Método dos Efeitos Espaciais

Teoria Completa

Condução Transiente Unidimensional

Fala, meu show! A gente já aprendeu como aplicar o Método dos Parâmetros Concentrados, mas e quando aquela regrinha de B i < 0,1 não rolar?

A ideia aqui é a seguinte. Como não temos como aplicar o método dos parâmetros concentrados, vamos ter que partir da Equação de Calor, dada por:

∂ ∂ x k ∂ T ∂ x + ∂ ∂ y k ∂ T ∂ y + ∂ ∂ z k ∂ T ∂ z + q ˙ = ρ c p ∂ T ∂ t

O método dos efeitos espaciais se dá justamente pela solução da equação de calor. Ao resolvê-la, vamos ter uma solução aproximada que vamos poder utilizar para os casos em que B i > 0,1 .

Vamos ver aqui umas expressões bem feias, mas não se preocupe, logo à frente vamos ver como algumas soluções aproximadas facilitam um pouco a nossa vida.

Vamos considerar o caso abaixo:

Para resolver a equação de calor, vamos adotar aqui as seguintes simplificações:

  • Transferência de calor unidimensional;
  • Transferência de calor sem geração térmica q ˙ = 0 ;
  • Propriedades térmicas constantes.

Dessa forma, a nossa equação de calor fica com essa cara:

∂ 2 T ∂ x 2 = 1 α . ∂ T ∂ t

Em que α = k / ρ c p é a difusividade térmica do material.

Nesse caso, as condições de contorno que utilizaremos serão:

∂ T ∂ x x = 0 = 0

- k ∂ T ∂ x x = L = h . T L , t - T ∞

E a nossa condição inicial é dada por T x , 0 = T i .

Adimensionalizando a Equação de Calor

Pra simplificar a equação, a gente vai diminuir o número de variáveis.

“Mas como?”

Muito boa a sua pergunta! Gosto assim! Pra isso, a gente pode propor algumas mudanças de variáveis, como a temperatura adimensional ( θ * ), a distância adimensional ( x * ) e o número de Fourier ( F o ), dados por:

Assim, a equação do calor em coordenadas cartesianas fica com essa cara:

As nossas condições de contorno passarão a ser dadas por:

∂ θ * ∂ x * x * = 0 = 0

∂ θ * ∂ x * x * = 1 = - B i . θ * 1 , F o

E a nossa condição inicial é dada por θ * x * , 0 = 1 .

Repare que a θ * tomou o lugar da temperatura T , a distância adimensional x * entrou no lugar de x e, por último e não menos importante, o número de Fourier F o passa a desempenhar o papel do tempo na forma como formulamos o nosso problema.

“Mas, e aí?! Como a gente faz pra resolver isso?!”

Hoje você está demais, hein!

A solução exata desse problema pode ser encontrada se utilizarmos o método de separação de variáveis.

Isso significa dizer que θ * é o produto de uma função puramente de x * com outra função de F o , ou seja:

θ * x * , F o = F x * . G F o

Se nós fizermos isso, substituindo na Equação de Calor, e aplicando as condições inicial de contorno, encontraremos a seguinte série infinita:

θ * = ∑ n = 1 ∞ C n . exp ⁡ - ζ n 2 . F o . cos ⁡ ζ n . x *

Em que:

C n = 4 . s e n ζ n 2 . ζ n + s e n 2 . ζ n

E os valores de ζ n são as soluções da equação implícita:

ζ n . tan ��� ζ n = B i  

Tá... provavelmente a sua expressão ao ver isso pela primeira vez foi (pelo menos a foi exatamente essa):

RELAXA! Lembra do que eu te disse lá no começo?! Embora as expressões fiquem feias, nós vamos utilizar apenas soluções aproximadas. Dessa forma, vamos utilizar apenas o primeiro termo da série, dado por:

Onde os valores de ζ 1 e C 1 já se encontram tabelados pra cada valor de B i ! Vou colocar essa tabela no final desse capítulo. Então, o que você tem que fazer é o seguinte:

  • Calcular o B i ;
  • Olhar na tabelas os respectivos valores de ζ 1 e C 1 (A tabela tá lá no finalzinho dessa teoria ^^);
  • Ser feliz!

Solução para Cilindro Infinito

De maneira parecida com o que a gente fez para a parede plana, a gente também pode propor novas variáveis para a equação do calor em coordenadas cilíndrica, ficando com o seguinte:

∂ θ * ∂ F o = 1 r * . ∂ ∂ r * r * . ∂ θ * ∂ r *

Novamente, resolvendo a Equação de Calor, e aplicando a condição inicial e as de contorno, encontraremos que a solução dessa equação também é uma série infinita, dada por:

θ * = ∑ n = 1 ∞ C n . exp ⁡ - ζ n 2 . F o . J 0 ⁡ ζ n . r *

Em que:

C n = 2 ζ n . J 1 ζ n J 0 ( ζ n ) + J 1 2 ζ n

E os valores de ζ n são as soluções da equação implícita:

ζ n . J 1 ( ζ n ) J 0 ( ζ n ) = B i  

Se a gente truncar a série infinita no primeiro termo, a gente fica com a solução aproximada:

Os valores de ζ 1 e C 1 estão na mesma tabela (que eu vou colocar lá no final), só que na coluna dos cilindros infinitos!

Caso estejamos interessados em calcular temperatura na linha de centro r * = 0 , teremos:

θ 0 * = C 1 exp ⁡ - ζ 1 2 F o

Esse J 0 ⁡ x é a função de Bessel de primeira ordem. Mas não tem o que se preocupar também! Esse valor também tem uma tabela própria. Você calcula o seu argumento ( x ) e olha na tabela (que está no final dessa teoria) qual o valor de J 0 ⁡ ( x ) .

Solução para Esfera

Com a esfera também não poderia ser diferente, a gente fica com uma equação desse tipo:

∂ θ * ∂ F o = 1 r * 2 . ∂ ∂ r * r * 2 . ∂ θ * ∂ r *

Com as mesmas condições de contorno e inicial, a solução do caso com esferas é a série abaixo:

θ * = ∑ n = 1 ∞ C n . exp ⁡ - ζ n 2 . F o . 1 ζ n . r * . sen ⁡ ζ n . r *

Em que:

C n = 4 . s e n ζ n - ζ n . c o s ζ n 2 . ζ n - s e n 2 . ζ n

E os valores de ζ n são as soluções da equação implícita:

1 - ζ n . cot ⁡ ζ n = B i

Truncando a série infinita no primeiro termo, a solução aproximada é essa daqui:

Quantidade de Calor Transferida

Em muitos casos a nossa preocupação é justamente calcular a taxa de transferência de calor. Essa taxa é calculada através do balanço de energia no corpo. Mas eu vou te colocar de cara pro gol aqui.

  1. Parede Plana:
  2. Cilindro Infinito:
  3. Esfera:

Onde Q 0 é a taxa de transferência de calor no instante inicial t = 0 , dada por:

Q 0 = ρ . V . c p . T i - T ∞

Prontinho! Agora estamos mais do que prontos pra luta!

Promessa é dívida...

Conforme combinado, segue abaixo as tabelas necessárias pra resolver problemas condução transiente utilizando o método dos efeitos espaciais.

Atenção! Note no rodapé da tabela que, pra usá-la, o B i deve ser calculado para cilindros e esferas necessariamente por meio de:

Não dê mole com isso! Sério, nunca te pedi nada! :)

Ah! Como eu havia prometido também, a tabela abaixo mostra os valores para a função de Bessel de primeira ordem.

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Exercício Resolvido #1

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.

Um armazenamento de energia térmica consiste em um grande canal retangular no qual é bem isolado em sua superfície externa e engloba camadas alternadas de material de armazenagem e canal de escoamento.

Cada camada do material de armazenamento é uma placa de alvenaria ( ρ = 1900   k g . m - 3 , c p =   800   J . k g - 1 . K - 1 e k   = 0,70   W . m - 1 . K - 1 ) de largura W =   0,05   m , a qual está a uma temperatura de 25 o C . Considere condições para as quais a unidade de armazenamento é carregada pela passagem de um gás quente através dos canais. A temperatura do gás e o coeficiente de convecção são considerados valores constantes de T ∞ = 600 o C e h = 100   W . m - 2 . K - 1 em todo o canal.

  1. Quanto tempo levará para atingir 75% da energia máxima possível armazenada?
  2. Quais são as temperaturas máxima e mínima da alvenaria nesse instante?
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Passo 1

a) A situação exposta pelo enunciado pode ser vista da seguinte forma:

A primeira coisa que temos que fazer é calcular o número de Biot, então bora lá:

B i = h . L c k             →             B i = h . W 2 . k

Substituindo os dados:

B i = 100   W . m - 2 . K - 1 . 0,05   m 2 . 0,70   W . m - 1 . K - 1

B i = ~ 3,6

Como o B i > 0,1 , a gente não pode desprezar os gradientes de temperatura no interior do sólido e precisamos usar o Método dos Efeitos Espaciais!

Passo 2

Sabemos que a energia máxima (no instante t = 0   s ) a ser trocada é dada por:

Q 0 = ρ . V . c p . T i - T ∞

Para o caso de paredes planas, a gente pode escrever:

Q Q 0 = 1 - s e n ζ 1 ζ 1 . θ *

Temos que encontrar o tempo no qual a razão equivale a:

Q Q 0 = 0,75

Ou seja:

s e n ζ 1 ζ 1 . θ * = 0,25

Substituindo a expressão da temperatura adimensional ( θ * ), a gente fica com:

s e n ζ 1 ζ 1 . C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . F o = 0,25

Em que:

F o = α . t L c 2

A difusividade térmica ( α ) é dada por:

α = k ρ . c p             →             α = 0,70   W . m - 1 . K - 1 1900   k g . m - 3 . 800   J . k g - 1 . K - 1             →             α = 4,61   x   10 - 7   m 2 s

Assim, o número de Fourier ( F o ) será:

F o = 4,61   x   10 - 7   m 2 . s - 1 . t 0,025   m 2

F o = 7,37   x   10 - 4   s - 1 . t

Passo 3

Pela tabela de valores de ζ 1 e C 1 , a gente pode fazer uma interpolação para encontrar esses valores para o caso em que B i = 3,6 ! Bora lá então:

  • Cálculo de ζ 1 :
  • 3,6 - 3,0 4,0 - 3,0 = ζ 1 - 1,1925 1,2646 - 1,1925

    ζ 1 = 1,2358   r a d

  • Cálculo de C 1 :

3,6 - 3,0 4,0 - 3,0 = C 1 - 1,2102 1,2287 - 1,2102

C 1 = 1,2213

Passo 4

Substituindo a expressão para o número de Fourier e os valores das constantes, a gente tem que:

s e n 1,2358 1,2358 . 1,2213 . exp ⁡ - 1,2358 2 . 7,37   x   10 - 4   s - 1 . t = 0,25

Assim:

exp ⁡ - ( 1,1255   x   10 - 3 ) . t = 0,2679

t = ~ 1170   s

Isso equivale a aproximadamente 19,5   m i n .

Passo 5

b) Agora a gente precisa determinar as temperaturas máxima e mínima no sólido! O sólido está esquentando, devido à convecção com o fluido pela superfície. Então, num dado instante, a gente espera que a temperatura máxima seja na parede e a mínima no centro.

Então a gente precisa calcular a temperatura em duas regiões: em x * = 0 (no centro) e em x * = 1 (na parede)! A temperatura adimensional no caso de parede plana é aproximadamente:

θ * = ~ C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . F o . cos ⁡ ζ 1 . x *

Substituindo as constantes:

θ * = ~ 1,2213 . exp ⁡ - 1,2358 2 . ( 0,8623 ) . cos ⁡ 1,2358 . x *

θ * = ~ 0,327 . cos ⁡ 1,2358 . x *

Passo 6

A temperatura mínima ( x * = 0 ) será:

θ x * = 0 * = ~ 0,327 . cos ⁡ 1,2358 . ( 0 )

T x * = 0 - T ∞ T i - T ∞ = ~ 0,327

Isolando a temperatura de interesse:

T x * = 0 = 873   K + 0,327 . 298 - 873   K  

T x * = 0 = 684,8   K

A temperatura máxima ( x * = 1 ) será:

θ x * = 1 * = ~ 0,327 . cos ⁡ 1,2358 . 1

T x * = 1 - T ∞ T i - T ∞ = ~ 0,108

Isolando a temperatura de interesse:

T x * = 1 = 873   K + 0,108 . 298 - 873   K  

T x * = 1 = 811,2   K

Resposta

  1. t = ~ 1170   s
  2. T x * = 0 = 684,8   K   m í n   e   T x * = 1 = 811,2   K   m á x

Exercício Resolvido #2

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

Em um processo de têmpera, uma lâmina de vidro que se encontra inicialmente a uma temperatura T i é subitamente resfriada pela redução da temperatura em ambas as superfícies para T s .

A lâmina tem uma espessura de 20   m m e o vidro possui uma difusividade térmica de 6 × 10 - 7 m 2 / s .

a Quanto tempo levará até que a temperatura no plano central da lâmina atinja 50 % da sua máxima redução de temperatura possível?

b Se T i - T s = 300 ° C , qual é o máximo gradiente de temperatura no vidro no instante de tempo supracitado?

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Passo 1

O primeiro passo aqui é calcular o danado do Biot:

B i = h . L L

Opa! Mas o problema não nos deu o coeficiente de transferência de calor por convecção!

“E agora, José?!”

A ideia é a seguinte, quando o problema nos diz que a temperatura na superfície após o resfriamento é T s , é a mesma coisa que ele nos dizer que, após o resfriamento, T s = T ∞ , ou seja, seria como considerarmos h → ∞ .

Nesse caso, seria o mesmo que dizer que B i = ∞ . Bom, isso definitivamente é maior do que 0,1 . Kkkk Então partiu Métodos dos Efeitos Espaciais.

Passo 2

a Quanto tempo levará até que a temperatura no plano central da lâmina atinja 50 % da sua máxima redução de temperatura possível?

Ok! Como não temos exatamente, o valor de Biot, não temos como utilizar a nossa tabela. Então vamos recorrer à definição dos parâmetros ζ 1 e C 1 .

ζ 1 . tan ⁡ ζ 1 = B i = ∞ → tan ⁡ ζ 1 = ∞

ζ 1 = π 2

C 1 = 4 sen ⁡ ζ 1 2 ζ 1 + sen ⁡ 2 ζ 1 = 4 sen ⁡ π 2 2 × π 2 + sen ⁡ 2 × π 2 = 4 π

C 1 = 1,273

Passo 3

Show de bola! Como estamos querendo calcular o tempo, vamos calcular o número de Fourier através da seguinte fórmula:

θ * = ~ C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . F o . cos ⁡ ζ 1 . x *

Como estamos calculando esse tempo no eixo central, x * = 0 . Dessa forma:

θ * = ~ C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . F o

F o = - ln ⁡ θ * C 1 ζ 1 2

Como queremos saber o tempo que levará até que a temperatura no plano central da lâmina atinja 50 % da sua máxima redução de temperatura possível, devemos considerar θ * = 0,5 . Dessa forma:

F o = - ln ⁡ 0,5 1,273 π 2 2 = 0,379

Utilizando a definição do número de Fourier:

F o = α . t L 2 → t = F o . L 2 α = 0,379 × 0,01 2 6 × 10 - 7

t = 63   s