Equação da Aleta

Teoria Completa

Introdução

Aletas! O que são? Pra que servem? Como sobrevivem? Isso e muito mais aqui no RespondeAí!

Então, bora lá! A gente já aprendeu que uma superfície a certa temperatura T s troca calor por convecção se estiver em contato com um fluido numa temperatura diferente ( T ∞ ). E a gente sabe calcular essa taxa de calor:

q c o n v = h . A . ( T s - T ∞ )

Show! Mas imagina agora que você não tá satisfeito com a quantidade de calor que tá sendo trocada entre a superfície e o fluido. Você quer aumentar a taxa de energia! O que você faria?

Se a taxa depende de h , de A e do gradiente de temperatura T s - T ∞ , você vai tentar aumentar uma dessas coisas, faz sentido? Beleza! Mas geralmente é difícil você alterar o coeficiente h ou mesmo o gradiente de temperatura. Daí, só nos resta mexer na área ( A ).

Se eu quero aumentar a taxa de calor mexendo na área, eu tenho que aumentar essa área, não é mesmo? Pronto! Você entendeu o que é uma aleta!

A aleta é exatamente uma extensão da superfície para que sua área seja maior e, assim, ela troque mais calor por convecção. Dá uma olhadinha no esquema aqui em baixo:

Na primeira imagem, a área de troca térmica ( A ) é muito menor do que na segunda, porque a gente estendeu a superfície com esses blocos. Consequentemente, a gente espera que, aumentando a área, aumente também a taxa de calor por convecção! ^^

Mas existem vááários tipos de aleta, não são só essas “quadradonas” aí não! Ela pode ser plana de seção transversal uniforme ( a ) ou plana de seção transversal não-uniforme ( b ), ou ainda ser uma aleta anular ( c ) e até em forma de pino ( d ), entre outras, dá uma olhadinha:

Por enquanto, vamos trabalhar somente com aletas com seção transversal uniforme e entender como tratamos desse carinha.

Aletas com Seção Transversal Uniforme

Assim como a gente já viu o perfil de temperaturas em paredes planas, cilindros e esferas, a gente também pode determinar a distribuição de temperatura em aletas. Pra isso, vamos fazer o seguinte balanço de energia num elemento infinitesimal da aleta:

T a x a   d e   c o n d u ç ã o d e   c a l o r   n o   e l e m e n t o e m   x = T a x a   d e   c o n d u ç ã o d e   c a l o r   n o   e l e m e n t o e m   x + Δ x + T a x a   d e   c o n v e c ç ã o d e   c a l o r   a t r a v é s   d o e l e m e n t o

Se fizermos isso, chegaremos na seguinte equação:

d d x k A c d T d x - h p T - T ∞ = 0  

Onde A c é a área transversal da aleta e p é o perímetro da aleta.

Essa é a famosa Equação da Aleta, que é válida para aletas de quaisquer formatos!!!

No caso em particular que estamos considerando, onde a seção transversal A c é constante e considerando também a condutividade constante, teremos que:

d 2 T d x 2 - h p k A c T - T ∞ = 0  

O perfil de temperatura geralmente é escrito em termos de θ ( x ) , em que θ x = T x - T ∞ e essa diferença é a denominada temperatura de excesso.

Dessa forma, podemos escrever a Equação da Aleta da seguinte forma:

d 2 θ d x - m 2 θ = 0  

Onde:

m 2 = h p k A c

E a solução desse cara?!

A solução da equação diferencial em θ tem essa cara aqui:

θ x = C 1 e m x + C 2 e - m x  

Beleza! Pra encontrar as constantes C 1 e C 2 , precisaremos de duas condições de contorno: uma na base da aleta (em x = 0 ) e outra em sua extremidade (em x = L ).

Na base, a condição de contorno é sempre a de temperatura especificada:

θ 0 = θ b = T b - T ∞  

Já na extremidade a gente pode ter basicamente 4 casos.

  • Caso A: Convecção na extremidade.
  • Caso B: Extremidade adiabática (isolada).
  • Caso C: Extremidade com temperatura constante.
  • Caso D: Aleta infinita.

Vamos pegar, por exemplo, o Caso D pra resolver, beleza?

D. Aleta infinita

Nesse caso, a aleta é tão grande que a temperatura da ponta T L é igual a temperatura do fluido T ∞ . Olhando para o θ x , isso significa que:

θ L = T L - T ∞ = 0

A distribuição de temperatura para esse caso será a seguinte:

θ θ b = T x - T ∞ T b - T ∞ = e - m x  

E a taxa de transferência de calor por condução na aleta q a será:

q a = - k A c d T d x

q a = h . p . k . A c T b - T ∞  

“Show de bola! Mas eu preciso saber resolver pra todos os casos?!“

Calma, não precisa quebrar tanto a cabeça com isso!

Coloquei aqui numa tabela os perfis de temperatura θ / θ b e as expressões da taxa de transferência de calor para cada um dos quatro casos:

Essa tabela marota certamente está no livro que você está utilizando na faculdade, então não precisa esquentar a cabeça!

Expandir

Exercício Resolvido #1

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.

Um longo bastão circular de alumínio tem uma de suas extremidades fixada a uma parede aquecida e transfere calor por convecção para um fluido frio.

a Se o diâmetro do bastão fosse triplicado, qual seria a mudança na taxa de remoção de calor através do bastão?

b Se um bastão de cobre com o mesmo diâmetro fosse usado em lugar do bastão de alumínio, qual seria a mudança na taxa de remoção de calor através do bastão?

Dado: k A l = 240   W / m K e k C u = 400   W / m K .

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Passo 1

a Se o diâmetro do bastão fosse triplicado, qual seria a mudança na taxa de remoção de calor através do bastão?

Quando o problema nos diz que o bastão é longo, isso quer dizer que podemos considerar o Caso D da nossa teoria, ou seja, de uma aleta infinita.

Se olharmos na tabela, veremos que, pra esse caso, a taxa de transferência de calor é dada por:

q a = M = h . p . k . A c T b - T ∞

Como estamos trabalhando com uma aleta cilíndrica, teremos:

A = π D 2 4

p = π D

Logo:

q a = h . π . D . k . π D 2 4 T b - T ∞

q a = h . π . k . π D 3 4 T b - T ∞ = h . π . k . π D 3 4 1 / 2 . T b - T ∞

Como estamos preocupados apenas com o que acontece quando mudamos o diâmetro (ou seja, as outras variáveis permanecem constantes), podemos ver pela equação acima que a taxa de transferência de calor é proporcional a D 3 / 2 :

q a   α   D 3 / 2

Passo 2

Agora que encontramos a relação entre a taxa de transferência de calor, podemos analisar o que acontece com a mesma se triplicarmos o diâmetro:

q a 3 D q a D = 3 D D 3 / 2

q a 3 D q a D = 3 3 / 2

q a 3 D = 5,2   q a D  

Passo 3

b Se um bastão de cobre com o mesmo diâmetro fosse usado em lugar do bastão de alumínio, qual seria a mudança na taxa de remoção de calor através do bastão?

Olhando novamente para a equação da taxa de transferência de calor:

q a = h . p . k . A c T b - T ∞

Vemos que, nesse caso, a mesma será proporcional k 1 / 2 , logo, ao mudarmos o material:

q a C u q a A l = k C u k A l 1 / 2

q a C u q a A l = 400 240 1 / 2

q a C u = 1,29   q a A l  

Resposta

a

q a 3 D = 5,2 q a D

b

q a C u = 1,29   q a A l

Exercício Resolvido #2

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.

Uma barra circular longa de 5   m m de diâmetro tem uma extremidade mantida a 100 o C . A superfície da barra está exposta ao ar ambiente a 25 o C com um coeficiente de transferência de calor por convecção de 100   W . m - 2 . K - 1 .

  1. Determinar a distribuição de temperatura ao longo da barra construída de cobre puro ( k C u = 398   W . m - 1 . K - 1 ).
  2. Qual a perda correspondente de calor a partir da barra?
  3. Estimar o comprimento da barra para que a hipótese de comprimento infinito forneça uma estimativa precisa para a perda de calor.
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Passo 1

a) Pra gente determinar a distribuição de temperatura na aleta, a gente pode usar as equações que estão na tabela! A situação ilustrada pelo enunciado refere-se ao caso D , pois o enunciado diz que a barra é longa.

Então, se a gente admitir que a barra tem comprimento infinito, sua superfície mais extrema terá a mesma temperatura que o fluido ( 25 o C ) e a equação do perfil de temperatura nessa situação será:

θ θ b = e - m . x

Ou seja:

T ( x ) - T ∞ T b - T ∞ = e - m . x

A distribuição de temperatura é exatamente a expressão que descreve a temperatura ao longo de x , então isolando o termo T ( x ) , a gente fica com:

T x = T ∞ + T b - T ∞ . e - m . x

Em que:

m 2 = h . P k . A c