Método dos Efeitos Espaciais

Teoria Completa

Condução Transiente Unidimensional

Fala, meu show! A gente já aprendeu como aplicar o Método dos Parâmetros Concentrados, mas e quando aquela regrinha de B i < 0,1 não rolar?

A ideia aqui é a seguinte. Como não temos como aplicar o método dos parâmetros concentrados, vamos ter que partir da Equação de Calor, dada por:

∂ ∂ x k ∂ T ∂ x + ∂ ∂ y k ∂ T ∂ y + ∂ ∂ z k ∂ T ∂ z + q ˙ = ρ c p ∂ T ∂ t

O método dos efeitos espaciais se dá justamente pela solução da equação de calor. Ao resolvê-la, vamos ter uma solução aproximada que vamos poder utilizar para os casos em que B i > 0,1 .

Vamos ver aqui umas expressões bem feias, mas não se preocupe, logo à frente vamos ver como algumas soluções aproximadas facilitam um pouco a nossa vida.

Vamos considerar o caso abaixo:

Para resolver a equação de calor, vamos adotar aqui as seguintes simplificações:

  • Transferência de calor unidimensional;
  • Transferência de calor sem geração térmica q ˙ = 0 ;
  • Propriedades térmicas constantes.

Dessa forma, a nossa equação de calor fica com essa cara:

∂ 2 T ∂ x 2 = 1 α . ∂ T ∂ t

Em que α = k / ρ c p é a difusividade térmica do material.

Nesse caso, as condições de contorno que utilizaremos serão:

∂ T ∂ x x = 0 = 0

- k ∂ T ∂ x x = L = h . T L , t - T ∞

E a nossa condição inicial é dada por T x , 0 = T i .

Adimensionalizando a Equação de Calor

Pra simplificar a equação, a gente vai diminuir o número de variáveis.

“Mas como?”

Muito boa a sua pergunta! Gosto assim! Pra isso, a gente pode propor algumas mudanças de variáveis, como a temperatura adimensional ( θ * ), a distância adimensional ( x * ) e o número de Fourier ( F o ), dados por:

Assim, a equação do calor em coordenadas cartesianas fica com essa cara:

As nossas condições de contorno passarão a ser dadas por:

∂ θ * ∂ x * x * = 0 = 0

∂ θ * ∂ x * x * = 1 = - B i . θ * 1 , F o

E a nossa condição inicial é dada por θ * x * , 0 = 1 .

Repare que a θ * tomou o lugar da temperatura T , a distância adimensional x * entrou no lugar de x e, por último e não menos importante, o número de Fourier F o passa a desempenhar o papel do tempo na forma como formulamos o nosso problema.

“Mas, e aí?! Como a gente faz pra resolver isso?!”

Hoje você está demais, hein!

A solução exata desse problema pode ser encontrada se utilizarmos o método de separação de variáveis.

Isso significa dizer que θ * é o produto de uma função puramente de x * com outra função de F o , ou seja:

θ * x * , F o = F x * . G F o

Se nós fizermos isso, substituindo na Equação de Calor, e aplicando as condições inicial de contorno, encontraremos a seguinte série infinita:

θ * = ∑ n = 1 ∞ C n . exp ⁡ - ζ n 2 . F o . cos ⁡ ζ n . x *

Em que:

C n = 4 . s e n ζ n 2 . ζ n + s e n 2 . ζ n

E os valores de ζ n são as soluções da equação implícita:

ζ n . tan ��� ζ n = B i  

Tá... provavelmente a sua expressão ao ver isso pela primeira vez foi (pelo menos a foi exatamente essa):

RELAXA! Lembra do que eu te disse lá no começo?! Embora as expressões fiquem feias, nós vamos utilizar apenas soluções aproximadas. Dessa forma, vamos utilizar apenas o primeiro termo da série, dado por:

Onde os valores de ζ 1 e C 1 já se encontram tabelados pra cada valor de B i ! Vou colocar essa tabela no final desse capítulo. Então, o que você tem que fazer é o seguinte:

  • Calcular o B i ;
  • Olhar na tabelas os respectivos valores de ζ 1 e C 1 (A tabela tá lá no finalzinho dessa teoria ^^);
  • Ser feliz!

Solução para Cilindro Infinito

De maneira parecida com o que a gente fez para a parede plana, a gente também pode propor novas variáveis para a equação do calor em coordenadas cilíndrica, ficando com o seguinte:

∂ θ * ∂ F o = 1 r * . ∂ ∂ r * r * . ∂ θ * ∂ r *

Novamente, resolvendo a Equação de Calor, e aplicando a condição inicial e as de contorno, encontraremos que a solução dessa equação também é uma série infinita, dada por:

θ * = ∑ n = 1 ∞ C n . exp ⁡ - ζ n 2 . F o . J 0 ⁡ ζ n . r *

Em que:

C n = 2 ζ n . J 1 ζ n J 0 ( ζ n ) + J 1 2 ζ n

E os valores de ζ n são as soluções da equação implícita:

ζ n . J 1 ( ζ n ) J 0 ( ζ n ) = B i  

Se a gente truncar a série infinita no primeiro termo, a gente fica com a solução aproximada:

Os valores de ζ 1 e C 1 estão na mesma tabela (que eu vou colocar lá no final), só que na coluna dos cilindros infinitos!

Caso estejamos interessados em calcular temperatura na linha de centro r * = 0 , teremos:

θ 0 * = C 1 exp ⁡ - ζ 1 2 F o

Esse J 0 ⁡ x é a função de Bessel de primeira ordem. Mas não tem o que se preocupar também! Esse valor também tem uma tabela própria. Você calcula o seu argumento ( x ) e olha na tabela (que está no final dessa teoria) qual o valor de J 0 ⁡ ( x ) .

Solução para Esfera

Com a esfera também não poderia ser diferente, a gente fica com uma equação desse tipo:

∂ θ * ∂ F o = 1 r * 2 . ∂ ∂ r * r * 2 . ∂ θ * ∂ r *

Com as mesmas condições de contorno e inicial, a solução do caso com esferas é a série abaixo:

θ * = ∑ n = 1 ∞ C n . exp ⁡ - ζ n 2 . F o . 1 ζ n . r * . sen ⁡ ζ n . r *

Em que:

C n = 4 . s e n ζ n - ζ n . c o s ζ n 2 . ζ n - s e n 2 . ζ n

E os valores de ζ n são as soluções da equação implícita:

1 - ζ n . cot ⁡ ζ n = B i

Truncando a série infinita no primeiro termo, a solução aproximada é essa daqui:

Quantidade de Calor Transferida

Em muitos casos a nossa preocupação é justamente calcular a taxa de transferência de calor. Essa taxa é calculada através do balanço de energia no corpo. Mas eu vou te colocar de cara pro gol aqui.

  1. Parede Plana:
  2. Cilindro Infinito:
  3. Esfera:

Onde Q 0 é a taxa de transferência de calor no instante inicial t = 0 , dada por:

Q 0 = ρ . V . c p . T i - T ∞

Prontinho! Agora estamos mais do que prontos pra luta!

Promessa é dívida...

Conforme combinado, segue abaixo as tabelas necessárias pra resolver problemas condução transiente utilizando o método dos efeitos espaciais.

Atenção! Note no rodapé da tabela que, pra usá-la, o B i deve ser calculado para cilindros e esferas necessariamente por meio de:

Não dê mole com isso! Sério, nunca te pedi nada! :)

Ah! Como eu havia prometido também, a tabela abaixo mostra os valores para a função de Bessel de primeira ordem.