Introdução e Definição de Integral

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Teoria

A Integral como Área

Esse é um capítulo bem importante para entendermos o conceito de Integrais.

A primeira coisa que devemos entender é que uma Integral representa o valor de uma área, beleza?!

Se pararmos para analisar, tem algumas áreas que conseguimos calcular de boa, como essas aqui embaixo:

Agora, imagina que queremos calcular a área azul abaixo:

Talvez você não faça ideia de como calcular a área disso... rs.

No caso da figura acima, queremos calcular a área ( A ) embaixo da função f x = x 2 entre x = 0,6 e x = 1,4 .

Para calcular áreas nesse tipo de situação podemos utilizar a Soma de Riemann, porém isso será abordado mais pra frente! O importante agora é fixar a ideia que integrar é mais uma forma de calcular áreas.

Notação

Vamos entender essa notação de integral de forma mais geral:

∫ a b f ( x ) d x

f ( x ) é chamado de integrando que é a função que queremos a área;

a é o limite inferior, que é onde começa o intervalo que queremos a área;

b é o limite superior, que é onde termina o intervalo que queremos a área; d x mostra que estamos integrando na variável x (se fosse d t , por exemplo, estaríamos integrando em t ).

Show de bola?!

É importante a gente saber também que existem dois tipos de integrais: as integrais definidas e as indefinidas.

A Integral Definida resulta em um número, um valor. Essa integral acontece quando os limites de integração são números também, ou seja, na maioria dos casos.

∫ a b f ( x ) d x

A Integral Indefinida resulta em uma função. Nela, não há os limites de integração, o que resulta em uma outro função que chamamos de Primitiva da função f ( x ) .

∫ f ( x ) d x

Sinal da Integral

Essa é uma parte tranquila da matéria, mas pode se tornar problemática se não estiver bem clara. As integrais podem ter valores positivos e negativos! Sim, é verdade rs!

Como já conversamos anteriormente, a integral representa uma área delimitada por uma função, porém essa função pode estar na parte negativa do plano cartesiano, observe:

Quando a função está abaixo do eixo x , o valor da integral é negativo! Quando a função está acima do eixo x , o valor da integral é positivo!

∫ a c f ( x ) d x > 0 e             ∫ c b f ( x ) d x < 0

Portanto, temos que ter cuidado se quisermos calcular áreas e não integrais, pois as áreas são sempre positivas (não existe área negativa).

Por exemplo:

∫ a c f ( x ) d x > 0 → A r o s a = ∫ a c f ( x ) d x

∫ c b f ( x ) d x < 0 → A a z u l = - ∫ c b f ( x ) d x

Note que como ∫ c b f ( x ) d x < 0 (um número negativo) então na hora de calcularmos a área azul precisamos incluir o sinal negativo, para que o valor da área seja positivo.

Se quisermos calcular a área total, ou seja, A r o s a   e   A a z u l temos que calcular ∫ a b f ( x ) d x :

∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x

Assim,

∫ a b f ( x ) d x = A r o s a   -   A a z u l

Beleza?!

Vamos praticar então?!

Sinal da Integral

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Considere o seguinte gráfico da função f

Sabendo que as áreas das regiões R 1 , R 2 , R 3 , R 4 e R 5 são:

A R 1 = 4 5 ,   A R 2 = 1 ,   A R 3 = 2 3 ,   A R 4 = 3 4   e   A R 5 = 5 6 .

Calcule:

∫ - 1 0 f t d t

∫ 0 2 f t d t

∫ 0 3 f t d t

Passo 1

Bom, vamos lá! O problema quer que a gente calcule várias integrais, mas ainda não sabemos calcular isso. Agora, o que o problema deu pra gente foram as áreas das regiões do gráfico!

Então uma coisa que a gente precisa saber que que a integral de uma função representa a área abaixo da curva dessa função! Como ele deu as área pra gente, aí podemos calcular as integrais.

Na primeira integral temos

∫ - 1 0 f t d t

Isso vai ser a área de - 1 à 0 . Sabemos que a área dessa região é A R 1 = 4 5 , logo a integral vai ser:

∫ - 1 0 f t d t = 4 5

Passo 2

A integral seguinte, temos:

∫ 0 2 f t d t

Usando a mesma lógica, vamos ver que a integral vai ser a soma das áreas das regiões R 2 e R 3 .

∫ 0 2 f t d t = ∫ 0 1 f t d t + ∫ 1 2 f t d t

Agora, precisamos observar uma coisa muito importante, aqui, temos uma parte da função acima do eixo x e outra abaixo.

Apesar de não existir área negativa, existe integral negativa. Portanto, temos que levar em consideração que a área de R 3 vai fazer uma contribuição negativa por estar abaixo do eixo x. A integral então vai ser:

∫ 0 2 f t d t = A R 2 - A ( R 3 )

∫ 0 2 f t d t = 1 - 2 3

∫ 0 2 f t d t = 1 3

Passo 3

Por último temos:

∫ 0 3 f t d t

Como a gente já calculou ∫ 0 2 f t d t , podemos separar como:

∫ 0 3 f t d t = ∫ 0 2 f t d t + ∫ 2 3 f t d t

Que dá no mesmo que somar todas as áreas, como você preferir... mas temos que lembrar que a área de R 4 também está abaixo do eixo x. Então ficamos com:

∫ 0 3 f t d t = A R 2 - A R 3 - A ( R 4 )

Substituindo temos:

∫ 0 3 f t d t = 1 - 2 3 - 3 4

∫ 0 3 f t d t = 12 - 8 - 9 12 = - 5 12

Resposta

∫ - 1 0 f t d t = 4 5

∫ 0 2 f t d t = 1 3

∫ 0 3 f t d t = 12 - 8 - 9 12 = - 5 12

Exercício Resolvido #2

Analise as seguintes expressões:

∫ - 1 3 f ( x ) d x = 17 2

∫ - 1 2 f ( x ) d x = 1 2

∫ 3 2 g ( x ) d x = 4

h t = ∫ 2 t 2 + 7 t + 15 f ( x ) d x

Sabendo que elas são válidas e que f ( x ) , g ( x ) e h ( t ) são funções contínuas em R , calcule os seguintes itens:

  1. ∫ 2 3 2 f x + 3 g x d x
  2. h ( - 3 )

Passo 1

Partiu fazer? Partiu! Vai, analisa comigo: ele está dando um monte de integrais definidas com funções genéricas f x , g ( x ) e h t e pedindo o valor de integrais que envolvem essas integrais. Tá na cara que temos que usar propriedades de integrais definidas, você não acha, não?

Então vamos lá!

Passo 2

Na letra a ) , vamos começar usando as propriedades de integrais definidas que aprendemos para quebrar aquela expressão que ele está pedindo, porque aí vai ficar muito mais fácil entender o que você vai usar.

Olha o que ele está pedindo:

∫ 2 3 2 f x + 3 g x d x

Já sabemos que:

∫ a b [ f x + g x ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x

∫ a b c ⋅ f ( x ) d x = c   ⋅ ∫ a b f x d x ,     onde   c   é qualquer constante

Portanto, podemos reescrever o que ele está pedindo como:

∫ 2 3 2 f x + 3 g x d x =   ∫ 2 3 2 f x   d x +   ∫ 2 3 3 g x d x  

= 2 ∫ 2 3 f x d x + 3 ∫ 2 3 g ( x )   d x

Passo 3

E agora? O que podemos fazer com isso?

Não temos ∫ 2 3 f x d x   nem ∫ 2 3 g ( x ) d x . O que eu faço? Socorro! Calma, não se desespere! Ainda existem outras propriedades de integrais que podemos usar.

Vamos começar pela g ( x ) , que está mais fácil de visualizar.

Observe que temos

∫ 3 2 g ( x ) d x = 4

Concorda que se invertemos os limites de integração, teremos ∫ 2 3 g ( x )   d x , que é o que nos interessa? E como fazemos isso? Lançamos mão daquela linda propriedade:

∫ a b g ( x ) d x = - ∫ b a g x d x

Logo:

∫ 2 3 g ( x ) d x = - ∫ 3 2 g ( x ) d x

Como: ∫ 3 2 g ( x ) d x = 4

Temos:

∫ 2 3 g ( x ) d x = - 4

Passo 4

E quanto à f ( x ) ? Olha só as duas integrais que nós temos do enunciado:

∫ - 1 3 f ( x ) d x = 17 2

∫ - 1 2 f ( x ) d x = 1 2

A integral que nós queremos é ∫ 2 3 f ( x ) d x . Nós temos 2 no limite superior de integração de uma integral e 3 no limite superior da outra. Além disso, o -1 aparece como limite de integração nas duas integrais. Dá para sentir aquele gostinho de que é para usar aquela propriedade de juntar os limites de integração?

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x

Mas repara que, do jeito que as integrais estão, não dá para usar essa propriedade. Porque o número equivalente ao " b " , que é o limite de integração que tem que ser igual nas duas integrais, é limite inferior nas duas e, para usar essa propriedade, ele tem que ser limite inferior da primeira e limite superior da segunda.

Olha aí a propriedade de inverter os limites de integração nos salvando de novo!

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f x d x →   ∫ 2 - 1 f x d x = - ∫ - 1 2 f x d x

∫ 2 - 1 f x d x = - 1 2

Agora, temos:

∫ - 1 3 f ( x ) d x = 17 2

∫ 2 - 1 f x d x = - 1 2

E queremos:

∫ 2 3 f ( x ) d x

Podemos finalmente utilizar as propriedades de juntar os limites de integração:

∫ 2 3 f ( x ) d x = ∫ - 1 3 f ( x ) d x + ∫ 2 - 1 f x d x  

∫ 2 3 f x d x = 17 2 - 1 2

∫ 2 3 f x d x = 8

Passo 5

Passo 6

Agora que já sabemos ∫ 2 3 f x d x e ∫ 2 3 g x d x , podemos finalmente juntar tudo:

∫ 2 3 2 f x + 3 g x d x =   2 ∫ 2 3 f x d x + 3 ∫ 2 3 g ( x )   d x

∫ 2 3 2 f x + 3 g x d x = 2   .   8 + 3   .   ( - 4 )

∫ 2 3 2 f x + 3 g x d x = 16 - 12 = 4

Passo 7

Passo 8

Agora vamos à letra b )

Essa letra é meio estranha à primeira vista. O que acontece é que ele coloca uma função da variável t no limite da integral. Mas isso dá menos dor de cabeça do que parece. Observe que a variável dentro da integral é x . Aquela função de t em nada atrapalha a integral.

Ele nos dá h ( t ) . Quando ele pede h ( - 3 ) , simplesmente temos que substituir t por - 3 e aí teremos o limite superior da integral. A partir daí, resolvemos normalmente.

Passo 9

Fazendo t = - 3 :

t 2 + 7 t + 15 = - 3 2 + 7 - 3 + 15

= 9 - 21 + 15 = 9 - 6 = 3

Nesse caso, olha como fica a integral:

h - 3 = ∫ 2 3 f ( x ) d x

Opa, essa a gente já calculou, lembra? Depois de utilizar as propriedades de integrais na letra a ) , chegamos à conclusão de que essa integral valia 8 .

h - 3 = ∫ 2 3 f ( x ) d x = 8

Pronto!

Resposta

a)

∫ 2 3 2 f x + 3 g x d x = 4

b)

h - 3 = 8

Exercício Resolvido #3

Se ∫ - 2 2 3   f x d x = 12 , ∫ - 2 5 3   f ( x ) d x =   6 e ∫ - 2 5 3 g ( x ) d x = 2 , determine:

a )   ∫ - 2 2 f x d x

b )   ∫ 2 5   f ( x ) d x

c )   ∫ 5 - 2 g ( x ) d x

d )   ∫ - 2 5 ( - π   g x ) d x

e )   ∫ - 2 5 f x +   g x 5 d x

Passo 1

Ele está dando integrais definidas com funções genéricas f x e g ( x ) e pedindo o valor de integrais que envolvem essas integrais. Hum, acho que isso tá com cheiro de propriedades de integrais!

Passo 2

Letra a)

Veja bem:

Queremos ∫ - 2 2 f x d x e temos o valor da integral ∫ - 2 2 3   f x d x

A única coisa que muda é a constante multiplicando f ( x ) , certo? Os limites de integração são os mesmos. Então que tal usarmos essa propriedade aí embaixo?

∫ a b   c   f x d x = c ∫ a b   f x d x ,   onde   c   é uma constante qualquer

∫ - 2 2 3   f x d x = 3 ∫ - 2 2   f x d x

∫ - 2 2   f x d x = 1 3 . 3 ∫ - 2 2   f x d x = 1 3 ∫ - 2 2 3   f x d x

Do enunciado, sabemos que:

∫ - 2 2 3   f x d x = 12

Logo:

∫ - 2 2   f x d x = 12 3 = 4

Pronto!

Passo 3

Letra b)

Queremos ∫ 2 5 f x d x e temos o valor das integrais ∫ - 2 5 3   f x d x e ∫ - 2 2 3   f x d x

Essa questão é diferente da anterior. Agora, além da constante multiplicando f ( x ) , os limites de integração também mudam. Observe que queremos calcular uma integral com limite inferior 2 e temos o valor de duas integrais com o limite inferior igual a -2, sendo que uma delas tem limite superior igual a 2 e a outra limite superior igual a 5.

Isso nos leva a pensar na possibilidade de usar aquela propriedade de juntar intervalor de integração:

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x    

Pensa aqui comigo se eu não posso escrever:

∫ 2 - 2 f ( x ) d x + ∫ - 2 5 f ( x ) d x = ∫ 2 5 f ( x ) d x    

Bem, o que temos não é a integral de ∫ 2 - 2 f ( x ) d x e sim ∫ - 2 2 f ( x ) d x

Então para podermos usar a propriedade acima, primeiro devemos utilizar aquela propriedade de inverter os limites de integração:

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f x d x    

Nesse caso: ∫ 2 - 2 f x d x = - ∫ - 2 2 f x d x

No item a ) , já calculamos ∫ - 2 2 f x d x

Do item a ) :

∫ - 2 2 f x d x = 4

Logo:

∫ 2 - 2 f x d x = - 4

Do enunciado:

∫ - 2 5 3   f ( x ) d x =   6

∫ - 2 5   f ( x ) d x =   2

Então:

∫ 2 - 2 f ( x ) d x + ∫ - 2 5 f ( x ) d x = ∫ 2 5 f ( x ) d x    

- 4 + 2 = ∫ 2 5 f ( x ) d x    

∫ 2 5 f ( x ) d x   = - 2

Passo 4

Letra c)

Agora devemos calcular

∫ 5 - 2 g x d x

Temos o valor de

∫ - 2 5 3   g x d x

Aqui a constante multiplicando a função g ( x ) muda, bem como a ordem dos limites de integração. Portanto, utilizamos as propriedades abaixo:

∫ a b   c   g x d x = c ∫ a b   g x d x ,   onde   c   é  uma constante qualquer

∫ a b g ( x ) d x = - ∫ b a g x d x    

Temos:

∫ - 2 5 3   g x d x = 3 ∫ - 2 5   g x d x

∫ - 2 5   g x d x = 1 3 ∫ - 2 5 3   g x d x

Do enunciado, sabemos que:

∫ - 2 5 3   g x d x = 2

Logo:

∫ - 2 5   g x d x = 2 3

E então:

∫ 5 - 2   g x d x = - ∫ - 2 5   g x d x = - 2 3

Passo 5

Letra d)

Queremos ∫ - 2 5 ( - π   g x ) d x e temos o valor de ∫ - 2 5 g ( x ) d x , calculado no item c )

Nesse caso, a única coisa que difere é a constante multiplicando a função g ( x ) . Mais uma vez, podemos utilizar a propriedade:

∫ a b   c   f x d x = c ∫ a b   f x d x ,   onde   c   é uma constante qualquer