Sólido Semi-Infinito

Teoria Completa

Introdução

A gente já viu como resolver problemas de condução no regime transiente pra 3 casos: parede plana, cilindro (infinito) e esfera. Agora, a gente vai tratar de um quarto caso: o sólido semi-infinito.

Calma, jovem padawan! Bora entender o que é isso! Imagina aquele dia quente de verão, você na praia curtindo as férias... Daí você resolve comprar uma água de coco lá no calçadão, só que você tá descalço!

Você vai caminhando pela areia quente, mas chega um momento em que você não aguenta mais pisar nela e sai correndo desesperado pra uma sombra mais perto nesse nível de desespero:

Pois é, demora um tempo até que o chão troque calor com você e chegue nas células que te fazem sentir dor.

O seu pé nesse caso é um sólido semi-infinito, porque apesar do chão estar trocando calor com você, essa energia não vai chegar até a sua cabeça. A troca de calor é importante só ali naquela região do pé próxima ao chão.

Num sólido semi-infinito, a gente precisa saber o que acontece na superfície e quais as temperaturas dos corpos antes do contato. No caso do pé na areia, a gente poderia saber a temperatura da areia e a temperatura inicial do pé pra calcular o tempo necessário até sentir dor.

Como tratamos as condições na superfície?

De maneira geral, a gente tem basicamente 3 condições na superfície. Dá uma olhada:

Bora ver como resolver esses casos.

Caso 1: Temperatura Constante na Superfície

Quando a gente já sabe a temperatura da superfície ( T s ), a condição de contorno é:

T 0 , t = T s

Com as resoluções matemáticas propostas até aqui, a gente chegou numa fórmula simples que relaciona as temperaturas do problema com o tempo, olha só:

T x , t - T s T i - T s = erf ⁡ x 2 . α . t  

A função erro de Gauss erf ⁡ w já tá tabelada, se liga:

Pra usar essa tabela é fácil! Você precisa calcular o argumento da função ( w ), olhar na coluna dos argumentos qual valor mais se aproxima e verificar o valor correspondente do erf ⁡ w !

Show! Se descobriram uma fórmula pra distribuição de temperaturas T x , t , a gente consegue calcular também o fluxo de calor. Então, chegaram à outra expressão:

q s ' ' = k . ( T s - T i ) π . α . t  

Caso 2: Fluxo de calor constante na superfície

Pra esse caso aqui, a gente já sabe o valor do fluxo de energia ( q o ' ' ) que é aplicado à superfície, então a gente fica com:

q s ' ' = q o ' '

E a solução para a distribuição de temperatura T x , t é dada por:

T x , t - T i = 2 . q o ' ' k . α . t π . exp ⁡ - x 2 4 . α . t - q o ' ' . x k . e r f c x 2 . α . t  

Onde:

erfc ⁡ w = 1 - erf ⁡ w  

Então vamos precisar dar uma olhadinha novamente na tabela com os valores de erro de Gauss, beleza?

Caso 3: Convecção na superfície

Quando a superfície está exposta a um fluido numa dada temperatura T ∞ , a condição de contorno é que a taxa de condução no sólido é igual à taxa de convecção, então:

- k . ∂ T ∂ x x = 0 = h . T ∞ - T 0 , t  

Sendo assim, a gente fica com a seguinte solução:

T x , t - T i T ∞ - T i = e r f c x 2 . α . t - exp ⁡ h . x k + h 2 . α . t k 2 . e r f c x 2 . α . t + h . α . t k  

Existe a possibilidade ainda da gente utilizar gráficos, ao invés da tabela. Pra isso, basta a gente calcular as duas coordenadas ( x ou y ) e ver de qual curva o ponto está mais próximo ou calcular uma das coordenadas e identificar a curva pra determinar qual a outra coordenada.

Dá uma olhada na cara do gráfico aqui embaixo:

Pra isso, temos que calcular a razão:

h . α . t k

Contato entre dois sólidos semi-infinitos

Ao colocarmos em contato dois sólidos semi-infinitos, partindo do princípio que o contato é perfeito (resistência térmica de contato desprezível), será atingida instantaneamente a igualdade de temperatura na superfície de contato, como mostrado abaixo:

Se ambos possuírem o mesmo material, a temperatura na superfície será a média aritmética das temperaturas:

T s = T A , i + T B , i 2  

Caso os corpos possuam materiais diferentes, a temperatura da superfície é calculada a partir do fluxo de calor que calculamos no caso 1, se liga:

q s , A ' ' = q s , B ' '

k A . ( T s - T A , i ) π . α A . t = k B . ( T s - T B , i ) π . α B . t

Reorganizando essa equação, encontraremos o seguinte:

T s = k ρ c p A . T A , i + k ρ c p B . T B , i k ρ c p A + k ρ c p B  

Agora que já vimos o que é um sólido semi-infinito e como resolvemos problemas, bora aos exercícios!

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Exercício Resolvido #1

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.

Um bloco espesso de madeira ( k = 1,26   W . m - 1 . K - 1 e α = 1,10 . 10 - 5   m 2 . s - 1 ) pintado de preto a 20 o C é submetido a um fluxo de calor solar constante de 1250   W . m - 2 .

a Determine a temperatura da superfície exposta do bloco após 20   m i n .

b Qual seria a sua resposta se o bloco fosse feito de alumínio?

Dados referentes ao alumínio: k = 237   W . m - 1 . K - 1 e α = 9,71 . 10 - 5   m 2 . s - 1 .

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Passo 1

a Determine a temperatura da superfície exposta do bloco após 20   m i n .

Esse é um problema de condução transiente em um meio semi-infinito submetido a um fluxo de calor constante na superfície, ou seja, é o nosso Caso 2. A gente já viu que existe uma expressão para a temperatura para esse tipo de situação:

T x , t - T i = 2 . q o ' ' k . α . t π . exp ⁡ - x 2 4 . α . t - q o ' ' . x k . e r f c x 2 . α . t

O enunciado pede pra gente avaliar a superfície do bloco exposta, então x = 0   m :

T 0 , t - T i = 2 . q o ' ' k . α . t π . exp ⁡ - 0 2 4 . α . t - q o ' ' . x k . e r f c 0 2 . α . t

Como exponencial de 0 é 1 :

T 0 , t - T i = 2 . q o ' ' k . α . t π - q o ' ' . x k . e r f c 0 2 . α . t

E dando uma olhada lá na tabela da função erro complementar ( e r f c ), descobrimos que e r f c 0 = 0 . Então:

T 0 , t - T i = 2 . q o ' ' k . α . t π

Já ficou com uma carinha melhor né?

Passo 2

Pra avaliar o bloco de madeira após 20   m i n , a gente tem que passar esses 20   m i n para segundos. E chegamos no seguinte:

20   m i n = 1200   s

T 0,1200 - 293   K = 2 . 1 250   W . m - 2 1 , 26   W . m - 1 . K - 1 . 1,10 . 10 - 5   m 2 . s - 1 . 1200   s π

T 0,1200 = 421,6   K

Passo 3

b Qual seria a sua resposta se o bloco fosse feito de alumínio?

Caso o bloco fosse de alumínio, a gente teria difusividade ( α ) e condutividade ( k ) térmicas diferentes! Mas, como continuamos avaliando a superfície exposta, temos que x = 0   m . Logo:

T 0 , t - T i = 2 . q o ' ' k . α . t π

Após 20   m i n , a temperatura da superfície seria:

T 0,1200 - 293   K = 2 . 1 250   W . m - 2 237   W . m - 1 . K - 1 . 9,71   .   10 - 5   m 2 . s - 1 . 1200   s π

T 0,1200 = 295   K

Ou seja, com o mesmo fluxo de calor, a superfície de um bloco de alumínio permaneceria a uma temperatura menor do que a de um bloco de madeira.

Isso acontece porque o alumínio conduz energia térmica melhor que a madeira. Na madeira, a energia sofre uma resistência maior a migrar para o resto do sólido, acumulando-se então logo no início, o que torna a temperatura da superfície maior.

Resposta

  1. T 0,1200 = 421,6   K
  2. T 0,1200 = 295   K

Exercício Resolvido #2

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.

A massa específica e o calor específico de um material plástico são conhecidos ( ρ =   1100   k g . m - 3 e c p =   950   J . k g - 1 . K - 1 ), mas sua condutividade térmica é desconhecida. Para determinar a condutividade térmica, uma experiência é realizada, na qual uma amostra fina de um material é aquecida a uma temperatura uniforme de 100 o C e então resfriada pela passagem de ar a 25 o C sobre uma superfície. Um termopar fixado a uma distância de x m = 10   m m abaixo da superfície registra a resposta térmica do plástico durante o resfriamento.

Se o coeficiente de convecção associado com a corrente de ar é h = 200   W . m - 2 . K - 1 e a temperatura 60 o C é registrada 5   m i n após iniciar o resfriamento, qual é a condutividade térmica do material?

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Passo 1

A gente pode ilustrar o enunciado da seguinte maneira:

Esse caso trata de convecção numa superfície, logo estamos falando do Caso 3. A gente já viu que existe uma expressão pronta para a razão entre temperaturas:

T x , t - T i T ∞ - T i = e r f c x 2 . α . t - exp ⁡ h . x k + h 2 . α . t k ² . e r f c x 2 . α . t + h . α . t k

Note que a condutividade térmica ( k ) só aparece dentro da definição de difusividade térmica ( α ) na expressão acima. Sendo assim, a gente precisa abrir a expressão de α :

T x , t - T i T ∞ - T i = e r f c x 2 . ρ . c p k . t - exp ⁡ h . x k + h 2 . t k . ρ . c p . e r f c x 2 . ρ . c p k . t + h k . k . t ρ . c p

Mas é uma equação implícita! Ou a gente resolve por um método numérico (como Newton-Raphson ou Bisseção), ou a gente resolve com uma calculadora científica! Mais fácil pegar uma HP então!

Passo 2

Como a gente já sabe a temperatura inicial ( T i ) e final ( T 5   m i n ) e a temperatura do fluido ( T ∞ ), bora calcular o valor da razão:

T x , t - T i T ∞ - T i = 333 - 373   K 298 - 373   K

T x , t - T i T ∞ - T i = 0,533

Passo 3

Então, temos que:

0,533 = e r f c x 2 . ρ . c p k . t - exp ⁡ h . x k + h 2 . t k . ρ . c p . e r f c x 2 . ρ . c p k . t + h k . k . t ρ . c p

Substituindo os seguintes valores do enunciado para resolver na HP:

x = 0,010   m

t = 300   s

ρ =   1100   k g . m - 3

c p =   950   J . k g - 1 . K - 1

h = 200   W . m - 2 . K - 1

Sendo assim, a gente fica com:

k = 0,45   W . m - 1 . K - 1  

Resposta

k = 0,45   W . m - 1 . K - 1

Exercício Resolvido #3

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.

Pavimentos asfálticos podem atingir temperaturas acima de 50 o C em dias quentes de verão. Considere que tal temperatura exista em todo o pavimento, quando subitamente uma tempestade reduz a temperatura da superfície para 20 o C . Calcule a quantidade total de energia (por unidade de área) que será transferida do asfalto em um período de 30   m i n no qual a superfície é mantida a 20 o C . As propriedades termofísicas do asfalto são ρ =   2115   k g . m - 3 , c p =   920   J . k g - 1 . K - 1 e k = 0,062   W . m - 1 . K - 1 .

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Passo 1

Esse caso trata de uma superfície com temperatura constante, logo estamos falando do Caso 1. A gente já viu que existe uma expressão pronta para o fluxo de calor nessa condição, que é dada por:

q s ' ' = k . ( T s - T i ) π . α . t

Esse fluxo varia ao longo do tempo, como a gente pode perceber. Então, pra gente encontrar a quantidade total de energia que será transferida do asfalto, basta a gente integrar essa expressão ao longo do tempo:

Q = ∫ 0 t q s ' ' d t

Substituindo a expressão do fluxo:

Q = ∫ 0 t k . T s - T i π . α . 1 t d t

Q = k . T s - T i π . α . ∫ 0 t t - 1 / 2 d t

Integrando a expressão:

Q = k . T s - T i π . α . ( 2 . t 1 / 2 )

Q = 2 . k . T s - T i . t π . α

Passo 2

Bora calcular a difusividade térmica ( α ) então:

α = k ρ . c p             →             α = 0,062   W . m - 1 . K - 1 2115   k g . m - 3 . 920   J . k g - 1 . K - 1             →             α = 3,19   x   10 - 8   m 2 s

Substituindo os valores do enunciado:

Q = 2 . 0,062   W . m - 1 . K - 1 . [ 293 - 323   K ] . [ 30 . ( 60 )   s ] π . 3,19   x   10 - 8   m 2 . s - 1

Q = - 499,33   k J . m - 2  

Resposta

Q = - 499,33   k J . m - 2

Exercício Resolvido #4

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.

(Adaptada) Uma placa fina de aço ( ρ =   7800   k g . m - 3 , c p =   480   J . k g - 1 . K - 1 e k = 50   W . m - 1 . K - 1 ) está inicialmente a 300 o C e é resfriada por um jato de água colidindo em uma de suas superfícies. A temperatura da água é de 25 o C e o jato mantém um coeficiente de convecção na superfície elevado e aproximadamente uniforme. Considerando que a superfície é mantida à temperatura da água através do resfriamento, quanto tempo levará para a temperatura alcançar 50 o C a uma distância de 25   m m da superfície?

Dica: Assuma que a derivada da função e r f c   w em relação ao coeficiente de convecção ( h ) é sempre maior que a derivada da função exp ⁡ w .

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Passo 1

A gente pode ilustrar o enunciado da seguinte maneira:

Esse caso trata de convecção numa superfície, logo estamos falando do Caso 3. A gente já viu que existe uma expressão pronta para a razão entre temperaturas:

T x , t - T i T ∞ - T i = e r f c x 2 . α . t - exp ⁡ h . x k + h 2 . α . t k ² . e r f c x 2 . α . t + h . α . t k

No enunciado tá escrito que “o jato mantém um coeficiente de convecção na superfície elevado”. Ou seja, seu valor é muito alto! Podemos então analisar a equação quando o h tende ao infinito ( )!

Note que o primeiro termo não depende de h , mas o segundo sim! Então bora analisar primeiro a exponencial e depois a função e r f c !

Passo 2

Analisando o termo exponencial:

L 1 = lim h → ∞ ⁡ exp ⁡ h . x k + h 2 . α . t k ²

L 1 = lim h → ∞ ⁡ exp ⁡ ∞

L 1 → ∞

Analisando o termo gaussiano:

L 2 = lim h → ∞ ⁡ e r f c x 2 . α . t + h . α . t k

L 2 = lim h → ∞ ⁡ e r f c ∞

L 2 → 0

Sendo assim, a gente pode verificar pela regra de L’Hospital a razão:

R = L 1 1 / L 2

O limite quando h → ∞ dá a indeterminação 0 / 0 e, então, a gente pode derivar em cima e em baixo:

R = L 1 1 / L 2

Aí é que vem a dica! Como a derivada da função exponencial em relação ao coeficiente h é sempre menor que a derivada da função e r f c