Taxa de Transferência de Calor Bidimensional

Teoria Completa

Introdução

Quando estamos trabalhando em casos de condução bidimensional de calor, muitas vezes estamos interessados em calcular a taxa de transferência de calor através de um corpo, nem sempre queremos saber como é dada a distribuição de temperaturas.

Por exemplo, vamos pensar na seguinte situação: um forno cúbico para fusão de vidro possui dimensões externas de W = 5   m de lado e é construído com tijolos refratários, com espessura L = 0,35   m e condutividade térmica k = 1,4   W / ( m . K ) .

As laterais e o topo do forno estão expostos ao ar ambiente a 25 ° C , com a convecção natural caracterizada por um coeficiente médio h = 5   W / ( m 2 . K ) . A base do forno encontra-se sobre uma plataforma, que permite exposição de uma grande parte de sua superfície ao ar ambiente, e, em uma primeira aproximação, um coeficiente convectivo de h = 5   W / ( m 2 . K ) pode ser admitido.

Sob condições de operação nas quais gases de combustão mantêm as superfícies internas do forno a 1100 ° C , qual é a perda de calor no forno?

Na teoria, teríamos que resolver a equação de calor, ver como se comporta a distribuição de temperatura no corpo e depois tratar de calcular a taxa de transferência de calor.

Mas, na real, alguém com o coração muito grande tabelou a solução para vários casos desse tipo. Basicamente, temos duas formas de calcular a taxa de transferência de calor: através do Fator de forma e da Taxa de transferência de calor adimensional.

Fator de Forma S

Utilizando o Fator de Forma, podemos escrever a taxa de transferência de calor da seguinte forma:

Onde k é a condutividade térmica do material, e Δ T 1 - 2 é a diferença de temperaturas entre os contornos.

Podemos escrever, assim, a resistência térmica de condução bidimensional como sendo:

O fator de forma pode ser calculado a partir de casos tabelados que, pra não deixar muito bagunçado, vou colocar no final desse capítulo. ;)

Taxa de Condução de Calor Adimensional q r e *

Quando o objeto está imerso em um meio infinito, podemos calcular a taxa de transferência de calor através da taxa de condução de calor adimensional da seguinte forma:

Onde A s é a área superficial do objeto, e L c é o comprimento característico, definido por:

A taxa de condução adimensional também é tabelada, e pra não deixar isso bagunçado, vou colocar a tabela com as expressões para calculá-la no final do capítulo. :)

Voltando ao nosso problema...

Bom, o problema nos deu o coeficiente convectivo e nos deu as temperaturas da parede interna do forno e do ar ambiente. Nesse caso, podemos calcular a taxa de transferência de calor utilizando as resistências térmicas, da seguinte forma:

q = T i n t - T ∞ R c o n d , 2 D + R c o n v

Onde a resistência térmica de convecção é dada por:

R c o n v = 1 h . A s , e x t = 1 5 × 6 × 5 2 = 0,00133   K / W

A resistência térmica de condução bidimensional é dada por:

R c o n d , 2 D = 1 S k

Pra calcular o fator de forma S , devemos levar em consideração:

  • 8 vértices (caso 9 da tabela);
  • 12 arestas (caso 8 da tabela);
  • 6 faces planas (após a tabela).

Dê uma parada e procure esses casos na tabela do próximo tópico. Te espero aqui. =)

...

Beleza! Levando em consideração todos esses fatores, o fator de forma será dado por:

S = 8 × 0,15 L + 12 × 0,54 W - 2 L + 6 × A s , i n t L

Onde A s , i n t é a área da superfície plana interna do forno, dada por A s , i n t = W - 2 L 2 . Substituindo os valores:

S = 8 × 0,15 × 0,35 + 12 × 0,54 × 5 - 2 × 0,35 + 6 × 5 - 2 × 0,35 2 0,35

Assim, a resistência térmica de condução bidimensional será:

R c o n d , 2 D = 1 S k = 1 345,26 × 1,4 = 0,00207   K / W

Dessa forma, a taxa de transferência de calor será:

q = T i n t - T ∞ R c o n d , 2 D + R c o n v = 1100 - 25 0,00207 + 0,00133

Promessa é dívida =)

Conforme combinado, segue abaixo as tabelas pra o Fator de Forma e para a Taxa de Transferência de Calor Adimensional.

Fator de Forma S :

Parede plana:

S = A L

Onde L é a espessura da parede.

Parede cilíndrica:

S = 2 π L ln ⁡ r 2 / r 1

Parede esférica:

S = 4 π r 1 r 2 r 2 - r 1

Taxa de transferência de Calor Adimensional q r e * :

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Exercício Resolvido #1

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

Um fluido quente escoa através de canais circulares em uma peça de ferro fundido A com espessura L A = 30   m m , que apresenta um contato deficiente com as placas de cobertura B , que têm espessura L B = 7,5   m m .

Os canais possuem diâmetro D = 15   m m e o espaçamento entre as linhas de centro de canais adjacentes é L 0 = 60   m m . As condutividades térmicas dos materiais são k A = 20   W / ( m . K ) e k B = 75   W / ( m . K ) , enquanto a resistência de contato entre os dois materiais é de R t , c ' ' = 2,0 × 10 - 4   m 2 K / W .

O fluido quente está a T i = 150 ° C e o coeficiente de transferência de calor por convecção é de 1000   W / ( m 2 . K ) . O fator de forma entre um canal e a superfície superior, e a inferior, da peça é 4,25 .

a Determine a taxa de transferência de calor a partir de um único canal, por unidade de comprimento da peça na direção normal à página, q i ' .

b Determine a temperatura da superfície externa da placa de cobertura, T s .

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Passo 1

a Determine a taxa de transferência de calor a partir de um único canal, por unidade de comprimento da peça na direção normal à página, q i ' .

Como o calor está sendo transferido tanto para a superfície superior, quanto para a inferior, podemos analisar o circuito considerando a transferência de calor entre a metade superior do duto e a superfície superior da placa.

Fazendo isso, teremos o seguinte circuito térmico:

Onde q i ' é a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento. Estamos fazendo dessa forma porque o problema não nos forneceu a profundidade do sistema.

Além disso, o fator de forma dado pelo problema considera toda a superfície do duto. Nesse caso, como estamos considerando somente a metade superior do duto:

S ' = S 2 = 4,25 2 = 2,125

Dessa forma, a taxa de transferência de calor será:

q i ' / 2 = T i - T ∞ R t o t '

q i ' = 2 T i - T ∞ R t o t '

Onde a resistência térmica total será a soma de todas as resistências térmicas, dadas por:

1 h i . π D / 2 = 1 1000 . π . 0,015 / 2 = 0,0424   m . K / W

1 k A . S ' = 1 20.2,125 = 0,0235   m . K / W

R t , c ' ' L 0 = 2 . 10 - 4 0,06 = 0,0033   m . K / W

L B k B . L 0 = 0,0075 75.0,06 = 0,0017   m . K / W

1 h e . L 0 = 1 200.0,06 = 0,0833   m . K / W

Repara que h e é o coeficiente de convecção do ar, que é tabelado.

Assim, a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento será:

q i ' = 2 . 150 - 25 0,0424 + 0,0235 + 0,0033 + 0,0017 + 0,0833

Repara que consideramos T ∞ como t e m p e r a t u r a   a m b i e n t e   ≈ 25 ° C , já que o problema não forneceu esse dado.

q i ' = 1621   W / m

Passo 2

b Determine a temperatura da superfície externa da placa de cobertura, T s .

Podemos calcular a temperatura superficial utilizando a taxa de transferência de calor que acabamos de calcular da seguinte forma:

q i ' 2 = T s - T ∞ 1 / h e L 0

T s = T ∞ + q i ' 2 . 1 h e L 0

Substituindo os valores:

T s = 25 + 1621 2 . 0,0833

Resposta

a q i ' = 1,621   k W / m

b T s = 92,51 ° C

Exercício Resolvido #2

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

Um furo de diâmetro D = 0,25   m é perfurado através do centro de um bloco sólido de seção transversal quadrada com w = 1   m de lado. O furo atravessa o comprimento do bloco, que é de l = 2   m .

O bloco tem condutividade térmica k = 150   W / ( m . K ) . As superfícies externas estão expostas ao ar ambiente, com T ∞ , 2 = 25 ° C e h 2 = 4   W / ( m 2 . K ) , enquanto óleo quente escoa através do furo podendo ser caracterizado por T ∞ , 1 = 300 ° C e h 1 = 50   W / ( m 2 . K ) .

Determine a taxa de transferência de calor e as temperaturas superficiais correspondentes.

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Passo 1

O calor é transferido do óleo para a superfície interna do bloco por convecção, da superfície interna para a externa por condução bidimensional, e da superfície externa do bloco para o ambiente por convecção. Assim, o circuito térmico pode ser representado por:

Assim, a taxa de transferência de calor pode ser dada por:

q = T ∞ , 1 - T ∞ , 2 R t

Onde R t é a resistência térmica total do circuito, sendo a soma das seguintes contribuições:

1 h 1 π D 1 L = 1 50 × π × 0,25 × 2 = 0,0127   K / W

1 h 2 . 4 w l = 1 4 × 4 × 2 × 1 = 0,0312   K / W

Para o fator de forma, de acordo com o caso 6 da tabela, temos que:

S = 2 π L ln ⁡ ( 1,08 w / D ) = 2 π × 2 ln ⁡ 1,08 × 1 / 0,25 = 8,59

Dessa forma, a resistência térmica bidimensional será:

1 S k = 1 8,59 × 150 = 0,0008   K / W

Logo, a taxa de transferência de calor será:

q = 300 - 25 0,0127 + 0,0312 + 0,0008

q = 6152   W

Passo 2

As temperaturas das superfícies podem ser definidas por:

q = T ∞ , 1 - T 1 1 / h 1 π D 1 L → T 1 = T ∞ , 1 - q . 1 h 1 π D 1 L

T 1 = 300 - 6152 × 0,0127

q = T 2 - T ∞ , 2 1 / h 2 . 4 w l → T 2 = T ∞ , 2 + q . 1 h 2 . 4 w l

T 2 = 25 + 6152 × 0,0312  

Resposta

q = 6,152   k W

T 1 = 221,87 ° C

T 2 = 216,94 ° C

Exercício Resolvido #3

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

Um iglu é construído na forma de um hemisfério, com raio interno de 1,8   m e paredes de neve compacta com uma espessura de 0,5   m .

No interior do iglu, o coeficiente de transferência de calor nas superfícies é de 6   W / ( m 2 . K ) ; no lado de fora sob condições de ventos normais, ele é de 15   W / ( m 2 . K ) . A condutividade térmica da neve compacta é de 0,15   W / ( m . K ) .

A temperatura da camada de gelo sobre a qual o iglu se encontra é de - 20 ° C e a sua condutividade térmica é a mesma da neve compactada.

Considerando que os corpos ocupantes do iglu forneçam uma fonte contínua de calor de 320   W no interior do iglu, calcule a temperatura do ar no seu interior quando a temperatura do ar externo é de T ∞ = - 40 ° C . Certifique-se de levar em consideração as perdas de calor pelo chão do iglu.

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Passo 1

Do calor fornecido do sistema pelos ocupantes, parte flui para o exterior do iglu e parte flui para a camada de gelo. Assim, podemos representar o circuito térmico da seguinte forma:

Dessa forma, podemos escrever a taxa de transferência de calor como:

q = T ∞ , i - T ∞ , e R c o n v , e + R c o n d , p + R c o n v , i + T ∞ , i - T c R c o n v , c + R c o n d , 2 D

Vamos calcular cada uma das resistências térmicas separadamente, beleza?

Passo 2

Considerando que estamos trabalhando com uma casca semiesférica, teremos:

Convecção externa:

R c o n v , e = 1 h e . 4 π r e 2 2 = 2 15 × 4 π × 2,3 2

R c o n v , e = 0,00 201   K / W

Condução através da parede:

R c o n d , p = 2 1 4 π k 1 r i - 1 r e = 2 × 1 4 π × 0,15 × 1 1,8 - 1 2,3

R c o n d , p = 0,1281   K / W

Convecção entre a parede interna do iglu e o ar interno:

R c o n v , i = 1 h i . 4 π r i 2 2 = 2 6 × 4 π × 1,8 2