Introdução e Propriedades das Integrais

Resumo Completo

A Integral como Área

Esse é um capítulo bem importante para entendermos o conceito de Integrais.

Basicamente, uma Integral representa o valor de uma área.

Tem algumas áreas que conseguimos fazer de boa, como essas aqui debaixo:

Agora, você não deve fazer ideia de como calcular a área disso:

Nesse caso, queremos calcular a área embaixo da função f x = x 2 entre x = 0,6 e x = 1,4 .

Podemos estimar a área A , calculando uma área aproximada, usando retângulos do seguinte modo:

Dá pra perceber que a soma das áreas dos retângulos é menor que a área azul A (repare nas sobras dos retângulos).

Podemos, com os retângulos, encontrar uma estimativa para cima (maior que A ), assim:

Agora, eu posso ver que a primeira estimativa é menor que o resultado certinho dessa área e a última é maior.

Agora, dá uma olhada nesses desenhos

Saca aqui: concorda que o espaço entre o gráfico e os retângulos diminui muito conforme eu aumento o número de retângulos? A ideia é que se eu colocar infinitos retângulos, eu terei exatamente a área A . Portanto, a soma dos n retângulos é denotada por S n e pelo que eu expliquei temos que:

A = lim n S n

A integral vai ter exatamente essa ideia: partir o eixo x em pedacinhos, traçar retângulos e somar a área desses retângulos. Conforme aumentamos o número de retângulos, nos aproximamos mais da área. Assim, escrevemos o seguinte

A = lim n S n = 0,6 1,4 x 2 d x

Onde S n é a soma daqueles retângulos, essa soma é a Soma de Riemann.

Estamos integrando x 2 de 0,6 à 1,4 , é isso que significa essa notação, o cara embaixo é o início do intervalo, nesse caso o 0,6 . O cara em cima é o final do intervalo, no caso 1,4 .

Notação

Vamos entender essa notação de integral de forma mais geral:

a b f ( x ) d x

f ( x ) é chamado de integrando que é a função que queremos a área

a é o limite inferior, que é onde começa o intervalo que queremos a área

b é o limite superior, que é onde termina o intervalo que queremos a área; d x mostra que estamos integrando na variável x (se fosse d t , por exemplo, estaríamos integrando em t ).

A Integral Definida resulta em um número, um valor. Essa integral acontece quando os limites de integração são números também, ou seja, na maioria dos casos.

Sinal da Integral

Esse é um pedaço tranquilo da matéria que pode se tornar problemático se não estiver bem batido. A integral representa, como já conversamos, uma área. Agora, ela é algo como uma área “negativa” se estiver abaixo do eixo x . Acompanha aqui:

As integrais podem ter valores positivos e negativos! Quando a função está abaixo do eixo x , a integral é negativa! Quando a função está acima do eixo x , a integral é positiva! Portanto, temos que ter cuidado se quisermos calcular áreas e não integrais. Por exemplo:

a c f ( x ) d x > 0 A rosa = a c f ( x ) d x

c b f ( x ) d x < 0 A azul = - c b f ( x ) d x

Repare:

a b f ( x ) d x = A rosa - A azul     e NÃO    A r o s a + A a z u l

Propriedades das Integrais

Existem algumas propriedades das integrais que são bastante importantes e é essencial que elas estejam no sangue, porque você vai ter que usá-las o tempo todo. Mas não se preocupe, são relações bem simples e, logo, logo, você estará usando sem nem sentir!

Propriedade 1:

Essa propriedade diz que a integral da soma ou subtração de funções é a soma ou subtração das integrais:

a b [ f x ± g x ] d x = a b f ( x ) d x ± a b g ( x ) d x

Por exemplo:

0 1 cos x + e x d x = 0 1 cos x d x + 0 1 e x d x

Propriedade 2: A integral de uma função vezes uma constante é igual à integral daquela função multiplicada pela constante.

a b   c   f x d x = c a b   f x d x ,   onde   c   é uma constante qualquer

Em outras palavras, a constante pode ser colocada “para fora” da integral. Olha aqui um exemplo disso

0 1 3 cos x d x = 3 0 1 cos x d x

Propriedade 3: Quando uma integral tem limites superior e inferior iguais seu resultado é nulo:

a a f x d x = 0

Propriedade 4:

A integral de uma função constante, f x = c é dada por:

a b c d x = c b - a ,     onde   c   é uma constante qualquer

Se c > 0, veja que a integral é a área A . Agora como essa área é um retângulo a gente vai ter que:

a b c d x = A = c ( b - a )

Se c < 0 , a integral representa o inverso da área, ou seja:

a b c d x = -   A = - c ( b - a )

Exemplo:

A = 2   . 3 = 6

Como f x = - 3 está abaixo do eixo x , temos:

2 4 - 3 d x = - A = - 6

Propriedade 5: Ao trocar os limites de integração inferior e superior, troco o sinal da integral:

a b f ( x ) d x = - b a f x d x

Por exemplo

0 1 cos x d x = - 1 0 cos x d x

Propriedade 6:

a b f ( x ) d x + b c f ( x ) d x = a c f ( x ) d x

Para se lembrar dessa propriedade, pensa na interpretação de integral como área:

A 1 + A 2 = A t o t a l

a b f x d x = A 1

b c f x d x = A 2

a c f x d x = A t o t a l

O mais importante é que essa propriedade não depende de que a, b e c estejam em ordem, isto é, não importa que c seja maior que b. Se b for maior que c, a propriedade continua valendo. Veja esse exemplo aqui:

0 1 cos x d x - 2 1 cos x d x = 0 1 cos x d x - - 1 2 cos x d x = 0 1 cos x d x + 1 2 cos x d x

0 1 cos x d x - 2 1 cos x d x = 0 2 cos x d x

Propriedade 7:

  S e   f x 0   para   a x b ,   então   a b f ( x ) d x 0

Se   f x 0   para   a x b ,   então   a b f x d x 0

Para lembrar dessa propriedade, também facilita lembrar da interpretação como área.

  • Se f x é sempre maior que zero no intervalo [ a , b ] , então a integral será sempre igual à área da região delimitada naquele intervalo. Lembre-se que área é sempre um número positivo!
  • Por outro lado, se f x é sempre menor que zero naquele intervalo, a integral será sempre igual ao simétrico da área delimitada naquele intervalo. Como a área é sempre um número positivo, então a integral será um número negativo!

Propriedade 8:

Se   f x g x   para   a x b ,   então   a b f ( x ) d x a b g ( x ) d x

Novamente, pensando na integral como área, se f x está sempre acima de g x no intervalo [ a , b ] , então a área delimitada pela função f ( x ) naquele intervalo será maior que aquela delimitada pela função g ( x ) no mesmo intervalo!

Propriedade 9:

Para chegar a essa propriedade, vou tirar um conceito lá do fundo do baú. Lá do Teorema do Valor Extremo, sabemos que toda função contínua em um intervalo fechado possui um máximo e um mínimo absolutos naquele intervalo fechado.

Então, se tivermos uma função f ( x ) num intervalo fechado [ a , b ] e sabendo que o mínimo absoluto dessa função é m e o máximo é M , olha só o que temos:

m f x M ,   p a r a   t o d o   a x b

Vou representar agora isso num gráfico, para pensarmos em integral novamente com a interpretação de área.

Observe que a área hachurada é igual a:

A = m ( b - a ) (área de retângulo)

Portanto sabendo que a integral de f x no intervalo [ a , b ] corresponde à área abaixo dela e que f ( x ) é sempre maior ou igual a m nesse intervalo, vê se não podemos escrever o seguinte:

a b f x   d x m   ( b - a )

Agora, da propriedade 8, sabemos que:

Se   g x f x   para   a x b ,   então   a b g ( x ) d x a b f ( x ) d x

Nesse caso, imaginemos g x como M :

M ( b - a ) a b f x

Juntando as duas coisas, teremos:

S e   m f x M ,   p a r a   t o d o   a x b   m   ( b - a ) a b f x M ( b - a )

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Exercício Resolvido #1

Enunciado

PUC-RJ - Cálculo 1 - P3 2010.1 – 4a - modificado

Considere o seguinte gráfico da função f

Sabendo que as áreas das regiões R 1 , R 2 , R 3 , R 4 e R 5 são:

A R 1 = 4 5 ,   A R 2 = 1 ,   A R 3 = 2 3 ,   A R 4 = 3 4   e   A R 5 = 5 6 .

Calcule:

- 1 0 f t d t

0 2 f t d t

0 3 f t d t

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Ele quer várias integrais, mas ainda não sabemos calcular isso. Vamos pensar na integral como área, porque a área ele deu e aí podemos calcular as integrais.

Na primeira integral temos

- 1 0 f t d t

Isso vai ser a área de - 1 à 0 . Olhando o gráfico, vemos que nesse trecho a função está acima do eixo x . Portanto, a integral é o mesmo valor da área!

- 1 0 f t d t = 4 5

Passo 2

Aplicando a mesma lógica para a integral seguinte, temos:

0 2 f t d t

Aqui, temos uma parte da função acima do eixo x e outra abaixo. Portanto, uma das áreas será igual a integral e a outra o inverso, então

0 2 f t d t = A R 2 - A ( R 3 )

0 2 f t d t = 1 - 2 3

0 2 f t d t = 1 3

Passo 3

Seguindo com a solução:

0 3 f t d t

Pela mesma lógica anterior:

0 3 f t d t = A R 2 - A R 3 - A ( R 4 )

0 3 f t d t = 1 - 2 3 - 3 4

0 3 f t d t = 12 - 8 - 9 12 = - 5 12

Resposta

- 1 0 f t d t = 4 5

0 2 f t d t = 1 3

0 3 f t d t = 12 - 8 - 9 12 = - 5 12

Exercício Resolvido #2

Enunciado

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pp 419 - 9

Se - 2 2 3   f x d x = 12 , - 2 5 3   f ( x ) d x =   6 e - 2 5 3 g ( x ) d x = 2 , determine:

a )   - 2 2 f x d x

b )   2 5   f ( x ) d x

c )   5 - 2 g ( x ) d x

d )   - 2 5 ( - π   g x ) d x

e )   - 2 5 f x +   g x 5 d x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Ele está dando integrais definidas com funções genéricas f x e g ( x ) e pedindo o valor de integrais que envolvem essas integrais. Hum, acho que isso tá com cheiro de propriedades de integrais.

Passo 2

a)

Veja bem:

Queremos - 2 2 f x d x e temos o valor da integral - 2 2 3   f x d x

A única coisa que muda é a constante multiplicando f ( x ) , certo? Os limites de integração são os mesmos. Então que tal usarmos essa propriedade aí embaixo?

a b   c   f x d x = c a b   f x d x ,   onde   c   é uma constante qualquer

- 2 2 3   f x d x = 3 - 2 2   f x d x

- 2 2   f x d x = 1 3 . 3 - 2 2   f x d x = 1 3 - 2 2 3   f x d x

Do enunciado, sabemos que:

- 2 2 3   f x d x = 12

Logo:

- 2 2   f x d x = 12 3 = 4

Pronto!

Passo 3

b)

Queremos 2 5 f x d x e temos o valor das integrais - 2 5 3   f x d x e - 2 2 3   f x d x

Essa questão é diferente da anterior. Agora, além da constante multiplicando f ( x ) , os limites de integração também mudam. Observe que queremos calcular uma integral com limite inferior 2 e temos o valor de duas integrais com o limite inferior igual a -2, sendo que uma delas tem limite superior igual a 2 e a outra limite superior igual a 5.

Isso nos leva a pensar na possibilidade de usar aquela propriedade de juntar intervalor de integração:

a b f ( x ) d x + b c f ( x ) d x = a c f ( x ) d x    

Pensa aqui comigo se eu não posso escrever:

2 - 2 f ( x ) d x + - 2 5 f ( x ) d x = 2 5 f ( x ) d x    

Bem, o que temos não é a integral de 2 - 2 f ( x ) d x e sim - 2 2 f ( x ) d x

Então para podermos usar a propriedade acima, primeiro devemos utilizar aquela propriedade de inverter os limites de integração:

a b f ( x ) d x = - b a f x d x    

Nesse caso: 2 - 2 f x d x = - - 2 2 f x d x

No item a ) , já calculamos - 2 2 f x d x

Do item a ) :

- 2 2 f x d x = 4

Logo:

2 - 2 f x d x = - 4

Do enunciado:

- 2 5 3   f ( x ) d x =   6

- 2 5   f ( x ) d x =   2

Então:

2 - 2 f ( x ) d x + - 2 5 f ( x ) d x = 2 5 f ( x ) d x    

- 4 + 2 = 2 5 f ( x ) d x    

2 5 f ( x ) d x   = - 2

Passo 4

Agora devemos calcular

- 2 5 f x d x

Temos o valor de

- 2 5 3   f x d x

A única coisa que muda é a constante multiplicando a função f ( x ) . Portanto, utilizamos a mesma propriedade do item a ) :

a b   c   f x d x = c a b   f x d x ,   onde   c   é uma constante qualquer

- 2 5 3   f x d x = 3 - 2 5   f x d x

- 2 5   f x d x = 1 3 - 2 5 3   f x d x

Do enunciado, sabemos que:

- 2 5 3   f x d x = 6

Logo:

- 2 5   f x d x = 2

Passo 5

Agora podemos juntar tudo para descobrir a integral que nos interessa:

2 5 f ( x ) d x = 2 - 2 f ( x ) d x + - 2 5 f ( x ) d x  

2 5 f ( x ) d x = - 4 + 2

2 5 f ( x ) d x = - 2

Passo 6

c)

Queremos 5 - 2 g x d x e temos o valor das integrais - 2 5   3 g x d x

Observe que, além da constante multiplicando a função, os limites de integração estão invertidos. Vamos primeiro calcular - 2 5   g x d x .

Para isso, utilizamos a propriedade:

a b   c   f x d x = c a b   f x d x ,   onde   c   é uma constante qualquer

- 2 5 3   g x d x = 3 - 2 5   g x d x

- 2 5   g x d x = 1 3 - 2 5 3   g x d x

Do enunciado, sabemos que:

- 2 5 3   g x d x = 2

Logo:

- 2 5   g x d x = 2 3

Passo 7

Agora pensamos em inverter os limites de integração. Sempre que quisermos inverter os limites de integração, pensamos na propriedade:

a b f ( x ) d x = - b a f x d x    

Nesse caso: 5 - 2 g x d x = - - 2 5 g x d x

Portanto:

5 - 2 g x d x = - 2 3

Passo 8

Passo 9

d)

Queremos - 2 5 ( - π   g x ) d x e temos o valor de - 2 5 g ( x ) d x , calculado no item c )

Nesse caso, a única coisa que difere é a constante multiplicando a função g ( x ) . Mais uma vez, podemos utilizar a propriedade:

a b   c   f x d x = c a b   f x d x ,   onde   c   é uma constante qualquer

- 2 5 - π   g x d x = - π - 2 5   g x d x

- 2 5 - π   g x d x = - π 2 3  

- 2 5 - π   g x d x = - 2 π 3

Passo 10

e)

Queremos calcular - 2 5 f x +   g x 5 d x e temos os valores de - 2 5   f x d x (calculado no item b ) e o valor de - 2 5   g x d x (calculado no item c ) .

A primeira coisa que devemos notar é que podemos reescrever essa soma da seguinte forma:

- 2 5 f x +   g x 5 d x = - 2 5 1 5 f x + g x d x

Utilizando a propriedade:

a b   c   f x d x = c a b   f x d x ,   onde   c   é uma constante qualquer

(Ufa... me diz que você também não aguenta mais usar essa propriedade?)

Temos:

- 2 5 1 5 f x + g x   d x = 1 5 - 2 5 f x + g x   d x

Agora nós temos a integral de uma soma. Então devemos utilizar a propriedade que diz que a integral da soma é igual à soma das integrais:

a b [ f x + g x ] d x = a b f ( x ) d x + a b g ( x ) d x

Portanto, teremos:

1 5 - 2 5 [ f x + g x ] d x = 1 5 - 2 5 f x d x + - 2 5 g x d x

1 5 - 2 5 f x + g x d x = 1 5 2 + 2 3

1 5 - 2 5 f x + g x d x = 1 5 8 3 = 8 15

Resposta

a )   - 2 2 f x d x = 4

b )   2 5   f ( x ) d x = - 2

c )   5 - 2 g ( x ) d x = - 2 3

d )   - 2 5 ( - π   g x ) d x = - 2 π   3

e )   - 2 5 f x +   g x 5 d x = 8 15

Exercício Resolvido #3

Enunciado

James Stewart Vol. I – 6ª ed. Exercício 47 da seção 5.2

Escreva como uma integral única na forma a b f x d x :

- 2 2 f ( x ) d x + 2 5 f ( x ) d x - - 2 - 1 f ( x ) d x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Temos que transformar a soma de 3 integrais em uma só.

Repare que as integrais possuem limites de integração diferentes e queremos transformar em uma só integral com limites de integração a e b .

Basicamente, temos que descobrir quem é a e b .

Passo 2

Nesses tipos de problemas, onde temos que manipular somente os limites de integração, vamos ter que usar as propriedades das integrais.

Ao olhar para as duas primeira integrais que compõem a soma, já podemos, de cara, usar uma propriedade de integrais definidas:

a b f ( x ) d x + b c f ( x ) d x = a c f ( x ) d x    

Nesse caso, temos: - 2 2 f ( x ) d x + 2 5 f ( x ) d x

a =   - 2

b = 2

c = 5

Logo:

- 2 2 f ( x ) d x + 2 5 f ( x ) d x = - 2 5 f x d x

Observe que agora reduzimos um termo daquela soma, pois as duas primeiras integrais foram substituídas por uma única integral equivalente. O que temos agora é:

- 2 2 f ( x ) d x + 2 5 f ( x ) d x - - 2 - 1 f ( x ) d x

= - 2 5 f ( x ) d x - - 2 - 1 f ( x ) d x

Passo 3

Agora, para podemos utilizar a mesma propriedade de antes, devemos lembrar da propriedade de inverter os limites de integração.

a b f ( x ) d x = - b a f x d x    

Nesse caso: - 2 5 f x d x = - 5 - 2 f x d x

Assim, temos:

= - 2 5 f ( x ) d x - - 2 - 1 f ( x ) d x

- 5 - 2 f x d x - - 2 - 1 f ( x ) d x

Agora, podemos utilizar novamente a seguinte propriedade:

a b f ( x ) d x + b c f ( x ) d x = a c f ( x ) d x    

Agora, temos:

a =   5

b = - 2

c = - 1

- 5 - 2 f x d x - - 2 - 1 f x d x =   - 5 - 1 f x d x

Passo 4

Observe que a integral resultante tem limite inferior maior que o superior. Basta utilizarmos novamente a propriedade de inverter os limites de integração para reescrevê-la:

- 5 - 1 f ( x ) d x = - 1 5 f ( x ) d x

Resposta

- 1 5 f ( x ) d x

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Elaboração própria

Sabendo que f ( x ) , g ( x ) e h ( t ) são contínuas para todos os reais e sendo válidas as expressões abaixo:

- 1 3 f ( x ) d x = 17 2

- 1 2 f ( x ) d x = 1 2

3 2 g ( x ) d x = 4

h t = 2 t 2 + 7 t + 15 f ( x ) d x

Calcule:

a)

2 3 2 f x + 3 g x d x

b)

h ( - 3 )

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Partiu fazer? Partiu! Vai, analisa comigo: ele está dando um monte de integrais definidas com funções genéricas f x , g ( x ) e h t e pedindo o valor de integrais que envolvem essas integrais. Tá na cara que temos que usar propriedades de integrais definidas, você não acha, não?

Então vamos lá!

Passo 2

Na letra a ) , vamos começar usando as propriedades de integrais definidas que aprendemos para quebrar aquela expressão que ele está pedindo, porque aí vai ficar muito mais fácil entender o que você vai usar.

Olha o que ele está pedindo:

2 3 2 f x + 3 g x d x

Já sabemos que:

a b [ f x + g x ] d x = a b f ( x ) d x + a b g ( x ) d x

a b c f ( x ) d x = c   a b f x d x ,     onde   c   é qualquer constante

Portanto, podemos reescrever o que ele está pedindo como:

2 3 2 f x + 3 g x d x =   2 3 2 f x   d x +   2 3 3 g x d x  

= 2 2 3 f x d x + 3 2 3 g ( x )   d x

Passo 3

E agora? O que podemos fazer com isso?

Não temos 2 3 f x d x   nem 2 3 g ( x ) d x . O que eu faço? Socorro! Calma, não se desespere! Ainda existem outras propriedades de integrais que podemos usar.

Vamos começar pela g ( x ) , que está mais fácil de visualizar.

Observe que temos

3 2 g ( x ) d x = 4

Concorda que se invertemos os limites de integração, teremos 2 3 g ( x )   d x , que é o que nos interessa? E como fazemos isso? Lançamos mão daquela linda propriedade:

a b g ( x ) d x = - b a g x d x

Logo:

2 3 g ( x ) d x = - 3 2 g ( x ) d x

Como: 3 2 g ( x ) d x = 4

Temos:

2 3 g ( x ) d x = - 4

Passo 4

E quanto à f ( x ) ? Olha só as duas integrais que nós temos do enunciado:

- 1 3 f ( x ) d x = 17 2

- 1 2 f ( x ) d x = 1 2

A integral que nós queremos é 2 3 f ( x ) d x . Nós temos 2 no limite superior de integração de uma integral e 3 no limite superior da outra. Além disso, o -1 aparece como limite de integração nas duas integrais. Dá para sentir aquele gostinho de que é para usar aquela propriedade de juntar os limites de integração?

a b f ( x ) d x + b c f ( x ) d x = a c f ( x ) d x

Mas repara que, do jeito que as integrais estão, não dá para usar essa propriedade. Porque o número equivalente ao " b " , que é o limite de integração que tem que ser igual nas duas integrais, é limite inferior nas duas e, para usar essa propriedade, ele tem que ser limite inferior da primeira e limite superior da segunda.

Olha aí a propriedade de inverter os limites de integração nos salvando de novo!

a b f ( x ) d x = - b a f x d x   2 - 1 f x d x = - - 1 2 f x d x

2 - 1 f x d x = - 1 2

Agora, temos:

- 1 3 f ( x ) d x = 17 2

2 - 1 f x d x = - 1 2

E queremos:

2 3 f ( x ) d x

Podemos finalmente utilizar as propriedades de juntar os limites de integração:

2 3 f ( x ) d x = - 1 3 f ( x ) d x + 2 - 1 f x d x  

2 3 f x d x = 17 2 - 1 2

2 3 f x d x = 8

Passo 5

Passo 6

Agora que já sabemos 2 3 f x d x e 2 3 g x d x , podemos finalmente juntar tudo:

2 3 2 f x + 3 g x d x =   2 2 3 f x d x + 3 2 3 g ( x )   d x

2 3 2 f x + 3 g x d x = 2   .   8 + 3   .   ( - 4 )

2 3 2 f x + 3 g x d x = 16 - 12 = 4

Passo 7

Passo 8

Agora vamos à letra b )

Essa letra é meio estranha à primeira vista. O que acontece é que ele coloca uma função da variável t no limite da integral. Mas isso dá menos dor de cabeça do que parece. Observe que a variável dentro da integral é x . Aquela função de t em nada atrapalha a integral.

Ele nos dá h ( t ) . Quando ele pede h ( - 3 ) , simplesmente temos que substituir t por - 3 e aí teremos o limite superior da integral. A partir daí, resolvemos normalmente.

Passo 9

Fazendo t = - 3 :

t 2 + 7 t + 15 = - 3 2 + 7 - 3 + 15

= 9 - 21 + 15 = 9 - 6 = 3

Nesse caso, olha como fica a integral:

h - 3 = 2 3 f ( x ) d x

Opa, essa a gente já calculou, lembra? Depois de utilizar as propriedades de integrais na letra a ) , chegamos à conclusão de que essa integral valia 8 .

h - 3 = 2 3 f ( x ) d x = 8

Pronto!

Resposta

a)

2 3 2 f x + 3 g x d x = 4

b)

h - 3 = 8

Exercício Resolvido #5

Enunciado

James Stewart Vol. I – 6ª ed. Exercício 53 da seção 5.2

Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade sem calcular as integrais.

2 - 1 1 1 + x 2 d x 2 2

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O problema nos pede para usarmos as propriedades das integrais e aparece uma desigualdade. Queremos provar que a integral está entre 2 e 2 2 sem calculá-la.

Passo 2

-

Temos uma integral e uma desigualdade. Isso tem uma carinha de que devemos usar aquelas propriedades de integrais definidas que envolvem desigualdades.

Sabemos que toda função contínua em um intervalo fechado tem um mínimo e um máximo absolutos. Estamos tratando de um intervalo fechado ( - 1 x 1 ) e a função 1 + x 2 é contínua nesse intervalo.

Nesse caso, vamos pensar na seguinte propriedade:

S e   m f x M ,   p a r a   t o d o   a x b   m   ( b - a ) a b f x M ( b - a )

Para podermos usá-la a nosso favor, entretanto, devemos achar o mínimo e o máximo absolutos de f x no intervalo [ - 1,1 ] .

Que tal desenharmos o gráfico dessa função para visualizar melhor?

P a r a   x =   - 1   1 + x 2 = 2

P a r a   x = 0 1 + x 2 = 1

P a r a   x = 1 1 + x 2 = 2

Pelo gráfico da função nesse intervalo, identificamos o mínimo e o máximo local:

S e   1 1 + x 2 2 ,   p a r a   t o d o - 1 x 1

m = 1

M = 2

Podemos utilizar, então, a propriedade:

S e   m f x M ,   p a r a   t o d o   a x b   m   ( b - a ) a b f x M ( b - a )

m   b - a = 1 . 1 - - 1

m   b - a = 2

M b - a = 2 1 - - 1 = 2 2

2 - 1 1 1 + x 2 2 2

Conforme queríamos demonstrar!

Resposta

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