Força de Sustentação

Teoria Completa

Introdução

E ae! Dominou tudo de arrasto? Bora entender agora essa tal de sustentação.

A gente já viu que, quando o fluido entra em contato com uma superfície, surgem as tais forças de arrasto ( F D ) e de sustentação ( F L ). Qualquer objeto que estiver se movendo num fluido vai estar sujeito a essas forças.

Você lembra do conceito de linhas de corrente? As linhas de corrente são uma forma de representar o campo de velocidades do escoamento. E a gente já aprendeu que, quanto maior o número de linhas de corrente numa região, maior é a velocidade do fluido nessa região.

Beleza! Mas, pela equação de Bernoulli, quanto maior a velocidade em um certo ponto, menor a pressão nesse mesmo ponto (fixada uma altura z ):

p i ρ + V i 2 2 + g , z i = c t e

Então, o que a gente pode concluir? Quanto maior a concentração de linhas de corrente numa região, maior será a velocidade e menor será a pressão nessa região.

Nas situações em que o objeto é simétrico e seu posicionamento em relação ao fluido gera linhas de corrente simétricas, não existe diferença de velocidade entre a parte de cima e a parte de baixo e, consequentemente, não existe diferença de pressão. Dá uma olhada nesses exemplos:

Mas esses casos são muito específicos, não é mesmo? É normal vermos situações nas quais existe um ângulo de inclinação do objeto ou simplesmente situações nas quais o objeto não é simétrico, como por exemplo:

Nessas imagens, dá pra perceber que as linhas de corrente na região acima do objeto são diferentes das que a gente vê na parte de baixo. Então, se tem diferença no campo de velocidades, tem diferença na pressão entre essas regiões. Essa diferença de pressão resulta na força de sustentação ( F L ).

Resumindo, temos o seguinte sistema:

Na imagem, a gente consegue visualizar uma situação genérica, na qual existe:

  • Força de Arrasto (na mesma direção do escoamento),
  • Força de Sustentação (perpendicular ao escoamento).

OBS: O empuxo não é nosso foco nesse tópico, pequeno gafanhoto, mas já estudamos essa força! ^^

Coeficiente de Sustentação

Assim como na força de arrasto a gente viu uma forma de caracterizar a geometria dos objetos por meio de um coeficiente ( C D ), para a força de sustentação, a gente usa o coeficiente de sustentação ( C L ). Ele é definido matematicamente como:

C L = F L 1 2 . ρ . V 2 . A

A expressão é bem parecida com a de, não é mesmo? A diferença é que temos a força de sustentação no numerador e a área ( A ) aqui se refere à área projetada na direção perpendicular ao escoamento. Para o exemplo de um aerofólio como mostrado abaixo, a área projetada ( A ) é dada pelo produto:

A = c . b

Ângulo de ataque

A gente viu anteriormente que a inclinação do objeto em relação ao escoamento altera o a força de sustentação. Essa inclinação pode ser medida pelo que chamamos de ângulo de ataque ( α ), que é o ângulo do corpo em relação à direção do escoamento.

O comportamento do coeficiente de sustentação em função do ângulo de ataque obedece ao seguinte gráfico:

Observe que o gráfico tem 3 regiões:

  • Antes do estol: ao aumentar a inclinação do objeto em relação ao eixo do escoamento, o coeficiente de sustentação também aumenta.
  • No valor de estol: maior valor do coeficiente de sustentação e, consequentemente, ponto onde a força de sustentação ( F L ) é máxima.
  • Depois do estol: ao aumentar ainda mais o ângulo de ataque, o coeficiente diminuirá.

A velocidade de estol pode ser calculada por essa fórmula:

V e s t o l = 2 P ρ C L ,   m a x A p

Sendo P a força peso e C L ,   m a x o coeficiente de sustentação máximo, que pode ser obtido pelo gráfico a depender do ângulo de ataque e da geometria

Com isso, quando se quer projetar algum dispositivo, é importante conhecer bem o sistema e prever a qual ângulo o objeto será submetido para que nada saio do controle! Sentiu a responsa? hahaha

Bora fixar o que a gente aprendeu agora! Então, responde aí! ^^

Expandir

Exercício Resolvido #1

VILANOVA, L. C. Mecânica dos Fluidos. Colégio Técnico Industrial de Santa Maria, RS. 2011.

(Adaptada) Considerando um projeto de aeronave que deva voar com velocidade constante e igual a 4,6   m . s - 1 numa mesma altitude e que tenha uma asa com comprimento de 29,26   m e largura de 2,27   m , determine o coeficiente de sustentação e a carga da asa. Admita que a massa do avião com o piloto é de 95,2   k g .

OBS: Somente a asa do avião é responsável pela sustentação e a carga da asa é definida como a razão entre a força de sustentação e a área projetada.

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Passo 1

Avaliando o sistema, para que o avião permaneça em voo, a força resultante vertical deve ser nula e, consequentemente, a força de sustentação ( F L ) deve se igualar à força peso ( W ):

F L = W

1 2 . ρ . V 2 . A . C L = M . g

Dessa maneira, isolando o coeficiente de sustentação ( C L ):

C L = 2 . M . g ρ . V 2 . A

Substituindo os valores informados no enunciado, temos:

C L = 2 . 95,2   k g . 9,81     m . s - 1 1,23   k g . m - 3 . 4.6   m . s - 1 2 . 29,26   m . 2,27   m

C L = 1,08

Passo 2

Como foi informado no enunciado, a carga da asa é dada pela razão entre a força de sustentação ( F L ) e a área projetada da asa ( A ):

c a r g a =   F L A

Então, primeiro podemos calcular a força de sustentação da seguinte maneira:

c a r g a =   1 2 . ρ . V 2 . A . C L A

c a r g a =   1 2 . 1,23   k g . m - 3 . 4.6   m . s - 1 2 . 1,08

c a r g a = 14,0 5   N . m - 2

Resposta

C L = 1,08

e

c a r g a = 14,0 5   N . m - 2

Exercício Resolvido #2

VILANOVA, L. C. Mecânica dos Fluidos. Colégio Técnico Industrial de Santa Maria, RS. 2011.

Uma bola de tênis lisa, com massa de 57   g e 64   m m de diâmetro, é golpeada na sua parte superior (topsipin) a 25   m . s - 1 , o que lhe confere uma rotação de 7500   r p m . Calcule a sustentação aerodinâmica atuando sobre a bola. Avalie o raio de curvatura da sua trajetória na máxima elevação do plano vertical. Comapre com o raio quando não houver rotação.

(Dados: C L = 0,30 e ρ a r = 1,23   k g . m - 3 )

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Passo 1

Bom, vamos lá! Esse problema se relaciona com o que chamamos de efeito Magnus. O efeito Magnus ocorre quando um corpo, além de se mover em uma direção, roda em torno de seu próprio eixo. Dá uma olhada aqui em baixo:

Observe que ao golpearmos a bola de tênis na parte superior, ela apresentará determinada rotação (sentido horário) além de se mover para frente. Então, a gente percebe que:

  • Na parte de cima: a velocidade da superfície da bola tem sentido oposto ao escoamento do ar.
  • Na parte de baixo: a velocidade da superfície da bola tem mesmo sentido que o escoamento do ar.

Dessa forma, o fluido na parte de cima é desacelerado e o fluido na parte de baixo é acelerado, surgindo, assim, regiões com diferentes velocidades e, consequentemente, regiões com diferentes pressões.

Como a velocidade na parte superior é menor que a velocidade na parte inferior, logo a pressão em cima será maior que a pressão em baixo, gerando uma força de sustentação de cima para baixo ( F L ).

Bacana! A gente já viu como calcular a força de sustentação:

F L = C L . 1 2 . ρ . A . V ²

A área da projeção ( A ) será a área do círculo de diâmetro igual ao da esfera ( D ):

F L = C L . 1 2 . ρ . π . D 2 4 . V ²

F L = π 8 . C L . D 2 . ρ . V ²

Substituindo os valores de cada grandeza, teremos:

F L = π 8 . 0,30 . 0,064   m 2 . 1,23   k g . m - 3 . 25   m . s - 1 ²

F L = 0,371   N

Passo 2

Como vimos, a bola é atingida na parte de cima e “ganha rotação” no sentido horário, resultando numa força resultante para baixo. Usando a segunda lei de Newton para avaliar a curvatura da trajetória no plano vertical temos:

∑ F z = m . a z

- F L - m . g = m . a z

Lembre-se de que a aceleração centrípeta ( a z ) é dada por:

a z = V 2 R

Substituindo a expressão na equação, teremos:

- F L - m . g = m . V 2 R 1

Então, dividindo a equação por m e isolando o raio ( R 1 ), temos que:

R 1 = V 2 g + F L m

R 1 = 25   m . s - 1 2 9,81   m . s - 1 + 0,371   N 0,057   k g

R 1 = 38,3   m

Passo 3

Se não houvesse rotação, as linhas de corrente seriam simétricas e a gente não verificaria diferenças de pressão. Logo a componente da força de sustentação ( F L ) seria zero! Consequentemente a expressão do raio seria dada por:

R 2 = V 2 g

R 2 = 25   m . s - 1 2 9,81   m . s - 1

R 2 = 63,7   m

Concluimos, portanto, que há diferença entre as situações com rotação e sem rotação, logo o efeito Magnus é importante!

Resposta

A força de sustentação calculada foi de:

F L = 0,371   N

Os valores do raio calculados na situação com rotação ( R 1 ) e sem rotação ( R 2 ) são respectivamente:

R 1 = 38,3   m

e

R 2 = 63,7   m

Exercício Resolvido #3

PINHO, F. T., Guia de Apoio em Mecânica dos Fluidos. Seção de Escoamentos Exteriores.

(Adaptada) Um avião Piper tem uma massa de 700   k g e voa com um a velocidade de 190   k m . h - 1 . Sabendo que a área da superfície projetada é de 16,5   m ² , determine o coeficiente de sustentação nessas condições e a potência requerida pelo motor, sabendo que o coeficiente de arrasto ( C D