Teoria Completa
A Integral como Área
Esse é um capítulo bem importante para entendermos o conceito de Integrais.
A primeira coisa que devemos entender é que uma Integral representa o valor de uma área, beleza?!
Se pararmos para analisar, tem algumas áreas que conseguimos calcular de boa, como essas aqui embaixo:
Agora, imagina que queremos calcular a área azul abaixo:
Talvez você não faça ideia de como calcular a área disso... rs.
No caso da figura acima, queremos calcular a área embaixo da função entre e .
Para calcular áreas nesse tipo de situação podemos utilizar a Soma de Riemann, porém isso será abordado mais pra frente! O importante agora é fixar a ideia que integrar é mais uma forma de calcular áreas.
Notação
Vamos entender essa notação de integral de forma mais geral:
é chamado de integrando que é a função que queremos a área;
é o limite inferior, que é onde começa o intervalo que queremos a área;
é o limite superior, que é onde termina o intervalo que queremos a área; mostra que estamos integrando na variável (se fosse , por exemplo, estaríamos integrando em ).
Show de bola?!
É importante a gente saber também que existem dois tipos de integrais: as integrais definidas e as indefinidas.
A Integral Definida resulta em um número, um valor. Essa integral acontece quando os limites de integração são números também, ou seja, na maioria dos casos.
A Integral Indefinida resulta em uma função. Nela, não há os limites de integração, o que resulta em uma outro função que chamamos de Primitiva da função .
Sinal da Integral
Essa é uma parte tranquila da matéria, mas pode se tornar problemática se não estiver bem clara. As integrais podem ter valores positivos e negativos! Sim, é verdade rs!
Como já conversamos anteriormente, a integral representa uma área delimitada por uma função, porém essa função pode estar na parte negativa do plano cartesiano, observe:
Quando a função está abaixo do eixo , o valor da integral é negativo! Quando a função está acima do eixo , o valor da integral é positivo!
e
Portanto, temos que ter cuidado se quisermos calcular áreas e não integrais, pois as áreas são sempre positivas (não existe área negativa).
Por exemplo:
Note que como (um número negativo) então na hora de calcularmos a área azul precisamos incluir o sinal negativo, para que o valor da área seja positivo.
Se quisermos calcular a área total, ou seja, temos que calcular :
Assim,
Beleza?!
Vamos praticar então?!
Exercício Resolvido #1
Considere o seguinte gráfico da função
Sabendo que as áreas das regiões , , , e são:
.
Calcule:
Passo 1
Ele quer várias integrais, mas ainda não sabemos calcular isso. Vamos pensar na integral como área, porque a área ele deu e aí podemos calcular as integrais.
Na primeira integral temos
Isso vai ser a área de à . Olhando o gráfico, vemos que nesse trecho a função está acima do eixo . Portanto, a integral é o mesmo valor da área!
Passo 2
Aplicando a mesma lógica para a integral seguinte, temos:
Aqui, temos uma parte da função acima do eixo e outra abaixo. Portanto, uma das áreas será igual a integral e a outra o inverso, então
Passo 3
Seguindo com a solução:
Pela mesma lógica anterior:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Se , e , determine:
Passo 1
Ele está dando integrais definidas com funções genéricas e e pedindo o valor de integrais que envolvem essas integrais. Hum, acho que isso tá com cheiro de propriedades de integrais!
Passo 2
Letra a)
Veja bem:
Queremos e temos o valor da integral
A única coisa que muda é a constante multiplicando , certo? Os limites de integração são os mesmos. Então que tal usarmos essa propriedade aí embaixo?
Do enunciado, sabemos que:
Logo:
Pronto!
Passo 3
Letra b)
Queremos e temos o valor das integrais e
Essa questão é diferente da anterior. Agora, além da constante multiplicando , os limites de integração também mudam. Observe que queremos calcular uma integral com limite inferior 2 e temos o valor de duas integrais com o limite inferior igual a -2, sendo que uma delas tem limite superior igual a 2 e a outra limite superior igual a 5.
Isso nos leva a pensar na possibilidade de usar aquela propriedade de juntar intervalor de integração:
Pensa aqui comigo se eu não posso escrever:
Bem, o que temos não é a integral de e sim
Então para podermos usar a propriedade acima, primeiro devemos utilizar aquela propriedade de inverter os limites de integração:
Nesse caso:
No item , já calculamos
Do item :
Logo:
Do enunciado:
Então:
Passo 4
Letra c)
Agora devemos calcular
Temos o valor de
Aqui a constante multiplicando a função muda, bem como a ordem dos limites de integração. Portanto, utilizamos as propriedades abaixo:
Temos:
Do enunciado, sabemos que:
Logo:
E então:
Passo 5
Letra d)
Queremos e temos o valor de , calculado no item
Nesse caso, a única coisa que difere é a constante multiplicando a função . Mais uma vez, podemos utilizar a propriedade:
Passo 6
Letra e)
Queremos calcular e temos os valores de (calculado no item e o valor de (calculado no item .
A primeira coisa que devemos notar é que podemos reescrever essa soma da seguinte forma:
Utilizando a propriedade:
(Ufa... me diz que você também não aguenta mais usar essa propriedade?)
Temos:
Agora nós temos a integral de uma soma. Então devemos utilizar a propriedade que diz que a integral da soma é igual à soma das integrais:
Portanto, teremos:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Escreva como uma integral única na forma :
Passo 1
Temos que transformar a soma de 3 integrais em uma só.
Repare que as integrais possuem limites de integração diferentes e queremos transformar em uma só integral com limites de integração e .
Basicamente, temos que descobrir quem é e .
Passo 2
Nesses tipos de problemas, onde temos que manipular somente os limites de integração, vamos ter que usar as propriedades das integrais.
Ao olhar para as duas primeira integrais que compõem a soma, já podemos, de cara, usar uma propriedade de integrais definidas:
Nesse caso, temos:
Logo:
Observe que agora reduzimos um termo daquela soma, pois as duas primeiras integrais foram substituídas por uma única integral equivalente. O que temos agora é:
Passo 3
Agora, para podemos utilizar a mesma propriedade de antes, devemos lembrar da propriedade de inverter os limites de integração.
Nesse caso:
Assim, temos:
Agora, podemos utilizar novamente a seguinte propriedade:
Agora, temos:
Passo 4
Observe que a integral resultante tem limite inferior maior que o superior. Basta utilizarmos novamente a propriedade de inverter os limites de integração para reescrevê-la:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Analise as seguintes expressões:
Sabendo que elas são válidas e que , e são funções contínuas em , calcule os seguintes itens:
Passo 1
Partiu fazer? Partiu! Vai, analisa comigo: ele está dando um monte de integrais definidas com funções genéricas , e e pedindo o valor de integrais que envolvem essas integrais. Tá na cara que temos que usar propriedades de integrais definidas, você não acha, não?
Então vamos lá!
Passo 2
Na letra , vamos começar usando as propriedades de integrais definidas que aprendemos para quebrar aquela expressão que ele está pedindo, porque aí vai ficar muito mais fácil entender o que você vai usar.
Olha o que ele está pedindo:
Já sabemos que:
Portanto, podemos reescrever o que ele está pedindo como:
Passo 3
E agora? O que podemos fazer com isso?
Não temos nem . O que eu faço? Socorro! Calma, não se desespere! Ainda existem outras propriedades de integrais que podemos usar.
Vamos começar pela , que está mais fácil de visualizar.
Observe que temos