Escoamento sobre uma Esfera

Teoria Completa

Sem mais delongas...

Então, meu time! Esse caso é muito semelhante ao escoamento sobre um cilindro, se liga:

A diferença é que, agora, teremos somente uma correlação pra trabalhar. Ou seja, nem precisamos esquentar muito a cabeça pensando em qual correlação é a mais adequada pra resolver a nossa vida.

Assim como no caso do cilindro, não vale a pena aqui calcularmos o coeficiente local, então estaremos interessados somente no coeficiente convectivo médio h - D . Dessa forma, vamos trabalhar somente com o número de Nusselt médio N u - D , dado por:

Onde o número de Reynolds é dado por:

Essa correlação é válida para:

0,71 ≤ P r ≤ 380

3,5 ≤ R e D ≤ 7,6 × 10 4

10 ≤ μ μ s ≤ 3,2

Ou seja, basicamente ela abrange todos os casos em que veremos escoamentos sobre esferas.

Todas as propriedades do fluido são obtidas a partir da Temperatura de Corrente Livre T ∞ , com exceção de μ s , que é obtida a partir da Temperatura Superficial da Esfera T s .

Por enquanto, é isso! Mas antes de partirmos pros exercícios, vamos dar uma relembrada no nosso passo-a-passo.

Passo-a-passo diferenciado

O que queremos, no final das contas, é sempre calcular o coeficiente convectivo h , certo? Bom, para isso, a boa é fazer o seguinte:

  1. Identifique a geometria do escoamento: Estamos trabalhando com um escoamento sobre uma placa plana, esfera ou cilindro?
  2. Identifique a temperatura de referência: No caso do escoamento sobre uma esfera, vamos usar como referência a temperatura de escoamento livre T ∞ . A partir dessa temperatura, nós vamos pegar nas tabelas dos livros os dados sobre o fluido, incluindo o número de Prandtl.
  3. Calcule o número de Reynolds: No caso do escoamento sobre uma esfera, não vai fazer diferença se o escoamento é laminar ou turbulento, mas para muitos outros casos, isso faz diferença.
  4. Escolha a correlação adequada a partir dos valores de R e e P r . Lembrando que:
    1. O coeficiente local h é usado para determinar o fluxo q ' ' em um ponto específico;
    2. O coeficiente médio h - é usado para determinar a taxa de transferência de calor q em toda a superfície.
  5. Calcule o coeficiente convectivo.
  6. Seja feliz! :)

Vamos colocar isso em prática?! Responde Aí! ;)

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Exercício Resolvido #1

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

Ar atmosférico, a 25 ° C e a uma velocidade de 0,5   m / s , escoa em torno de um bulbo incandescente de 50 W cuja temperatura superficial é de 140 ° C .

O bulbo pode ser aproximado por uma esfera com 50   m m de diâmetro. Qual é a taxa de transferência de calor perdida por convecção para o ar?

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Passo 1

Vamos nessa, meu time!

A primeira coisa que temos que fazer é determinar as propriedades do fluido nas temperaturas de referência ( T ∞ , para todas as propriedades, e T s para μ s ) .

A T ∞ = 25 ° C = 298 K , de acordo com a tabela A.4 do Incropera:

P r = 0,71

k = 0,0261   W / ( m . K )

υ = 15,71 × 10 - 6   m 2 / s

μ = 183,6 × 10 - 7   N . s / m 2

A T s = 140 ° C = 413   K , de acordo com a tabela A.4 do Incropera:

μ s = 235,5 × 10 - 7   N . s / m 2

Passo 2

O próximo passo para calcularmos a taxa de transferência de calor é calcular o número de Nusselt, dado pela seguinte equação:

N u - D = 2 + 0,4 . R e D 1 / 2 + 0,06 . R e D 2 / 3 . P r 0,4 . μ μ s 1 / 4

Onde:

R e D = V D υ = 0,5 × 0,05 15,71 × 10 - 6 → R e D = 1591

Substituindo os valores:

N u - D = 2 + 0,4 × 1591 1 / 2 + 0,06 × 1591 2 / 3 × 0,71 0,4 . 183,6 235,5 1 / 4

N u - D = 21,77

Passo 3

Agora que encontramos o número de Nusselt, podemos calcular o coeficiente convectivo, se liga:

h - = N u - D . k D

Substituindo os valores:

h - = 21,77 × 0,0261 0,05

h - = 11,37   W / ( m 2 . k )

Passo 4

Finalmente, a taxa de transferência de calor será dada por:

q = h - . A . T s - T ∞

Onde A = 4 π r 2 = π D 2 corresponde à área superficial da esfera. Dessa forma:

q = 11,37 × π × 0,05 2 × 140 - 25

Resposta

q = 10,27   W

Exercício Resolvido #2

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

(Alterada) Um recipiente esférico de instrumentos para medições submarinas, usado para sondagens e para medir condições da água, tem um diâmetro de 85   m m e dissipa 300   W .

a Determine a temperatura superficial do recipiente quando suspenso em uma baia na qual a corrente de 1   m / s e a temperatura da água é de 15 ° C . Assuma μ / μ s = 1 para a água.

b Inadvertidamente, o recipiente é retirado da água e suspenso no ar ambiente sem desativar a potência. Determine a temperatura superficial do recipiente com o ar a 15 ° C e uma velocidade do vento de 3   m / s . Assuma μ / μ s = 0,436 para o ar.

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Passo 1

Antes de qualquer coisa, vamos pegar todas as propriedades que vamos precisar pra resolver o problema.

Todas as propriedades serão analisadas à temperatura de corrente livre T ∞ , que é a nossa temperatura de referência.

A T ∞ = 15 ° C = 288   K , de acordo com a tabela A.6 do Incropera para a água:

μ = 1,053 × 10 - 3   N . s / m 2

υ = 1,139 × 10 - 6   m 2 / s

k = 0,5948   W / ( m . K )

P r = 8,06

De acordo com a tabela A.4 do Incropera para o ar a T ∞ = 288   K :

μ = 1,788 × 10 - 5   N . s / m 2

υ = 1,482 × 10 - 5   m 2 / s

k = 0,02534   W / ( m . K )

P r = 0,71

Passo 2

a Determine a temperatura superficial do recipiente quando suspenso em uma baia na qual a corrente de 1   m / s e a temperatura da água é de 15 ° C .

Agora que já sabemos os valores das propriedades, podemos calcular o número de Nusselt, dado por:

N u - D = 2 + 0,4 . R e D 1 / 2 + 0,06 . R e D 2 / 3 . P r 0,4 . μ μ s 1 / 4

Onde:

R e D = V D υ = 1 × 0,0 85 1,139 × 10 - 6 → R e D = 7,463 × 10 4

Substituindo os valores, onde μ /   μ s = 1 :

N u - D = 2 + 0,4 × 7,463 × 10 4 1 / 2 + 0,06 × 7,463 × 10 4 2 / 3 × 8,06 0,4 . 1 1 / 4

N u - D = 499

Passo 3

A taxa de transferência de calor será dada por:

q = h - D . A . T s - T ∞ → T s = T ∞ + q h - D . A

Onde:

T ∞ = 288   K

q = 300   W

h - D = N u - D . k D = 499 × 0,5948 0,085

h - D = 3492   W / ( m 2 . K )

A = π D 2 = π × 0,085 2 = 0,023   m 2

Logo:

T s = 15 + 300 3492 × 0,023

Passo 4

b Inadvertidamente, o recipiente é retirado da água e suspenso no ar ambiente sem desativar a potência. Determine a temperatura superficial do recipiente com o ar a 15 ° C e uma velocidade do vento de 3   m / s .

Novamente, começando pelo número de Nusselt, dado por: N u - D = 2 + 0,4 . R e D 1 / 2 + 0,06 . R e D 2 / 3 . P r 0,4 . μ μ s 1 / 4

Onde:

R e D = V D υ = 3 × 0,085 1,482 × 10 - 5 → R e D = 1,72 × 10 4

Substituindo os valores, onde μ /   μ s = 0,436 :

N u - D = 2 + 0,4 × 1,72 × 10 4 1 / 2 + 0,06 × 1,72 × 10 4 2 / 3 × 0,71 0,4 . 0,436 1 / 4

N u - D = 67,5

Passo 5

Pra fechar, a taxa de transferência de calor será dada por:

q = h - D . A . T s - T ∞ → T s = T ∞ + q h - D . A

Onde:

T ∞ = 288   K

q = 300   W

h - D = N u - D . k D = 67,5 × 0,02534 0,085

h - D = 20,1   W / ( m 2 . K )

A = π D 2 = π × 0,085 2 = 0,023   m 2

Logo:

T s = 15 + 300 20,1 × 0,023

Resposta

a

T s = 18,8   ° C

b

T s = 664 ° C

Exercício Resolvido #3

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

Revestimentos de alumínio altamente refletivos podem ser formados na superfície de um substrato pela aspersão da superfície com gotas de alumínio fundido.

As gotas são geradas em um injetor, deslocam-se através de um gás inerte (hélio) e devem ainda estar no estado líquido no instante da colisão.

Considere condições nas quais as gotas com diâmetro, velocidade e temperatura inicial de D = 500   μ m , V = 3 m / s e T i = 1100   K , respectivamente, atravessam uma camada estagnada de hélio atmosférico que se encontra a uma temperatura de T ∞ = 300   K .

Qual é a espessura máxima permitida para a camada de hélio para garantir que a temperatura das gotas colidindo com o substrato seja maior que o ponto de fusão do alumínio T f ≥ T p f = 933   K ?

As propriedades do alumínio fundido podem ser aproximadas por ρ = 2500   k g / m 3 , c = 1200   J / ( k g . K ) e k = 200   W / ( m . K ) .

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Passo 1

Vamos entender o espírito da coisa, beleza?

Para calcularmos a espessura máxima L da camada de hélio, precisamos saber o tempo necessário para as gotas de alumínio reduzirem a sua temperatura de T i = 1100   K a T f = 933   K , já que:

V = L t → L = V × t

Para calcularmos esse tempo, temos que resolver o problema de condução transiente nas gotas mas, para isso, precisamos do coeficiente convectivo médio.

Então, antes de mais nada, vamos levantar todas as propriedades (tanto do hélio, quanto do alumínio) que vamos precisar pra resolver o problema.

Vamos começar levantando as propriedades do hélio a T ∞ = 300   K . De acordo com a tabela A.4 do Incropera:

υ = 122 × 10 - 6   m 2 / s

μ = 199 × 10 - 7   n . s / m 2

k = 0,152   W / ( m . K )

P r = 0,68

Para o hélio a T s ≅ 1000   K (aproximadamente a média entre as temperaturas inicial e final), temos:

μ s = 446 × 10 - 7   N . s / m 2

De acordo com o problema, temos que, para o alumínio:

ρ = 2500   k g / m 3

c = 1200   J / ( k g . K )

k = 200   W / ( m . K )

Partiu resolver o problema de convecção.

Passo 2

Para encontrarmos o coeficiente convectivo médio, precisamos calcular o número de Nusselt, dado por:

N u - D = 2 + 0,4 . R e D 1 / 2 + 0,06 . R e D 2 / 3 . P r 0,4 . μ μ s 1 / 4

Onde:

R e D = V D υ = 3 × 5 × 10 - 4 1 22 × 10 - 6 → R e D = 12,3

Substituindo os valores:

N u - D = 2 + 0,4 × 12,3 1 / 2 + 0,06 × 12,3 2 / 3 × 0,68 0,4 × 199 446 1 / 4

N u - D = 3,2

Passo 3

O coeficiente convectivo será dado por:

h - = N u - D . k D = 3,2 × 0,152 5 × 10 - 4

h - = 975   W / ( m 2 . K )

Show de bola! Agora podemos tratar da parte de condução transiente do problema.

Passo 4

Para resolver o problema de condução transiente, temos que ver se podemos usar o Método dos Parâmetros Concentrados, calculando o número de Biot, dado por:

B i = h - L c k A l = h - D 6 k = 975 × 5 × 10 - 4 6 × 200 → B i = 4 × 10 - 4 < 0,1

Logo, o Método dos Parâmetros Concentrados vai resolver a nossa vida!

De acordo com o mesmo, o tempo necessário para o resfriamento é dado por:

t = ρ . V . c p h . A . ln ⁡ θ i θ t

Onde V / A = D / 6 , θ i = T i - T ∞ e θ t = T f - T ∞ . Logo:

t = ρ . D . c p 6 h - . ln ⁡ T i - T ∞ T f - T ∞

Substituindo os valores:

t = 2500 × 5 × 10 - 4 × 1200 6 × 975 × ln ⁡ 800 633

t = 0,06

Passo 5

Finalmente, a espessura máxima da camada de hélio será:

L = V × t = 3 × 0,06

Resposta

L = 0,18   m

Exercício Resolvido #4

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

Uma junta de termopar esférica, com 1,0   m m de diâmetro, é inserida no interior de uma câmara de combustão para medir a temperatura T ∞ dos produtos de combustão. Os gases quentes possuem uma velocidade de V = 5   m / s .

Se o termopar estiver a temperatura ambiente T i quando for inserido na câmara, estime o tempo necessário para que a diferença de temperaturas T ∞ - T atinja 2 % da diferença de temperaturas inicial T ∞ - T i .

Despreze os efeitos da radiação e da condição através dos terminais do termopar. As propriedades da junta do termopar podem ser aproximadas por k = 100   W / ( m . K ) , c p = 385   J / ( k g . K ) e ρ = 8920   k g / m 3 , e as dos gases de combustão por k = 0,05   W / ( m . K ) , υ = 50 × 10 - 6   m 2 / s e P r = 0,69 . Considere μ / μ s = 1 .

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Passo 1

Para estimarmos o tempo para que a temperatura decaia, precisamos resolver um problema de condução transiente. No entanto pra resolver esse problema, precisamos calcular o coeficiente convectivo.

Para isso, precisamos começar calculando o número de Nusselt, dado por:

N u - D = 2 + 0,4 . R e D 1 / 2 + 0,06 . R e D 2 / 3 . P r 0,4 . μ μ s 1 / 4

Onde:

R e D = V D υ = 5 × 0,001 50 × 10 - 6 → R e D = 100

Substituindo os valores:

N u - D = 2 + 0,4 × 100 1 / 2 + 0,06 × 100 2 / 3 × 0,69 0,4 × 1 1 / 4

N u - D = 6,56

Passo 2

O coeficiente convectivo médio é dado por:

h - = N u - D . k D

Substituindo os valores:

h - = 6,56 × 0,05 0,001 → h - = 328   W / ( m 2 . K )

Passo 3

Agora podemos tratar do problema de condução transiente. Então, logo de cara, vamos calcular o número de Biot pra saber se podemos usar o Método dos Parâmetros Concentrados:

B i = h - . L c k = h - . D 6 k