Introdução e Definição de Integral

Teoria Completa

A Integral como Área

Esse é um capítulo bem importante para entendermos o conceito de Integrais.

A primeira coisa que devemos entender é que uma Integral representa o valor de uma área, beleza?!

Se pararmos para analisar, tem algumas áreas que conseguimos calcular de boa, como essas aqui embaixo:

Agora, imagina que queremos calcular a área azul abaixo:

Talvez você não faça ideia de como calcular a área disso... rs.

No caso da figura acima, queremos calcular a área ( A ) embaixo da função f x = x 2 entre x = 0,6 e x = 1,4 .

Para calcular áreas nesse tipo de situação podemos utilizar a Soma de Riemann, porém isso será abordado mais pra frente! O importante agora é fixar a ideia que integrar é mais uma forma de calcular áreas.

Notação

Vamos entender essa notação de integral de forma mais geral:

∫ a b f ( x ) d x

f ( x ) é chamado de integrando que é a função que queremos a área;

a é o limite inferior, que é onde começa o intervalo que queremos a área;

b é o limite superior, que é onde termina o intervalo que queremos a área; d x mostra que estamos integrando na variável x (se fosse d t , por exemplo, estaríamos integrando em t ).

Show de bola?!

É importante a gente saber também que existem dois tipos de integrais: as integrais definidas e as indefinidas.

A Integral Definida resulta em um número, um valor. Essa integral acontece quando os limites de integração são números também, ou seja, na maioria dos casos.

∫ a b f ( x ) d x

A Integral Indefinida resulta em uma função. Nela, não há os limites de integração, o que resulta em uma outro função que chamamos de Primitiva da função f ( x ) .

∫ f ( x ) d x

Sinal da Integral

Essa é uma parte tranquila da matéria, mas pode se tornar problemática se não estiver bem clara. As integrais podem ter valores positivos e negativos! Sim, é verdade rs!

Como já conversamos anteriormente, a integral representa uma área delimitada por uma função, porém essa função pode estar na parte negativa do plano cartesiano, observe:

Quando a função está abaixo do eixo x , o valor da integral é negativo! Quando a função está acima do eixo x , o valor da integral é positivo!

∫ a c f ( x ) d x > 0 e             ∫ c b f ( x ) d x < 0

Portanto, temos que ter cuidado se quisermos calcular áreas e não integrais, pois as áreas são sempre positivas (não existe área negativa).

Por exemplo:

∫ a c f ( x ) d x > 0 → A r o s a = ∫ a c f ( x ) d x

∫ c b f ( x ) d x < 0 → A a z u l = - ∫ c b f ( x ) d x

Note que como ∫ c b f ( x ) d x < 0 (um número negativo) então na hora de calcularmos a área azul precisamos incluir o sinal negativo, para que o valor da área seja positivo.

Se quisermos calcular a área total, ou seja, A r o s a   e   A a z u l temos que calcular ∫ a b f ( x ) d x :

∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x

Assim,

∫ a b f ( x ) d x = A r o s a   -   A a z u l

Beleza?!

Vamos praticar então?!

Expandir

Exercício Resolvido #1

PUC-RJ - Cálculo 1 - P3 2010.1 – 4a - modificado

Considere o seguinte gráfico da função f

Sabendo que as áreas das regiões R 1 , R 2 , R 3 , R 4 e R 5 são:

A R 1 = 4 5 ,   A R 2 = 1 ,   A R 3 = 2 3 ,   A R 4 = 3 4   e   A R 5 = 5 6 .

Calcule:

∫ - 1 0 f t d t

∫ 0 2 f t d t

∫ 0 3 f t d t

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Passo 1

Ele quer várias integrais, mas ainda não sabemos calcular isso. Vamos pensar na integral como área, porque a área ele deu e aí podemos calcular as integrais.

Na primeira integral temos

∫ - 1 0 f t d t

Isso vai ser a área de - 1 à 0 . Olhando o gráfico, vemos que nesse trecho a função está acima do eixo x . Portanto, a integral é o mesmo valor da área!

∫ - 1 0 f t d t = 4 5

Passo 2

Aplicando a mesma lógica para a integral seguinte, temos:

∫ 0 2 f t d t

Aqui, temos uma parte da função acima do eixo x e outra abaixo. Portanto, uma das áreas será igual a integral e a outra o inverso, então

∫ 0 2 f t d t = A R 2 - A ( R 3 )

∫ 0 2 f t d t = 1 - 2 3

∫ 0 2 f t d t = 1 3

Passo 3

Seguindo com a solução:

∫ 0 3 f t d t

Pela mesma lógica anterior:

∫ 0 3 f t d t = A R 2 - A R 3 - A ( R 4 )

∫ 0 3 f t d t = 1 - 2 3 - 3 4

∫ 0 3 f t d t = 12 - 8 - 9 12 = - 5 12

Resposta

∫ - 1 0 f t d t = 4 5

∫ 0 2 f t d t = 1 3

∫ 0 3 f t d t = 12 - 8 - 9 12 = - 5 12

Exercício Resolvido #2

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pp 419 - 9

Se ∫ - 2 2 3   f x d x = 12 , ∫ - 2 5 3   f ( x ) d x =   6 e ∫ - 2 5 3 g ( x ) d x = 2 , determine:

a )   ∫ - 2 2 f x d x

b )   ∫ 2 5   f ( x ) d x

c )   ∫ 5 - 2 g ( x ) d x

d )   ∫ - 2 5 ( - π   g x ) d x

e )   ∫ - 2 5 f x +   g x 5 d x

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Passo 1

Ele está dando integrais definidas com funções genéricas f x e g ( x ) e pedindo o valor de integrais que envolvem essas integrais. Hum, acho que isso tá com cheiro de propriedades de integrais!

Passo 2

Letra a)

Veja bem:

Queremos ∫ - 2 2 f x d x e temos o valor da integral ∫ - 2 2 3   f x d x

A única coisa que muda é a constante multiplicando f ( x ) , certo? Os limites de integração são os mesmos. Então que tal usarmos essa propriedade aí embaixo?

∫ a b   c   f x d x = c ∫ a b   f x d x ,   onde   c   é uma constante qualquer

∫ - 2 2 3   f x d x = 3 ∫ - 2 2   f x d x

∫ - 2 2   f x d x = 1 3 . 3 ∫ - 2 2   f x d x = 1 3 ∫ - 2 2 3   f x d x

Do enunciado, sabemos que:

∫ - 2 2 3   f x d x = 12

Logo:

∫ - 2 2   f x d x = 12 3 = 4

Pronto!

Passo 3

Letra b)

Queremos ∫ 2 5 f x d x e temos o valor das integrais ∫ - 2 5 3   f x d x e ∫ - 2 2 3   f x d x

Essa questão é diferente da anterior. Agora, além da constante multiplicando f ( x ) , os limites de integração também mudam. Observe que queremos calcular uma integral com limite inferior 2 e temos o valor de duas integrais com o limite inferior igual a -2, sendo que uma delas tem limite superior igual a 2 e a outra limite superior igual a 5.

Isso nos leva a pensar na possibilidade de usar aquela propriedade de juntar intervalor de integração:

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x    

Pensa aqui comigo se eu não posso escrever:

∫ 2 - 2 f ( x ) d x + ∫ - 2 5 f ( x ) d x = ∫ 2 5 f ( x ) d x    

Bem, o que temos não é a integral de ∫ 2 - 2 f ( x ) d x e sim ∫ - 2 2 f ( x ) d x

Então para podermos usar a propriedade acima, primeiro devemos utilizar aquela propriedade de inverter os limites de integração:

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f x d x    

Nesse caso: ∫ 2 - 2 f x d x = - ∫ - 2 2 f x d x

No item a ) , já calculamos ∫ - 2 2 f x d x

Do item a ) :

∫ - 2 2 f x d x = 4

Logo:

∫ 2 - 2 f x d x = - 4

Do enunciado:

∫ - 2 5 3   f ( x ) d x =   6

∫ - 2 5   f ( x ) d x =   2

Então:

∫ 2 - 2 f ( x ) d x + ∫ - 2 5 f ( x ) d x = ∫ 2 5 f ( x ) d x    

- 4 + 2 = ∫ 2 5 f ( x ) d x    

∫ 2 5 f ( x ) d x   = - 2

Passo 4

Letra c)

Agora devemos calcular

∫ 5 - 2 g x d x

Temos o valor de

∫ - 2 5 3   g x d x

Aqui a constante multiplicando a função g ( x ) muda, bem como a ordem dos limites de integração. Portanto, utilizamos as propriedades abaixo:

∫ a b   c   g x d x = c ∫ a b   g x d x ,   onde   c   é  uma constante qualquer

∫ a b g ( x ) d x = - ∫ b a g x d x    

Temos:

∫ - 2 5 3   g x d x = 3 ∫ - 2 5   g x d x

∫ - 2 5   g x d x = 1 3 ∫ - 2 5 3   g x d x

Do enunciado, sabemos que:

∫ - 2 5 3   g x d x = 2

Logo:

∫ - 2 5   g x d x = 2 3

E então:

∫ 5 - 2   g x d x = - ∫ - 2 5   g x d x = - 2 3

Passo 5

Letra d)

Queremos ∫ - 2 5 ( - π   g x ) d x e temos o valor de ∫ - 2 5 g ( x ) d x , calculado no item c )

Nesse caso, a única coisa que difere é a constante multiplicando a função g ( x ) . Mais uma vez, podemos utilizar a propriedade:

∫ a b   c   f x d x = c ∫ a b   f x d x ,   onde   c   é uma constante qualquer

∫ - 2 5 - π   g x d x = - π ∫ - 2 5   g x d x

∫ - 2 5 - π   g x d x = - π 2 3  

∫ - 2 5 - π   g x d x = - 2 π 3

Passo 6

Letra e)

Queremos calcular ∫ - 2 5 f x +   g x 5 d x e temos os valores de ∫ - 2 5   f x d x (calculado no item b ) e o valor de ∫ - 2 5   g x d x (calculado no item c ) .

A primeira coisa que devemos notar é que podemos reescrever essa soma da seguinte forma:

∫ - 2 5 f x +   g x 5 d x = ∫ - 2 5 1 5 f x + g x d x

Utilizando a propriedade:

∫ a b   c   f x d x = c ∫ a b   f x d x ,   onde   c   é uma constante qualquer

(Ufa... me diz que você também não aguenta mais usar essa propriedade?)

Temos:

∫ - 2 5 1 5 f x + g x   d x = 1 5 ∫ - 2 5 f x + g x   d x

Agora nós temos a integral de uma soma. Então devemos utilizar a propriedade que diz que a integral da soma é igual à soma das integrais:

∫ a b [ f x + g x ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x

Portanto, teremos:

1 5 ∫ - 2 5 [ f x + g x ] d x = 1 5 ∫ - 2 5 f x d x + ∫ - 2 5 g x d x

1 5 ∫ - 2 5 f x + g x d x = 1 5 2 + 2 3

1 5 ∫ - 2 5 f x + g x d x = 1 5 8 3 = 8 15

Resposta

a )   ∫ - 2 2 f x d x = 4

b )   ∫ 2 5   f ( x ) d x = - 2

c )   ∫ 5 - 2 g ( x ) d x = - 2 3

d )   ∫ - 2 5 ( - π   g x ) d x = - 2 π   3

e )   ∫ - 2 5 f x +   g x 5 d x = 8 15

Exercício Resolvido #3

James Stewart Vol. I – 6ª ed. Exercício 47 da seção 5.2

Escreva como uma integral única na forma ∫ a b f x d x :

∫ - 2 2 f ( x ) d x + ∫ 2 5 f ( x ) d x - ∫ - 2 - 1 f ( x ) d x

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Passo 1

Temos que transformar a soma de 3 integrais em uma só.

Repare que as integrais possuem limites de integração diferentes e queremos transformar em uma só integral com limites de integração a e b .

Basicamente, temos que descobrir quem é a e b .

Passo 2

Nesses tipos de problemas, onde temos que manipular somente os limites de integração, vamos ter que usar as propriedades das integrais.

Ao olhar para as duas primeira integrais que compõem a soma, já podemos, de cara, usar uma propriedade de integrais definidas:

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x    

Nesse caso, temos: ∫ - 2 2 f ( x ) d x + ∫ 2 5 f ( x ) d x

a =   - 2

b = 2

c = 5

Logo:

∫ - 2 2 f ( x ) d x + ∫ 2 5 f ( x ) d x = ∫ - 2 5 f x d x

Observe que agora reduzimos um termo daquela soma, pois as duas primeiras integrais foram substituídas por uma única integral equivalente. O que temos agora é:

∫ - 2 2 f ( x ) d x + ∫ 2 5 f ( x ) d x - ∫ - 2 - 1 f ( x ) d x

= ∫ - 2 5 f ( x ) d x - ∫ - 2 - 1 f ( x ) d x

Passo 3

Agora, para podemos utilizar a mesma propriedade de antes, devemos lembrar da propriedade de inverter os limites de integração.

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f x d x    

Nesse caso: ∫ - 2 5 f x d x = - ∫ 5 - 2 f x d x

Assim, temos:

= ∫ - 2 5 f ( x ) d x - ∫ - 2 - 1 f ( x ) d x

- ∫ 5 - 2 f x d x - ∫ - 2 - 1 f ( x ) d x

Agora, podemos utilizar novamente a seguinte propriedade:

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x    

Agora, temos:

a =   5

b = - 2

c = - 1

- ∫ 5 - 2 f x d x - ∫ - 2 - 1 f x d x =   - ∫ 5 - 1 f x d x

Passo 4

Observe que a integral resultante tem limite inferior maior que o superior. Basta utilizarmos novamente a propriedade de inverter os limites de integração para reescrevê-la:

- ∫ 5 - 1 f ( x ) d x = ∫ - 1 5 f ( x ) d x

Resposta

∫ - 1 5 f ( x ) d x

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

Analise as seguintes expressões:

∫ - 1 3 f ( x ) d x = 17 2

∫ - 1 2 f ( x ) d x = 1 2

∫ 3 2 g ( x ) d x = 4

h t = ∫ 2 t 2 + 7 t + 15 f ( x ) d x

Sabendo que elas são válidas e que f ( x ) , g ( x ) e h ( t ) são funções contínuas em R , calcule os seguintes itens:

  1. ∫ 2 3 2 f x + 3 g x d x
  2. h ( - 3 )
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Passo 1

Partiu fazer? Partiu! Vai, analisa comigo: ele está dando um monte de integrais definidas com funções genéricas f x , g ( x ) e h t e pedindo o valor de integrais que envolvem essas integrais. Tá na cara que temos que usar propriedades de integrais definidas, você não acha, não?

Então vamos lá!

Passo 2

Na letra a ) , vamos começar usando as propriedades de integrais definidas que aprendemos para quebrar aquela expressão que ele está pedindo, porque aí vai ficar muito mais fácil entender o que você vai usar.

Olha o que ele está pedindo:

∫ 2 3 2 f x + 3 g x d x

Já sabemos que:

∫ a b [ f x + g x ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x

∫ a b c ⋅ f ( x ) d x = c   ⋅ ∫ a b f x d x ,     onde   c   é qualquer constante

Portanto, podemos reescrever o que ele está pedindo como:

∫ 2 3 2 f x + 3 g x d x =   ∫ 2 3 2 f x   d x +   ∫ 2 3 3 g x d x  

= 2 ∫ 2 3 f x d x + 3 ∫ 2 3 g ( x )   d x

Passo 3

E agora? O que podemos fazer com isso?

Não temos ∫ 2 3 f x d x   nem ∫ 2 3 g ( x ) d x . O que eu faço? Socorro! Calma, não se desespere! Ainda existem outras propriedades de integrais que podemos usar.

Vamos começar pela g ( x )