Escoamento sobre um Cilindro

Teoria Completa

Introdução

Vamos nessa, meu time!

A ideia agora é a seguinte! Estamos interessados em calcular o coeficiente convectivo entre o fluido e um cilindro que é colocado de forma que o eixo do mesmo é perpendicular ao escoamento.

Se olharmos o cilindro de lado, teremos mais ou menos isso aqui:

Agora, diferente do que vimos lá no caso da placa plana, nesse caso não vale a pena calcularmos o coeficiente local. Sendo assim, as correlações que veremos vão trabalhar apenas com o número de Nusselt médio N u - e, consequentemente, com o coeficiente convectivo médio h - .

Vimos anteriormente que o número de Nusselt é geralmente uma função do número de Reynolds R e e do número de Prandtl P r . Bom, P r é um valor que depende do fluido. Já o número de Reynolds é dado por:

Também diferente do que vimos para placa plana, não vamos nos preocupar em determinar se o escoamento será laminar, ou turbulento, já que o escoamento através de um cilindro tende a apresentar essas duas fases de qualquer forma. ;)

Na real, os requisitos pra escolher as correlações que já já vamos ver, permite que possamos escolher duas ou mais correlações para um mesmo problema. Os resultados, no final das contas, vão ser bem próximos um do outro, então não precisa se preocupar tanto com qual correlação você vai escolher, desde que façamos isso direitinho. :)

Vamos ver, basicamente, três correlações.

Correlação de Hilpert

Vou te colocar de cara pro gol aqui, beleza?

Obs.: Não precisa se preocupar com o nome, ok? Coloquei aqui pra dividirmos isso direitinho.

A correlação é essa aqui:

Para essa correlação, as propriedades do fluido são avaliadas à temperatura de filme T f .

Essa fórmula é muito utilizada para P r ≥ 0,7 , mas essa não é uma restrição.

As constantes C e m para cilindros circulares são dadas pela tabela abaixo:

Para cilindros não-circulares, vem pra essa tabela aqui:

Correlação de Zukauskas

Sério, não se preocupe com os nomes, beleza? Hahahaha

Bom, essa correlação tem essa cara aqui:

Para essa correlação, as propriedades do fluido são avaliadas à temperatura de corrente livre T ∞ .

Mas calma aí!

Tá vendo que temos ali um P r s ... Esse número de Prandtl é avaliado na temperatura da superfície do cilindo ( T s ). Cuidado com isso, hein!

Essa correlação é válida desde que:

0,7 ≤ P r ≤ 500

1 ≤ R e D ≤ 10 6

O coeficiente n depende do valor do número de Prandtl P r . Se liga:

Pra fechar, os coeficientes C e m dependem exclusivamente do número de Reynolds R e D , e são dados pela tabela abaixo:

Correlação de Churchill e Bernstein

Então, esses caras propuseram uma única equação que é válida para qualquer valor do número de Reynolds (#ousados) para o qual há dados disponíveis.

Essa equação é recomendada se R e D . P r ≥ 0,2 e tem essa cara aqui:

Para essa correlação, as propriedades do fluido também são avaliadas à temperatura de filme T f .

Novamente, não se preocupe com o quão feias são essas equações. O trabalho que teremos aqui é ver qual a correlação melhor se encaixa com os dados do problema e aplicá-la.

Pra facilitar, vamos matar as saudades do nosso passo-a-passo maroto.

Passo-a-passo diferenciado

Como o objetivo final quando trabalhamos com convecção é calcular justamente o coeficiente convectivo h , vamos fazer o seguinte:

  1. Identifique a geometria do escoamento: Estamos trabalhando com um escoamento sobre uma placa plana, esfera ou cilindro?
  2. Identifique a temperatura de referência: Fique esperto se temos que usar a temperatura de filme T f ou a temperatura de corrente livre T ∞ . Utilize essa temperatura pra pegar os dados sobre o fluido, incluindo o número de Prandtl.
  3. Calcule o número de Reynolds: Utilize o número de Reynolds pra determinar se o escoamento é laminar ou turbulento.
  4. Escolha a correlação adequada a partir dos valores de R e e P r . Lembrando que:
    1. O coeficiente local h x é usado para determinar o fluxo q x ' ' em um ponto específico;
    2. O coeficiente médio h - é usado para determinar a taxa de transferência de calor q em toda a superfície.
  5. Calcule o coeficiente convectivo h .
  6. Seja feliz! :)

Vamos aplicar isso na prática?! ;)

Expandir

Exercício Resolvido #1

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

(Adaptada) Um tubo circular, com diâmetro externo de 25   m m , é colocado em uma corrente de ar a 25 ° C e 1   a t m de pressão. O ar está em escoamento cruzado em relação ao tubo com uma velocidade de 15   m / s , enquanto a superfície externa do tubo é mantida a 100 ° C .

Qual é a taxa de transferência de calor saindo do tubo por unidade de comprimento?

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Passo 1

Antes de qualquer coisa, precisamos definir as propriedades do fluido. Pra isso, usaremos como referência a temperatura de filme, dada por:

T f = T s + T ∞ 2 = 25 + 100 2

T f = 62,5 ° C = 335,5   K

De acordo com a tabela A.4 do Incropera, temos o seguinte:

P r = 0,702

k = 0,0288   W / ( m . K )

υ = 19,31 × 10 - 6   m 2 / s

Agora podemos seguir em frente.

Passo 2

O próximo passo é calcular o número de Reynolds para que possamos decidir qual correlação usaremos:

R e D = V D υ

Substituindo os valores:

R e D = 15 × 0,025 19,31 × 10 - 6 = 1,942 × 10 4

Passo 3

O número de Nusselt médio tem essa cara aqui:

N u - D = C . R e D m . P r 1 / 3

Para o valor do número de Reynolds que encontramos, temos que:

C = 0,193

m = 0,618

Logo:

N u - D = 0,193 . 1,942 × 10 4 0,618 . 0,702 1 / 3

N u - D = 76,64

Passo 4

O coeficiente convectivo médio será dado por:

N u - D = h - . D k → h - = N u - D . k D

Substituindo os valores:

h - = 76,64 × 0,0288 0,025

h - = 88,3   W / ( m 2 . K )

Passo 5

Finalmente, a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento será:

q = h - . A . T s - T ∞

q = h - . π D L . T s - T ∞

q L = h - . π D . T s - T ∞

q ' = h - . π D . T s - T ∞

Substituindo os valores:

q ' = 88,3 × π × 0,025 × 100 - 25

q ' = 520,13   W / m

Resposta

Exercício Resolvido #2

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

Para melhorar a dissipação térmica em um chip de silício, quadrado com W = 4   m m , um pino de cobre é fundido à superfície do chip. O comprimento e o diâmetro do pino são L = 12   m m e D = 2   m m , respectivamente, e ar atmosférico a V = 10   m / s e T ∞ = 300   K está em escoamento cruzado em relação ao pino.

A superfície do chip, e portanto a base do pino, é mantida a uma temperatura de T b = 350   K .

a Supondo que o chip cause um efeito desprezível sobre o escoamento ao redor do pino, qual é o coeficiente convectivo médio na superfície do pino?

b Desprezando a radiação e supondo que o coeficiente convectivo na extremidade do pino seja igual ao calculado na parta a , determine a taxa de transferência de calor no pino.

c Desprezando a radiação e supondo que o coeficiente de transferência de calor na superfície exposta do chip seja igual ao calculado na parte a , determine a taxa total de transferência de calor saindo do chip.

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Passo 1

a Supondo que o chip cause um efeito desprezível sobre o escoamento ao redor do pino, qual é o coeficiente convectivo médio na superfície do pino?

Antes de qualquer coisa, precisamos saber as propriedades dos materiais que vamos precisar para resolver o problema.

Começando pelo ar e utilizando como referência a temperatura de filme, dada por:

T f = T s + T ∞ 2 = 350 + 300 2 → T f = 325   K

A essa temperatura, de acordo com a tabela A.4:

P r = 0,704

k a r = 0,0282   W / ( m . K )

υ = 18 , 4 1 × 10 - 6   m 2 / s

Já para o cobre que está à temperatura de 350   K , de acordo com a tabela A.1, temos que:

k C u = 300   W / ( m . K )

Show! Agora já podemos seguir em frente!

Passo 2

O próximo passo é calcular o número de Reynolds, dado por:

R e D = V D υ = 10 × 0,002 18,41 × 10 - 6 → R e D = 1087

Agora podemos partir para o número de Nusselt.

Passo 3

De acordo com a correlação de Hilpert, o número de Nusselt médio é dado por:

N u - D = C . R e D m . P r 1 / 3

Para o valor do número de Reynolds que encontramos, temos que:

C = 0,683

m = 0,466

Logo:

N u - D = 0,683 . 1087 0,466 . 0,704 1 / 3

N u - D = 15,8

Passo 4

O coeficiente convectivo médio será dado por:

N u - D = h - . D k a r → h - = N u - D . k a r D

Substituindo os valores:

h - = 15,8 × 0,0282 0,002

Passo 5

b Desprezando a radiação e supondo que o coeficiente convectivo na extremidade do pino seja igual ao calculado na parta a , determine a taxa de transferência de calor no pino.

Para aletas com convecção na extremidade, a taxa de transferência de calor é dada por:

q f = M sinh ⁡ m L + h - / m k C u cosh ⁡ m L cosh ⁡ m L + h - / m k C u sinh ⁡ m L

Onde:

M = h - . P . k C u . A c θ b = h - . π D . k C u . π D 2 4 . T b - T ∞

m = h - . P k C u . A c = h - . π D k C u . π D 2 / 4 = 4 h - k C u . D

Substituindo os valores:

M = 222,8 × π 2 × 399 × 0,002 3 4 × 350 - 300

M = 2,1   W

m = 4 × 222,8 399 × 0,002

m = 33,4   m - 1

Substituindo os valores de M e m na expressão de q f , teremos:

q f = 2,1 × sinh ⁡ 33,4 × 0,012 + 222,8 / ( 33,4 × 399 ) cosh ⁡ 33,4 × 0,012 cosh ⁡ 33,4 × 0,012 + 222,8 / ( 33,4 × 399 ) sinh ⁡ 33,4 × 0,012

Ufa!

Passo 6

c Desprezando a radiação e supondo que o coeficiente de transferência de calor na superfície exposta do chip seja igual ao calculado na parte a , determine a taxa total de transferência de calor saindo do chip.

A taxa de transferência total de calor saindo do chip será dada por:

q = q b + q f

Onde q b representa a taxa de calor retirado do chip por convecção, dessa forma:

q = h - . A b . T b - T ∞ + q f

Onde:

A b = W 2 - π D 2 4 = 0,004 2 - π × 0,002 2 4

A b = 1,29 × 10 - 5   m 2

Substituindo os valores:

q = 222,8 × 1,29 × 10 - 5 × 350 - 300 + 0,848

q = 0,992   W

Resposta

a

b

c

Exercício Resolvido #3

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

Um fio metálico fino com diâmetro D está posicionado transversalmente a uma passagem para determinar a velocidade do escoamento a partir de características da transferência de calor.

Uma corrente elétrica é passada através do fio para aquecê-lo e o calor é dissipado por convecção para o fluido em escoamento. A resistência elétrica do fio é determinada por medidas elétricas e sua temperatura é conhecida a partir desta resistência.

a Para um fluido com número de Prandtl arbitrário, desenvolva uma expressão para a sua velocidade em termos da diferença entre a temperatura do fio e a temperatura da corrente livre do fluido.

b Qual é a velocidade de uma corrente de ar a 1   a t m e 25 ° C , se um fio com 0,5   m m de diâmetro atinge uma temperatura de 40 ° C enquanto dissipa 35   W / m ?

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Passo 1

a Para um fluido com número de Prandtl arbitrário, desenvolva uma expressão para a sua velocidade em termos da diferença entre a temperatura do fio e a temperatura da corrente livre do fluido.

Vamos lá! Queremos uma expressão para a velocidade V . A única expressão que temos visto que contém a velocidade é o número de Reynolds R e D que, por sua vez, pode ser utilizado pra calcular o número de Nusselt médio N u - D . O número de Nusselt é utilizado pra calcular o coeficiente convectivo médio h - que, finalmente, é utilizado pra calcular a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento ( q ' , já que o problema não nos disse nada sobre o comprimento do cilindro).

No final das contas, a ordem que temos que seguir pra encontrar uma expressão pra V é:

A taxa de transferência de calor por unidade de comprimento é dada por:

q = h - . A . T s - T ∞ = h - . π D L . T s - T ∞

q L = q ' = h - . π D . T s - T ∞

Isolando o coeficiente convectivo, temos que:

h - = q ' π D . T s - T ∞

Passo 2

O coeficiente convectivo médio está associado ao número de Nusselt por:

N u - D = h - . D k

Logo:

N u - D = q ' . D k . π D . T s - T ∞

N u - D = q ' k . π . T s - T ∞

O número de Nusselt possui a seguinte forma:

N u - D = C . R e D m . P r 1 / 3

Substituindo a expressão do número de Nusselt e isolando o número de Reynolds:

C . R e D m . P r 1 / 3 = q ' k . π . T s - T ∞

R e D m = q ' C . P r 1 / 3 . k . π . T s - T ∞

R e D = q ' C . P r 1 / 3 . k . π . T s - T ∞ 1 / m

Passo 3

Pra fechar a letra a , o número de Reynolds é definido por:

R e D = V D υ → V = R e D . υ D

Substituindo a expressão do número de Reynolds:

Passo 4

b Qual é a velocidade de uma corrente de ar a 1   a t m e 25 ° C , se um fio com 0,5   m m de diâmetro atinge uma temperatura de 40 ° C enquanto dissipa 35   W / m ?

Suponto 10 3 < R e D < 2 × 10 5 , utilizando a equação de Zukauskas, temos C = 0,26 , m = 0,6 e n = 0,37 .

Para as temperaturas dadas pelo problema, as propriedades do ar são dadas na tabela A.4 do Incropera para a temperatura de filme:

T f = 40 + 25 2 = 32,5 ° C → T f = 305,5  

Logo:

P r = 0,71

k = 0,0262   W / ( m . K )

υ = 15,8 × 10 - 6   m 2 / s

Substituindo os valores:

V = 15,8 × 10 - 6 0,0005 .   35 . 0,26 × 0,71 1 / 3 × 0,0262 × π × T s - T ∞ 1 / 0,6

V = 97   m / s

Passo 5

Pra verificar se o nosso chute foi bom, vamos calcular o número de Reynolds pra a velocidade que encontramos pra ver se o mesmo está dentro da faixa que nós assumimos.

R e D = V D υ = 97 × 0,0005 15,8 × 10 - 6

R e D = 3070

Como 10 3 < R e D < 2 × 10 5 , a nossa suposição foi certa. :)

Resposta

a

b

Exercício Resolvido #4

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

(Adaptada) Uma linha de alta tensão, com 25   m m de diâmetro, possui uma resistência elétrica 10 - 4   Ω / m e está transmitindo uma corrente de 1000   A .

Se ar ambiente a 10 ° C e 5   m / s , encontra-se em escoamento cruzado sobrea a linha, qual é a temperatura da sua superfície?

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Passo 1

Antes de qualquer coisa, vamos encontrar as propriedades dos materiais que vamos necessitar pra resolver o problema.

Para o ar, vamos utilizar a tabela A.4 do Incropera, utilizando como referência a temperatura de filme, dada por:

T f = T s + T ∞ 2

“Opa! Como é justamente a temperatura na superfície que queremos calcular, como vamos fazer pra calcular a temperatura de filme?”

Nesse caso, a gente vai chutar um valor para a temperatura de filme e, no final das contas, vamos ver se esse chute foi bem dado. Como a temperatura ambiente é de 10 ° C 283   K , vamos chutar uma temperatura de filme T f = 300   K .

Feito isso, temos que:

P r = 0,707

k a r = 0,0263   W / ( m . K )

υ = 15,89 × 10 - 6   m 2 / s

Passo 2

Calculando o balanço energia no sistema, temos que:

E ˙ g e r a = E ˙ s a i

Logo:

I 2 . R ' = q ' = h - . π D . T s - T ∞

Ambos os lados da igualdade possuem unidade de W / m , onde R ' é a resistência elétrica por unidade de comprimento (dada pelo problema).

Dessa forma, a temperatura na superfície será:

T s = T ∞ + I 2 . R ' h - . π D

Dessa equação, o único termo que não temos é o coeficiente convectivo médio.

Então vamos trabalhar nesse cara.

Passo 3

O número de Reynolds é dado por:

R e D = V D υ = 5 × 0,025 15,89 × 10 - 6 → R e D = 7866,6

Como começamos chutando alguns valores, para não correr o risco de usar uma correlação que não seja adequada, nós vamos utilizar a correlação de Churchill e Bernstein, que é a mais genérica.

Dessa forma:

N u - D = 0,3 + 0,62 . R e D 1 / 2 . P r 1 / 3 1 + 0,4 P r 2 / 3 1 / 4 . 1 + R e D 282.000 5 / 8 4 / 5