Escoamento sobre um Cilindro

Teoria Completa

Introdução

Vamos nessa, meu time!

A ideia agora é a seguinte! Estamos interessados em calcular o coeficiente convectivo entre o fluido e um cilindro que é colocado de forma que o eixo do mesmo é perpendicular ao escoamento.

Se olharmos o cilindro de lado, teremos mais ou menos isso aqui:

Agora, diferente do que vimos lá no caso da placa plana, nesse caso não vale a pena calcularmos o coeficiente local. Sendo assim, as correlações que veremos vão trabalhar apenas com o número de Nusselt médio N u - e, consequentemente, com o coeficiente convectivo médio h - .

Vimos anteriormente que o número de Nusselt é geralmente uma função do número de Reynolds R e e do número de Prandtl P r . Bom, P r é um valor que depende do fluido. Já o número de Reynolds é dado por:

Também diferente do que vimos para placa plana, não vamos nos preocupar em determinar se o escoamento será laminar, ou turbulento, já que o escoamento através de um cilindro tende a apresentar essas duas fases de qualquer forma. ;)

Na real, os requisitos pra escolher as correlações que já já vamos ver, permite que possamos escolher duas ou mais correlações para um mesmo problema. Os resultados, no final das contas, vão ser bem próximos um do outro, então não precisa se preocupar tanto com qual correlação você vai escolher, desde que façamos isso direitinho. :)

Vamos ver, basicamente, três correlações.

Correlação de Hilpert

Vou te colocar de cara pro gol aqui, beleza?

Obs.: Não precisa se preocupar com o nome, ok? Coloquei aqui pra dividirmos isso direitinho.

A correlação é essa aqui:

Para essa correlação, as propriedades do fluido são avaliadas à temperatura de filme T f .

Essa fórmula é muito utilizada para P r ≥ 0,7 , mas essa não é uma restrição.

As constantes C e m para cilindros circulares são dadas pela tabela abaixo:

Para cilindros não-circulares, vem pra essa tabela aqui:

Correlação de Zukauskas

Sério, não se preocupe com os nomes, beleza? Hahahaha

Bom, essa correlação tem essa cara aqui:

Para essa correlação, as propriedades do fluido são avaliadas à temperatura de corrente livre T ∞ .

Mas calma aí!

Tá vendo que temos ali um P r s ... Esse número de Prandtl é avaliado na temperatura da superfície do cilindo ( T s ). Cuidado com isso, hein!

Essa correlação é válida desde que:

0,7 ≤ P r ≤ 500

1 ≤ R e D ≤ 10 6

O coeficiente n depende do valor do número de Prandtl P r . Se liga:

Pra fechar, os coeficientes C e m dependem exclusivamente do número de Reynolds R e D , e são dados pela tabela abaixo:

Correlação de Churchill e Bernstein

Então, esses caras propuseram uma única equação que é válida para qualquer valor do número de Reynolds (#ousados) para o qual há dados disponíveis.

Essa equação é recomendada se R e D . P r ≥ 0,2 e tem essa cara aqui:

Para essa correlação, as propriedades do fluido também são avaliadas à temperatura de filme T f .

Novamente, não se preocupe com o quão feias são essas equações. O trabalho que teremos aqui é ver qual a correlação melhor se encaixa com os dados do problema e aplicá-la.

Pra facilitar, vamos matar as saudades do nosso passo-a-passo maroto.

Passo-a-passo diferenciado

Como o objetivo final quando trabalhamos com convecção é calcular justamente o coeficiente convectivo h , vamos fazer o seguinte:

  1. Identifique a geometria do escoamento: Estamos trabalhando com um escoamento sobre uma placa plana, esfera ou cilindro?
  2. Identifique a temperatura de referência: Fique esperto se temos que usar a temperatura de filme T f ou a temperatura de corrente livre T ∞ . Utilize essa temperatura pra pegar os dados sobre o fluido, incluindo o número de Prandtl.
  3. Calcule o número de Reynolds: Utilize o número de Reynolds pra determinar se o escoamento é laminar ou turbulento.
  4. Escolha a correlação adequada a partir dos valores de R e e P r . Lembrando que:
    1. O coeficiente local h x é usado para determinar o fluxo q x ' ' em um ponto específico;
    2. O coeficiente médio h - é usado para determinar a taxa de transferência de calor q em toda a superfície.
  5. Calcule o coeficiente convectivo h .
  6. Seja feliz! :)

Vamos aplicar isso na prática?! ;)

Expandir

Exercício Resolvido #1

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

(Adaptada) Um tubo circular, com diâmetro externo de 25   m m , é colocado em uma corrente de ar a 25 ° C e 1   a t m de pressão. O ar está em escoamento cruzado em relação ao tubo com uma velocidade de 15   m / s , enquanto a superfície externa do tubo é mantida a 100 ° C .

Qual é a taxa de transferência de calor saindo do tubo por unidade de comprimento?

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Passo 1

Antes de qualquer coisa, precisamos definir as propriedades do fluido. Pra isso, usaremos como referência a temperatura de filme, dada por:

T f = T s + T ∞ 2 = 25 + 100 2

T f = 62,5 ° C = 335,5   K

De acordo com a tabela A.4 do Incropera, temos o seguinte:

P r = 0,702

k = 0,0288   W / ( m . K )

υ = 19,31 × 10 - 6   m 2 / s

Agora podemos seguir em frente.

Passo 2

O próximo passo é calcular o número de Reynolds para que possamos decidir qual correlação usaremos:

R e D = V D υ

Substituindo os valores:

R e D = 15 × 0,025 19,31 × 10 - 6 = 1,942 × 10 4

Passo 3

O número de Nusselt médio tem essa cara aqui:

N u - D = C . R e D m . P r 1 / 3

Para o valor do número de Reynolds que encontramos, temos que:

C = 0,193

m = 0,618

Logo:

N u - D = 0,193 . 1,942 × 10 4 0,618 . 0,702 1 / 3

N u - D = 76,64

Passo 4

O coeficiente convectivo médio será dado por:

N u - D = h - . D k → h - = N u - D . k D

Substituindo os valores:

h - = 76,64 × 0,0288 0,025

h - = 88,3   W / ( m 2 . K )

Passo 5

Finalmente, a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento será:

q = h - . A . T s - T ∞

q = h - . π D L . T s - T ∞

q L = h - . π D . T s - T ∞

q ' = h - . π D . T s - T ∞

Substituindo os valores:

q ' = 88,3 × π × 0,025 × 100 - 25

q ' = 520,13   W / m

Resposta

Exercício Resolvido #2

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

Para melhorar a dissipação térmica em um chip de silício, quadrado com W = 4   m m , um pino de cobre é fundido à superfície do chip. O comprimento e o diâmetro do pino são L = 12   m m e D = 2   m m , respectivamente, e ar atmosférico a V = 10   m / s e T ∞ = 300   K está em escoamento cruzado em relação ao pino.

A superfície do chip, e portanto a base do pino, é mantida a uma temperatura de T b = 350   K .

a Supondo que o chip cause um efeito desprezível sobre o escoamento ao redor do pino, qual é o coeficiente convectivo médio na superfície do pino?

b Desprezando a radiação e supondo que o coeficiente convectivo na extremidade do pino seja igual ao calculado na parta a , determine a taxa de transferência de calor no pino.

c Desprezando a radiação e supondo que o coeficiente de transferência de calor na superfície exposta do chip seja igual ao calculado na parte a , determine a taxa total de transferência de calor saindo do chip.

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Passo 1

a Supondo que o chip cause um efeito desprezível sobre o escoamento ao redor do pino, qual é o coeficiente convectivo médio na superfície do pino?

Antes de qualquer coisa, precisamos saber as propriedades dos materiais que vamos precisar para resolver o problema.

Começando pelo ar e utilizando como referência a temperatura de filme, dada por:

T f = T s + T ∞ 2 = 350 + 300 2 → T f = 325   K

A essa temperatura, de acordo com a tabela A.4:

P r = 0,704

k a r = 0,0282   W / ( m . K )

υ = 18 , 4 1 × 10 - 6   m 2 / s

Já para o cobre que está à temperatura de 350   K , de acordo com a tabela A.1, temos que:

k C u = 300   W / ( m . K )

Show! Agora já podemos seguir em frente!

Passo 2

O próximo passo é calcular o número de Reynolds, dado por:

R e D = V D υ = 10 × 0,002 18,41 × 10 - 6 → R e D = 1087