Método dos Efeitos Espaciais
Teoria
Condução Transiente Unidimensional
Fala, meu show! A gente já aprendeu como aplicar o Método dos Parâmetros Concentrados, mas e quando aquela regrinha de não rolar?
A ideia aqui é a seguinte. Como não temos como aplicar o método dos parâmetros concentrados, vamos ter que partir da Equação de Calor, dada por:
O método dos efeitos espaciais se dá justamente pela solução da equação de calor. Ao resolvê-la, vamos ter uma solução aproximada que vamos poder utilizar para os casos em que .
Vamos ver aqui umas expressões bem feias, mas não se preocupe, logo à frente vamos ver como algumas soluções aproximadas facilitam um pouco a nossa vida.
Vamos considerar o caso abaixo:
Para resolver a equação de calor, vamos adotar aqui as seguintes simplificações:
- Transferência de calor unidimensional;
- Transferência de calor sem geração térmica ;
- Propriedades térmicas constantes.
Dessa forma, a nossa equação de calor fica com essa cara:
Em que é a difusividade térmica do material.
Nesse caso, as condições de contorno que utilizaremos serão:
E a nossa condição inicial é dada por .
Adimensionalizando a Equação de Calor
Pra simplificar a equação, a gente vai diminuir o número de variáveis.
“Mas como?”
Muito boa a sua pergunta! Gosto assim! Pra isso, a gente pode propor algumas mudanças de variáveis, como a temperatura adimensional (), a distância adimensional () e o número de Fourier (), dados por:
Assim, a equação do calor em coordenadas cartesianas fica com essa cara:
As nossas condições de contorno passarão a ser dadas por:
E a nossa condição inicial é dada por .
Repare que a tomou o lugar da temperatura , a distância adimensional entrou no lugar de e, por último e não menos importante, o número de Fourier passa a desempenhar o papel do tempo na forma como formulamos o nosso problema.
“Mas, e aí?! Como a gente faz pra resolver isso?!”
Hoje você está demais, hein!
A solução exata desse problema pode ser encontrada se utilizarmos o método de separação de variáveis.
Isso significa dizer que é o produto de uma função puramente de com outra função de , ou seja:
Se nós fizermos isso, substituindo na Equação de Calor, e aplicando as condições inicial de contorno, encontraremos a seguinte série infinita:
Em que:
E os valores de são as soluções da equação implícita:
Tá... provavelmente a sua expressão ao ver isso pela primeira vez foi (pelo menos a foi exatamente essa):
RELAXA! Lembra do que eu te disse lá no começo?! Embora as expressões fiquem feias, nós vamos utilizar apenas soluções aproximadas. Dessa forma, vamos utilizar apenas o primeiro termo da série, dado por:
Onde os valores de e já se encontram tabelados pra cada valor de ! Vou colocar essa tabela no final desse capítulo. Então, o que você tem que fazer é o seguinte:
- Calcular o ;
- Olhar na tabelas os respectivos valores de e (A tabela tá lá no finalzinho dessa teoria ^^);
- Ser feliz!
Solução para Cilindro Infinito
De maneira parecida com o que a gente fez para a parede plana, a gente também pode propor novas variáveis para a equação do calor em coordenadas cilíndrica, ficando com o seguinte:
Novamente, resolvendo a Equação de Calor, e aplicando a condição inicial e as de contorno, encontraremos que a solução dessa equação também é uma série infinita, dada por:
Em que:
E os valores de são as soluções da equação implícita:
Se a gente truncar a série infinita no primeiro termo, a gente fica com a solução aproximada:
Os valores de e estão na mesma tabela (que eu vou colocar lá no final), só que na coluna dos cilindros infinitos!
Caso estejamos interessados em calcular temperatura na linha de centro , teremos:
Esse é a função de Bessel de primeira ordem. Mas não tem o que se preocupar também! Esse valor também tem uma tabela própria. Você calcula o seu argumento () e olha na tabela (que está no final dessa teoria) qual o valor de .
Solução para Esfera
Com a esfera também não poderia ser diferente, a gente fica com uma equação desse tipo:
Com as mesmas condições de contorno e inicial, a solução do caso com esferas é a série abaixo:
Em que:
E os valores de são as soluções da equação implícita:
Truncando a série infinita no primeiro termo, a solução aproximada é essa daqui:
Quantidade de Calor Transferida
Em muitos casos a nossa preocupação é justamente calcular a taxa de transferência de calor. Essa taxa é calculada através do balanço de energia no corpo. Mas eu vou te colocar de cara pro gol aqui.
- Parede Plana:
- Cilindro Infinito:
- Esfera:
Onde é a taxa de transferência de calor no instante inicial , dada por:
Prontinho! Agora estamos mais do que prontos pra luta!
Promessa é dívida...
Conforme combinado, segue abaixo as tabelas necessárias pra resolver problemas condução transiente utilizando o método dos efeitos espaciais.
Atenção! Note no rodapé da tabela que, pra usá-la, o deve ser calculado para cilindros e esferas necessariamente por meio de:
Não dê mole com isso! Sério, nunca te pedi nada! :)
Ah! Como eu havia prometido também, a tabela abaixo mostra os valores para a função de Bessel de primeira ordem.
“Mas, e aí?! Como a gente faz pra resolver isso?!”
Solução para Cilindro Infinito
Solução para Esfera
Quantidade de Calor Transferida
Promessa é dívida...
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.
Um armazenamento de energia térmica consiste em um grande canal retangular no qual é bem isolado em sua superfície externa e engloba camadas alternadas de material de armazenagem e canal de escoamento.
Cada camada do material de armazenamento é uma placa de alvenaria (, e ) de largura , a qual está a uma temperatura de . Considere condições para as quais a unidade de armazenamento é carregada pela passagem de um gás quente através dos canais. A temperatura do gás e o coeficiente de convecção são considerados valores constantes de e em todo o canal.
- Quanto tempo levará para atingir 75% da energia máxima possível armazenada?
- Quais são as temperaturas máxima e mínima da alvenaria nesse instante?
Passo 1
a) A situação exposta pelo enunciado pode ser vista da seguinte forma:
A primeira coisa que temos que fazer é calcular o número de Biot, então bora lá:
Substituindo os dados:
Como o , a gente não pode desprezar os gradientes de temperatura no interior do sólido e precisamos usar o Método dos Efeitos Espaciais!
Passo 2
Sabemos que a energia máxima (no instante ) a ser trocada é dada por:
Para o caso de paredes planas, a gente pode escrever:
Temos que encontrar o tempo no qual a razão equivale a:
Ou seja:
Substituindo a expressão da temperatura adimensional (), a gente fica com:
Em que:
A difusividade térmica () é dada por:
Assim, o número de Fourier () será:
Passo 3
Pela tabela de valores de e , a gente pode fazer uma interpolação para encontrar esses valores para o caso em que ! Bora lá então:
- Cálculo de :
- Cálculo de :
Passo 4
Substituindo a expressão para o número de Fourier e os valores das constantes, a gente tem que:
Assim:
Isso equivale a aproximadamente .
Passo 5
b) Agora a gente precisa determinar as temperaturas máxima e mínima no sólido! O sólido está esquentando, devido à convecção com o fluido pela superfície. Então, num dado instante, a gente espera que a temperatura máxima seja na parede e a mínima no centro.
Então a gente precisa calcular a temperatura em duas regiões: em (no centro) e em (na parede)! A temperatura adimensional no caso de parede plana é aproximadamente:
Substituindo as constantes:
Passo 6
A temperatura mínima () será:
Isolando a temperatura de interesse:
A temperatura máxima () será:
Isolando a temperatura de interesse:
Resposta
Exercício Resolvido #2
INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.
Em um processo de têmpera, uma lâmina de vidro que se encontra inicialmente a uma temperatura é subitamente resfriada pela redução da temperatura em ambas as superfícies para .
A lâmina tem uma espessura de e o vidro possui uma difusividade térmica de .
Quanto tempo levará até que a temperatura no plano central da lâmina atinja da sua máxima redução de temperatura possível?
Se , qual é o máximo gradiente de temperatura no vidro no instante de tempo supracitado?
Passo 1
O primeiro passo aqui é calcular o danado do Biot:
Opa! Mas o problema não nos deu o coeficiente de transferência de calor por convecção!
“E agora, José?!”
A ideia é a seguinte, quando o problema nos diz que a temperatura na superfície após o resfriamento é , é a mesma coisa que ele nos dizer que, após o resfriamento, , ou seja, seria como considerarmos .
Nesse caso, seria o mesmo que dizer que . Bom, isso definitivamente é maior do que . Kkkk Então partiu Métodos dos Efeitos Espaciais.
Passo 2
Quanto tempo levará até que a temperatura no plano central da lâmina atinja da sua máxima redução de temperatura possível?
Ok! Como não temos exatamente, o valor de Biot, não temos como utilizar a nossa tabela. Então vamos recorrer à definição dos parâmetros e .
Passo 3
Show de bola! Como estamos querendo calcular o tempo, vamos calcular o número de Fourier através da seguinte fórmula:
Como estamos calculando esse tempo no eixo central, . Dessa forma:
Como queremos saber o tempo que levará até que a temperatura no plano central da lâmina atinja da sua máxima redução de temperatura possível, devemos considerar . Dessa forma:
Utilizando a definição do número de Fourier:
Passo 4
Se , qual é o máximo gradiente de temperatura no vidro no instante de tempo supracitado?
Como queremos calcular o gradiente de temperatura, estamos querendo calcular a grandeza .
Pra isso, precisamos calcular a expressão da temperatura. A temperatura adimensional é dada por:
Derivando a expressão acima:
Sendo .
Substituindo na expressão do gradiente de temperatura:
Como queremos o máximo valor do gradiente de temperatura, basta fazer e , logo:
Substituindo os valores:
Resposta
Exercício Resolvido #3
INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.
Inicia-se a aplicação de um revestimento plástico em painéis de madeira pela deposição de polímero fundido sobre o painel e o posterior resfriamento da superfície do polímero ao submetê-la a uma corrente de ar de .
Como uma primeira aproximação, o calor de reação associado à solidificação do polímero pode ser desprezado e a interface polímero/madeira pode ser considerada adiabática.
Sendo a espessura do revestimento e ele estando a uma temperatura inicial de , quanto tempo é necessário para a superfície atingir a temperatura segura para o toque de , se o coeficiente de transferência de calor por convecção for ?
Qual é o valor correspondente da temperatura na interface?
A condutividade térmica e a difusividade térmica do plástico são