Introdução e Propriedades das Integrais

Teoria Completa

A Integral como Área

Esse é um capítulo bem importante para entendermos o conceito de Integrais.

Basicamente, uma Integral representa o valor de uma área.

Tem algumas áreas que conseguimos fazer de boa, como essas aqui embaixo:

Agora, você não deve fazer ideia de como calcular a área disso:

Nesse caso, queremos calcular a área embaixo da função f x = x 2 entre x = 0,6 e x = 1,4 .

Podemos estimar a área A , calculando uma área aproximada, usando retângulos do seguinte modo:

Dá pra perceber que a soma das áreas dos retângulos é menor que a área azul A (repare nas sobras dos retângulos).

Podemos, com os retângulos, encontrar uma estimativa para cima (maior que A ), assim:

Agora, eu posso ver que a primeira estimativa é menor que o resultado certinho dessa área e a última é maior.

Agora, dá uma olhada nesses desenhos

Saca aqui: concorda que o espaço entre o gráfico e os retângulos diminui muito conforme eu aumento o número de retângulos? A ideia é que se eu colocar infinitos retângulos, eu terei exatamente a área A . Portanto, a soma dos n retângulos é denotada por S n e pelo que eu expliquei temos que:

A = S n  

A integral vai ter exatamente essa ideia: partir o eixo x em pedacinhos, traçar retângulos e somar a área desses retângulos. Conforme aumentamos o número de retângulos, nos aproximamos mais da área. Assim, escrevemos o seguinte

A = S n   = ∫ 0,6 1,4 x 2 d x

Onde S n é a soma daqueles retângulos, essa soma é a Soma de Riemann.

Estamos integrando x 2 de 0,6 à 1,4 , é isso que significa essa notação, o cara embaixo é o início do intervalo, nesse caso o 0,6 . O cara em cima é o final do intervalo, no caso 1,4 .

Notação

Vamos entender essa notação de integral de forma mais geral:

∫ a b f ( x ) d x

f ( x ) é chamado de integrando que é a função que queremos a área

a é o limite inferior, que é onde começa o intervalo que queremos a área

b é o limite superior, que é onde termina o intervalo que queremos a área; d x mostra que estamos integrando na variável x (se fosse d t , por exemplo, estaríamos integrando em t ).

A Integral Definida resulta em um número, um valor. Essa integral acontece quando os limites de integração são números também, ou seja, na maioria dos casos.

Sinal da Integral

Esse é um pedaço tranquilo da matéria que pode se tornar problemático se não estiver bem batido. A integral representa, como já conversamos, uma área. Agora, ela é algo como uma área “negativa” se estiver abaixo do eixo x . Acompanha aqui:

As integrais podem ter valores positivos e negativos! Quando a função está abaixo do eixo x , a integral é negativa! Quando a função está acima do eixo x , a integral é positiva! Portanto, temos que ter cuidado se quisermos calcular áreas e não integrais. Por exemplo:

∫ a c f ( x ) d x > 0 → A r o s a = ∫ a c f ( x ) d x

∫ c b f ( x ) d x < 0 → A a z u l = - ∫ c b f ( x ) d x

Repare:

∫ a b f ( x ) d x = A r o s a - A a z u l     e   N Ã O     A r o s a + A a z u l

Propriedades das Integrais

Existem algumas propriedades das integrais que são bastante importantes e é essencial que elas estejam no sangue, porque você vai ter que usá-las o tempo todo. Mas não se preocupe, são relações bem simples e, logo, logo, você estará usando sem nem sentir!

Propriedade 1:

Essa propriedade diz que a integral da soma ou subtração de funções é a soma ou subtração das integrais:

∫ a b [ f x ± g x ] d x = ∫ a b f ( x ) d x ± ∫ a b g ( x ) d x

Por exemplo:

∫ 0 1 c o s c o s   x   + e x d x = ∫ 0 1 c o s c o s   x   d x + ∫ 0 1 e x d x

Propriedade 2: A integral de uma função vezes uma constante é igual à integral daquela função multiplicada pela constante.

∫ a b   c   f x d x = c ∫ a b   f x d x ,   o n d e   c   é   u m a   c o n s t a n t e   q u a l q u e r

Em outras palavras, a constante pode ser colocada “para fora” da integral. Olha aqui um exemplo disso

∫ 0 1 3 c o s c o s   x   d x = 3 ∫ 0 1 c o s c o s   x d x  

Propriedade 3: Quando uma integral tem limites superior e inferior iguais seu resultado é nulo:

∫ a a f x d x = 0

Propriedade 4:

A integral de uma função constante, f x = c é dada por:

∫ a b c d x = c b - a ,     o n d e   c   é   u m a   c o n s t a n t e   q u a l q u e r

Se c > 0, veja que a integral é a área A . Agora como essa área é um retângulo a gente vai ter que:

∫ a b c d x = A = c ( b - a )

Se c < 0 , a integral representa o inverso da área, ou seja:

∫ a b c d x = -   A = - c ( b - a )

Exemplo:

A = 2   . 3 = 6

Como f x = - 3 está abaixo do eixo x , temos:

∫ 2 4 - 3 d x = - A = - 6

Propriedade 5: Ao trocar os limites de integração inferior e superior, troco o sinal da integral:

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f x d x

Por exemplo

∫ 0 1 c o s   x   d x = - ∫ 1 0 c o s   x   d x

Propriedade 6:

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x

Para se lembrar dessa propriedade, pensa na interpretação de integral como área:

A 1 + A 2 = A t o t a l

∫ a b f x d x = A 1

∫ b c f x d x = A 2

∫ a c f x d x = A t o t a l

O mais importante é que essa propriedade não depende de que a, b e c estejam em ordem, isto é, não importa que c seja maior que b. Se b for maior que c, a propriedade continua valendo. Veja esse exemplo aqui:

∫ 0 1 c o s   x   d x - ∫ 2 1 c o s   x   d x = ∫ 0 1 c o s   x   d x - - ∫ 1 2 c o s   x   d x = ∫ 0 1 c o s   x   d x + ∫ 1 2 c o s   x   d x

∫ 0 1 c o s   x   d x - ∫ 2 1 c o s   x   d x = ∫ 0 2 c o s   x   d x

Propriedade 7:

  S e   f x ≥ 0   p a r a   a ≤ x ≤ b ,   e n t ã o   ∫ a b f ( x ) d x ≥ 0

S e   f x ≤ 0   p a r a   a ≤ x ≤ b ,   e n t ã o   ∫ a b f x d x ≤ 0

Para lembrar dessa propriedade, também facilita lembrar da interpretação como área.

  • Se f x é sempre maior que zero no intervalo [ a , b ] , então a integral será sempre igual à área da região delimitada naquele intervalo. Lembre-se que área é sempre um número positivo!
  • Por outro lado, se f x é sempre menor que zero naquele intervalo, a integral será sempre igual ao simétrico da área delimitada naquele intervalo. Como a área é sempre um número positivo, então a integral será um número negativo!

Propriedade 8:

S e   f x ≥ g x   p a r a   a ≤ x ≤ b ,   e n t ã o   ∫ a b f ( x ) d x ≥ ∫ a b g ( x ) d x

Novamente, pensando na integral como área, se f x está sempre acima de g x no intervalo [ a , b ] , então a área delimitada pela função f ( x ) naquele intervalo será maior que aquela delimitada pela função g ( x ) no mesmo intervalo!

Propriedade 9:

Para chegar a essa propriedade, vou tirar um conceito lá do fundo do baú. Lá do Teorema do Valor Extremo, sabemos que toda função contínua em um intervalo fechado possui um máximo e um mínimo absolutos naquele intervalo fechado.

Então, se tivermos uma função f ( x ) num intervalo fechado [ a , b ] e sabendo que o mínimo absoluto dessa função é m e o máximo é M , olha só o que temos:

m ≤ f x ≤ M ,   p a r a   t o d o   a ≤ x ≤ b

Vou representar agora isso num gráfico, para pensarmos em integral novamente com a interpretação de área.

Observe que a área hachurada é igual a:

A = m ( b - a ) (área de retângulo)

Portanto sabendo que a integral de f x no intervalo [ a , b ] corresponde à área abaixo dela e que f ( x ) é sempre maior ou igual a m nesse intervalo, vê se não podemos escrever o seguinte:

∫ a b f x   d x ≥ m   ( b - a )

Agora, da propriedade 8, sabemos que:

S e   g x ≥ f x   p a r a   a ≤ x ≤ b ,   e n t ã o   ∫ a b g ( x ) d x ≥ ∫ a b f ( x ) d x

Nesse caso, imaginemos g x como M :

M ( b - a ) ≥ ∫ a b f x   d x

Juntando as duas coisas, teremos:

S e   m ≤ f x ≤ M ,   p a r a   t o d o   a ≤ x ≤ b →   m   ( b - a ) ≤ ∫ a b f x   d x   ≤ M ( b - a )

Expandir

Exercício Resolvido #1

PUC-RJ - Cálculo 1 - P3 2010.1 – 4a - modificado

Considere o seguinte gráfico da função f

Sabendo que as áreas das regiões R 1 , R 2 , R 3 , R 4 e R 5 são:

A R 1 = 4 5 ,   A R 2 = 1 ,   A R 3 = 2 3 ,   A R 4 = 3 4   e   A R 5 = 5 6 .

Calcule:

∫ - 1 0 f t d t

∫ 0 2 f t d t

∫ 0 3 f t d t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Ele quer várias integrais, mas ainda não sabemos calcular isso. Vamos pensar na integral como área, porque a área ele deu e aí podemos calcular as integrais.

Na primeira integral temos

∫ - 1 0 f t d t

Isso vai ser a área de - 1 à 0 . Olhando o gráfico, vemos que nesse trecho a função está acima do eixo x . Portanto, a integral é o mesmo valor da área!

∫ - 1 0 f t d t = 4 5

Passo 2

Aplicando a mesma lógica para a integral seguinte, temos:

∫ 0 2 f t d t

Aqui, temos uma parte da função acima do eixo x e outra abaixo. Portanto, uma das áreas será igual a integral e a outra o inverso, então

∫ 0 2 f t d t = A R 2 - A ( R 3 )

∫ 0 2 f t d t = 1 - 2 3

∫ 0 2 f t d t = 1 3

Passo 3

Seguindo com a solução:

∫ 0 3 f t d t

Pela mesma lógica anterior:

∫ 0 3 f t d t = A R 2 - A R 3 - A ( R 4 )

∫ 0 3 f t d t = 1 - 2 3 - 3 4

∫ 0 3 f t d t = 12 - 8 - 9 12 = - 5 12

Resposta

∫ - 1 0 f t d t = 4 5

∫ 0 2 f t d t = 1 3

∫ 0 3 f t d t = 12 - 8 - 9 12 = - 5 12

Exercício Resolvido #2

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pp 419 - 9

Se ∫ - 2 2 3   f x d x = 12 , ∫ - 2 5 3   f ( x ) d x =   6 e ∫ - 2 5 3 g ( x ) d x = 2 , determine:

a )   ∫ - 2 2 f x d x

b )   ∫ 2 5   f ( x ) d x

c )   ∫ 5 - 2 g ( x ) d x

d )   ∫ - 2 5 ( - π   g x ) d x

e )   ∫ - 2 5 f x +   g x 5 d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Ele está dando integrais definidas com funções genéricas f x e g ( x ) e pedindo o valor de integrais que envolvem essas integrais. Hum, acho que isso tá com cheiro de propriedades de integrais!

Passo 2

Letra a)

Veja bem:

Queremos ∫ - 2 2 f x d x e temos o valor da integral ∫ - 2 2 3   f x d x

A única coisa que muda é a constante multiplicando f ( x ) , certo? Os limites de integração são os mesmos. Então que tal usarmos essa propriedade aí embaixo?

∫ a b   c   f x d x = c ∫ a b   f x d x ,   onde   c   é uma constante qualquer

∫ - 2 2 3   f x d x = 3 ∫ - 2 2   f x d x

∫ - 2 2   f x d x = 1 3 . 3 ∫ - 2 2   f x d x = 1 3 ∫ - 2 2 3   f x d x

Do enunciado, sabemos que:

∫ - 2 2 3   f x d x = 12

Logo:

∫ - 2 2   f x d x = 12 3 = 4

Pronto!

Passo 3

Letra b)

Queremos ∫ 2 5 f x d x e temos o valor das integrais ∫ - 2 5 3   f x d x e ∫ - 2 2 3   f x d x

Essa questão é diferente da anterior. Agora, além da constante multiplicando f ( x ) , os limites de integração também mudam. Observe que queremos calcular uma integral com limite inferior 2 e temos o valor de duas integrais com o limite inferior igual a -2, sendo que uma delas tem limite superior igual a 2 e a outra limite superior igual a 5.

Isso nos leva a pensar na possibilidade de usar aquela propriedade de juntar intervalor de integração:

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x    

Pensa aqui comigo se eu não posso escrever:

∫ 2 - 2 f ( x ) d x + ∫ - 2 5 f ( x ) d x = ∫ 2 5 f ( x ) d x    

Bem, o que temos não é a integral de ∫ 2 - 2 f ( x ) d x e sim ∫ - 2 2 f ( x ) d x

Então para podermos usar a propriedade acima, primeiro devemos utilizar aquela propriedade de inverter os limites de integração:

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f x d x    

Nesse caso: ∫ 2 - 2 f x d x = - ∫ - 2 2 f x d x

No item a ) , já calculamos ∫ - 2 2 f x d x

Do item a ) :

∫ - 2 2 f x d x = 4

Logo:

∫ 2 - 2 f x d x = - 4

Do enunciado:

∫ - 2 5 3   f ( x ) d x =   6

∫ - 2 5   f ( x ) d x =   2

Então:

∫ 2 - 2 f ( x ) d x + ∫ - 2 5 f ( x ) d x = ∫ 2 5 f ( x ) d x    

- 4 + 2 = ∫ 2 5 f ( x ) d x    

∫ 2 5 f ( x ) d x   = - 2

Passo 4

Letra c)

Agora devemos calcular

∫ 5 - 2 g x d x

Temos o valor de

∫ - 2 5 3   g x d x

Aqui a constante multiplicando a função g ( x ) muda, bem como a ordem dos limites de integração. Portanto, utilizamos as propriedades abaixo:

∫ a b   c   g x d x = c ∫ a b   g x d x ,   onde   c   é  uma constante qualquer

∫ a b g ( x ) d x = - ∫ b a g x d x    

Temos:

∫ - 2 5 3   g x d x = 3 ∫ - 2 5   g x d x

∫ - 2 5   g x d x = 1 3 ∫ - 2 5 3   g x d x

Do enunciado, sabemos que:

∫ - 2 5 3   g x d x = 2

Logo:

∫ - 2 5   g x d x = 2 3

E então:

∫ 5 - 2   g x d x = - ∫ - 2 5   g x d x = - 2 3

Passo 5

Letra d)

Queremos ∫ - 2 5 ( - π   g x ) d x e temos o valor de ∫ - 2 5 g ( x ) d x , calculado no item c )

Nesse caso, a única coisa que difere é a constante multiplicando a função g ( x ) . Mais uma vez, podemos utilizar a propriedade:

∫ a b   c   f x d x = c ∫ a b   f x d x ,   onde   c   é uma constante qualquer

∫ - 2 5 - π   g x d x = - π ∫ - 2 5   g x d x

∫ - 2 5 - π   g x d x = - π 2 3  

∫ - 2 5 - π   g x d x = - 2 π 3

Passo 6

Letra e)

Queremos calcular ∫ - 2 5 f x +   g x 5 d x e temos os valores de ∫ - 2 5   f x d x (calculado no item b ) e o valor de ∫ - 2 5   g x d x (calculado no item c ) .

A primeira coisa que devemos notar é que podemos reescrever essa soma da seguinte forma:

∫ - 2 5 f x +   g x 5 d x = ∫ - 2 5 1 5 f x + g x d x

Utilizando a propriedade:

∫ a b   c   f x d x = c ∫ a b   f x d x ,   onde   c   é uma constante qualquer

(Ufa... me diz que você também não aguenta mais usar essa propriedade?)

Temos:

∫ - 2 5 1 5 f x + g x   d x = 1 5 ∫ - 2 5 f x + g x   d x