extremidade está sob convecção, o que corresponde ao Caso A da nossa tabela, logo:

θ θ b = cosh ⁡ m L - x + h / m k sinh ⁡ m L - x cosh ⁡ m L + h / m k sinh ⁡ m L

Onde:

m = h p k A c = h . π D k . π D 2 / 4 = 4 h k D

m = 4 × 3 0 133 × 0 , 005 = 13,43

h m k = 3 0 13,43 × 133 = 0,017