Condução de Calor Multidimensional

Teoria Completa

Introdução

Quando estamos analisando a condução de calor, temos, basicamente, dois objetivos:

  • Determinar a distribuição de temperaturas;
  • Determinar o fluxo térmico.

Ao olharmos pra uma situação desse tipo:

Onde T 2 > T 1 , é de boa saber que o calor é transferido da esquerda para a direita. Além disso, com um pouco mais de informação, podemos determinar, inclusive a forma como o calor está distribuído.

No que estamos interessados agora é em situações com essa cara aqui:

Onde, novamente, T 2 > T 1 . Repare que, agora, somo somente uma superfície possui temperatura maior que as outras, o calor não vai ser mais transferido unidimensionalmente.

E agora, José?!

Pra entender como faremos pra sair dessa roubada, vamos olhar para a equação de calor, dada por:

∂ ∂ x k ∂ T ∂ x + ∂ ∂ y k ∂ T ∂ y + ∂ ∂ z k ∂ T ∂ z + q ˙ = ρ c p ∂ T ∂ t

Vamos fazer aqui as seguintes considerações:

  • Condução bidimensional (em x e y );
  • Regime estacionário ( ∂ T / ∂ t = 0 );
  • Não há geração de energia ( q ˙ = 0 );
  • Condutividade térmica constante.

Aplicando essas simplificações, teremos o seguinte:

∂ 2 T ∂ x 2 + ∂ 2 T ∂ y 2 = 0

Pra facilitar a análise, vamos definir uma temperatura adimensional, dada por:

θ = T - T 1 T 2 - T 1

Assim, para T x , y = T 1 → θ = 0 e para T x , y = T 2 → θ = 1 . Assim, a equação de calor fica resumida a:

∂ 2 θ ∂ x 2 + ∂ 2 θ ∂ y 2 = 0

Onde as condições de contorno são definidas por:

θ 0 , y = 0

θ L , y = 0

θ x , 0 = 0

θ x , W = 1

“Beleza, mas como resolvemos essa equação diferencial?!”

Nesse tipo de casos, é válido usarmos um método chamado método da separação de variáveis. A ideia dele é basicamente a seguinte: vamos dizer que a função θ é, na verdade, o produto de duas funções independentes X x e Y y . Dessa forma:

θ =   X x .   Y y

Substituindo essa expressão na nossa equação de calor e arrumando a casa, encontraremos isso:

- 1 X d 2 X d x 2 = 1 Y d 2 Y d y 2

Pra conseguirmos resolver esses caras separadamente, vamos igualar os dois lados da expressão a uma constante de separação λ 2 . Assim, teremos:

d 2 X d x 2 + λ 2 X = 0

d 2 Y d y 2 - λ 2 Y = 0

Opa! Essas são equações que sabemos resolver! :D Essas lindezas possuem as seguintes soluções:

X = C 1 . cos ⁡ λ x + C 2 . sen ⁡ λ x

Y = C 3 . e - λ y + C 4 . e λ y

Assim, o nosso θ é dado por:

θ = C 1 . cos ⁡ λ x + C 2 . sen ⁡ λ x . C 3 . e - λ y + C 4 . e λ y

Pra determinar as constantes C 1 C 2 , C 3 e C 4 basta aplicar as condições de contorno.

Aplicando as condições de contorno.

Para cada condição, teremos os seguintes resultados:

  • θ 0 , y = 0 → C 1 = 0 .
  • θ x , 0 = 0 → C 3 = - C 4 .
  • θ L , y = 0 :

sen ⁡ λ L = 0

λ L = n π

Onde n = 1 ,   2 ,   3 , . . . Assim:

λ = n π L

Substituindo isso tudo na expressão de θ , teremos:

θ = C 2 C 4 sen ⁡ n π x L . e n π y / L - e - n π y / L

Ainda podemos usar a notação de Euler para os termos exponenciais:

θ = 2 C 2 C 4 sen ⁡ n π x L . senh ⁡ n π y L

Combinando as constantes C 2 e C 4 e admitindo que elas possam depender de n , podemos escrever a temperatura adimensional como sendo:

θ = C n sen ⁡ n π x L . senh ⁡ n π y L

Na real a constante é dada por:

C n = 2 - 1 n + 1 + 1 n π . senh ⁡ n π W / L

“Show de bola, mas então a temperatura fica em função de n ?”

Na verdade, a temperatura será dada pela seguinte forma:

θ x , y = 2 π ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 + 1 n . sen ⁡ n π x L . senh ⁡ n π y / L senh ⁡ n π W / L

Tá, pode ser que você esteja mais ou menos assim agora:

Mas CALMA, podemos partir direto dessa série pra resolver a maior parte dos problemas. Vamos ver isso nos exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

Uma placa retangular bidimensional está sujeita às condições de contorno especificadas.

Usando os resultados da solução exata para a equação do calor apresentados na teoria, calcule a temperatura no ponto central 1 ;   0,5 , utilizando os cinco primeiros termos não-nulos da série infinita que deve ser determinada.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A distribuição de temperatura é dada por:

θ x , y = T - T 1 T 2 - T 1 = 2 π ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 + 1 n . sen ⁡ n π x L . senh ⁡ n π y / L senh ⁡ n π W / L

Onde L = 2   m e W = 1   m . Como estamos considerando o ponto x = 1 e y = 0,5 , vamos começar substituindo os valores pra ver se conseguimos simplificar a equação:

θ 1 ; 0,5 = T - T 1 T 2 - T 1 = 2 π ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 + 1 n . sen ⁡ n π 2 . senh ⁡ n π / 4 senh ⁡ n π / 2

Passo 2

Para qualquer valor par de n , o termo - 1 n + 1 + 1 será nulo. Dessa forma, como estamos preocupados em pegar os 5 primeiros termos da série, vamos utilizar os seguintes valores de n :

n = 1 ,   3 ,   5 ,   7 ,   9

Assim, pegando os 5 primeiros termos da série, teremos:

θ 1 ; 0,5 = 2 π 2 . sen ⁡ π 2 . senh ⁡ π / 4 senh ⁡ π / 2 + 2 3 . sen ⁡ 3 π 2 . senh ⁡ 3 π / 4 senh ⁡ 3 π / 2 + 2 5 . sen ⁡ 5 π 2 . senh ⁡ 5 π / 4 senh ⁡ 5 π / 2 + 2 7 . sen ⁡ 7 π 2 . senh ⁡ 7 π / 4 senh ⁡ 7 π / 2 + 2 9 . sen ⁡ 9 π 2 . senh ⁡ 9 π / 4 senh ⁡ 9 π / 2

Jogando isso tudo na calculadora, teremos:

θ 1 ; 0,5 = 2 π . 0,755 - 0,063 + 0,008 - 0,001 + 0

θ 1 ; 0,5 = 0,445

Passo 3

A temperatura central será:

θ 1 ; 0,5 = T 1 ; 0,5 - T 1 T 2 - T 1

T 1 ; 0,5 = T 1 + θ 1 ; 0,5 . T 2 - T 1

Substituindo os valores:

T 1 ; 0,5 = 50 + 0,445 × 150 - 50

Resposta

T 1 ; 0,5 = 94,5 ° C

Exercício Resolvido #2

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

Considere que a placa retangular bidimensional abaixo possua uma condutividade térmica de 50   W / ( m . K ) .

Partindo da solução exata para a distribuição de temperaturas, deduza uma expressão para a taxa de transferência de calor, por unidade de espessura, saindo pela superfície inferior 0 ≤ x ≤ 2 ,   y = 0 da placa.

Calcule a taxa de transferência de calor considerando os cinco primeiros termos não-nulos da série infinita.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Sabendo que o fluxo térmico muda ao longo de x , e que o calor está sendo transferido para fora da placa, o mesmo pode ser calculado da seguinte forma:

q ' = - ∫ 0 2 d q y ' x , 0 = - ∫ 0 2 - k ∂ T ∂ y y = 0 d x

Utilizando a relação entre T e θ , temos que:

θ = T - T 1 T 2 - T 1 → T = T 1 + θ . T 2 - T 1

∂ T ∂ y = ∂ θ ∂ y . T 2 - T 1

Assim:

q ' = k . T 2 - T 1 ∫ 0 2 ∂ θ ∂ y y = 0   d x