Força de Sustentação

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Teoria

Introdução

E ae! Dominou tudo de arrasto? Bora entender agora essa tal de sustentação.

A gente já viu que, quando o fluido entra em contato com uma superfície, surgem as tais forças de arrasto ( F D ) e de sustentação ( F L ). Qualquer objeto que estiver se movendo num fluido vai estar sujeito a essas forças.

Você lembra do conceito de linhas de corrente? As linhas de corrente são uma forma de representar o campo de velocidades do escoamento. E a gente já aprendeu que, quanto maior o número de linhas de corrente numa região, maior é a velocidade do fluido nessa região.

Beleza! Mas, pela equação de Bernoulli, quanto maior a velocidade em um certo ponto, menor a pressão nesse mesmo ponto (fixada uma altura z ):

p i ρ + V i 2 2 + g , z i = c t e

Então, o que a gente pode concluir? Quanto maior a concentração de linhas de corrente numa região, maior será a velocidade e menor será a pressão nessa região.

Nas situações em que o objeto é simétrico e seu posicionamento em relação ao fluido gera linhas de corrente simétricas, não existe diferença de velocidade entre a parte de cima e a parte de baixo e, consequentemente, não existe diferença de pressão. Dá uma olhada nesses exemplos:

Mas esses casos são muito específicos, não é mesmo? É normal vermos situações nas quais existe um ângulo de inclinação do objeto ou simplesmente situações nas quais o objeto não é simétrico, como por exemplo:

Nessas imagens, dá pra perceber que as linhas de corrente na região acima do objeto são diferentes das que a gente vê na parte de baixo. Então, se tem diferença no campo de velocidades, tem diferença na pressão entre essas regiões. Essa diferença de pressão resulta na força de sustentação ( F L ).

Resumindo, temos o seguinte sistema:

Na imagem, a gente consegue visualizar uma situação genérica, na qual existe:

  • Força de Arrasto (na mesma direção do escoamento),
  • Força de Sustentação (perpendicular ao escoamento).

OBS: O empuxo não é nosso foco nesse tópico, pequeno gafanhoto, mas já estudamos essa força! ^^

Coeficiente de Sustentação

Assim como na força de arrasto a gente viu uma forma de caracterizar a geometria dos objetos por meio de um coeficiente ( C D ), para a força de sustentação, a gente usa o coeficiente de sustentação ( C L ). Ele é definido matematicamente como:

C L = F L 1 2 . ρ . V 2 . A

A expressão é bem parecida com a de, não é mesmo? A diferença é que temos a força de sustentação no numerador e a área ( A ) aqui se refere à área projetada na direção perpendicular ao escoamento. Para o exemplo de um aerofólio como mostrado abaixo, a área projetada ( A ) é dada pelo produto:

A = c . b

Ângulo de ataque

A gente viu anteriormente que a inclinação do objeto em relação ao escoamento altera o a força de sustentação. Essa inclinação pode ser medida pelo que chamamos de ângulo de ataque ( α ), que é o ângulo do corpo em relação à direção do escoamento.

O comportamento do coeficiente de sustentação em função do ângulo de ataque obedece ao seguinte gráfico:

Observe que o gráfico tem 3 regiões:

  • Antes do estol: ao aumentar a inclinação do objeto em relação ao eixo do escoamento, o coeficiente de sustentação também aumenta.
  • No valor de estol: maior valor do coeficiente de sustentação e, consequentemente, ponto onde a força de sustentação ( F L ) é máxima.
  • Depois do estol: ao aumentar ainda mais o ângulo de ataque, o coeficiente diminuirá.

A velocidade de estol pode ser calculada por essa fórmula:

V e s t o l = 2 P ρ C L ,   m a x A p

Sendo P a força peso e C L ,   m a x o coeficiente de sustentação máximo, que pode ser obtido pelo gráfico a depender do ângulo de ataque e da geometria

Com isso, quando se quer projetar algum dispositivo, é importante conhecer bem o sistema e prever a qual ângulo o objeto será submetido para que nada saio do controle! Sentiu a responsa? hahaha

Bora fixar o que a gente aprendeu agora! Então, responde aí! ^^

Coeficiente de Sustentação

Ângulo de ataque

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

(Adaptada) Considerando um projeto de aeronave que deva voar com velocidade constante e igual a 4,6   m . s - 1 numa mesma altitude e que tenha uma asa com comprimento de 29,26   m e largura de 2,27   m , determine o coeficiente de sustentação e a carga da asa. Admita que a massa do avião com o piloto é de 95,2   k g .

OBS: Somente a asa do avião é responsável pela sustentação e a carga da asa é definida como a razão entre a força de sustentação e a área projetada.

Passo 1

Avaliando o sistema, para que o avião permaneça em voo, a força resultante vertical deve ser nula e, consequentemente, a força de sustentação ( F L ) deve se igualar à força peso ( W ):

F L = W

1 2 . ρ . V 2 . A . C L = M . g

Dessa maneira, isolando o coeficiente de sustentação ( C L ):

C L = 2 . M . g ρ . V 2 . A

Substituindo os valores informados no enunciado, temos:

C L = 2 . 95,2   k g . 9,81     m . s - 1 1,23   k g . m - 3 . 4.6   m . s - 1 2 . 29,26   m . 2,27   m

C L = 1,08

Passo 2

Como foi informado no enunciado, a carga da asa é dada pela razão entre a força de sustentação ( F L ) e a área projetada da asa ( A ):

c a r g a =   F L A

Então, primeiro podemos calcular a força de sustentação da seguinte maneira:

c a r g a =   1 2 . ρ . V 2 . A . C L A

c a r g a =   1 2 . 1,23   k g . m - 3 . 4.6   m . s - 1 2 . 1,08

c a r g a = 14,0 5   N . m - 2

Resposta

C L = 1,08

e

c a r g a = 14,0 5   N . m - 2

Exercício Resolvido #2

Uma bola de tênis lisa, com massa de 57   g e 64   m m de diâmetro, é golpeada na sua parte superior (topsipin) a 25   m . s - 1 , o que lhe confere uma rotação de 7500   r p m . Calcule a sustentação aerodinâmica atuando sobre a bola. Avalie o raio de curvatura da sua trajetória na máxima elevação do plano vertical. Comapre com o raio quando não houver rotação.

(Dados: C L = 0,30 e ρ a r = 1,23   k g . m - 3 )

Passo 1

Bom, vamos lá! Esse problema se relaciona com o que chamamos de efeito Magnus. O efeito Magnus ocorre quando um corpo, além de se mover em uma direção, roda em torno de seu próprio eixo. Dá uma olhada aqui em baixo:

Observe que ao golpearmos a bola de tênis na parte superior, ela apresentará determinada rotação (sentido horário) além de se mover para frente. Então, a gente percebe que:

  • Na parte de cima: a velocidade da superfície da bola tem sentido oposto ao escoamento do ar.
  • Na parte de baixo: a velocidade da superfície da bola tem mesmo sentido que o escoamento do ar.

Dessa forma, o fluido na parte de cima é desacelerado e o fluido na parte de baixo é acelerado, surgindo, assim, regiões com diferentes velocidades e, consequentemente, regiões com diferentes pressões.

Como a velocidade na parte superior é menor que a velocidade na parte inferior, logo a pressão em cima será maior que a pressão em baixo, gerando uma força de sustentação de cima para baixo ( F L ).

Bacana! A gente já viu como calcular a força de sustentação:

F L = C L . 1 2 . ρ . A . V ²

A área da projeção ( A ) será a área do círculo de diâmetro igual ao da esfera ( D ):

F L = C L . 1 2 . ρ . π . D 2 4 . V ²

F L = π 8 . C L . D 2 . ρ . V ²

Substituindo os valores de cada grandeza, teremos:

F L = π 8 . 0,30 . 0,064   m 2 . 1,23   k g . m - 3 . 25   m . s - 1 ²

F L = 0,371   N

Passo 2

Como vimos, a bola é atingida na parte de cima e “ganha rotação” no sentido horário, resultando numa força resultante para baixo. Usando a segunda lei de Newton para avaliar a curvatura da trajetória no plano vertical temos:

∑ F z = m . a z

- F L - m . g = m . a z

Lembre-se de que a aceleração centrípeta ( a z ) é dada por:

a z = V 2 R

Substituindo a expressão na equação, teremos:

- F L - m . g = m . V 2 R 1

Então, dividindo a equação por m e isolando o raio ( R 1 ), temos que:

R 1 = V 2 g + F L m

R 1 = 25   m . s - 1 2 9,81   m . s - 1 + 0,371   N 0,057   k g

R 1 = 38,3   m

Passo 3

Se não houvesse rotação, as linhas de corrente seriam simétricas e a gente não verificaria diferenças de pressão. Logo a componente da força de sustentação ( F L ) seria zero! Consequentemente a expressão do raio seria dada por:

R 2 = V 2 g

R 2 = 25   m . s - 1 2 9,81   m . s - 1

R 2 = 63,7   m

Concluimos, portanto, que há diferença entre as situações com rotação e sem rotação, logo o efeito Magnus é importante!

Resposta

A força de sustentação calculada foi de:

F L = 0,371   N

Os valores do raio calculados na situação com rotação ( R 1 ) e sem rotação ( R 2 ) são respectivamente:

R 1 = 38,3   m

e

R 2 = 63,7   m

Exercício Resolvido #3

(Adaptada) Um avião Piper tem uma massa de 700   k g e voa com um a velocidade de 190   k m . h - 1 . Sabendo que a área da superfície projetada é de 16,5   m ² , determine o coeficiente de sustentação nessas condições e a potência requerida pelo motor, sabendo que o coeficiente de arrasto ( C D ) equivale a 0.05 .

Passo 1

Primeiro passo nosso será encontrar o coeficiente de sustentação ( C L ). Para que o avião permaneça voando na mesma altitude, a componente vertical da força deve ser zero. Como só atuam a força peso e a força de sustentação, temos que:

∑ F z = m . a z

F L - m . g = 0

F L = m . g

Substituindo a nossa velha conhecida expressão para F L , temos:

C L . 1 2 . ρ . A . V 2 = m . g

Antes de prosseguirmos, vamos converter a velocidade para o S.I.:

V = 190 k m h . 1   h 3600   s . 10 3   m 1   k m

V = 52,78   m . s - 1

Substituindo as informações do problema:

C L . 1 2 . 1,23   k g . m - 3 . 16,5   m 2 . 52,78     m . s - 1 ² = 700   k g . 9,81     m . s - 2

Logo:

C L = 0,24

Passo 2

Agora, vamos ao cálculo da potência! “Mas que potência é essa?” Ela é a energia que o motor do avião precisa fornecer por unidade de tempo, para que ele se locomova.

A gente sabe que o escoamento de objetos está sujeito às forças viscosas e, por isso, existe uma resistência ao deslocamento. Essa energia é a que o avião precisa para vencer a resistência relativa ao arrasto.

Podemos escrever a potência ( W ) como a razão entre o trabalho da força pelo tempo:

p o t ê n c i a = t r a b a l h o t e m p o

P = F . d t

Como a razão entre a distância e o tempo é a própria velocidade do avião, temos que:

P = F . V

Como a força que tratamos aqui é a força de arrasto ( F D ), podemos escrever:

P = F D . V

P = C D . 1 2 . ρ . A . V 2 . V

P = C D . 1 2 . ρ . A . V 3

Substituindo o coeficiente de arrasto ( C D = 0,05 ) e os demais valores do enunciado:

P = 0,05 . 1 2 . 1,23   k g . m - 3 . 16,5   m 2 . 52,78     m . s - 1 3

P = 74,6   k W

Resposta

C L = 0,24

e

P = 74,6   k W

Exercício Resolvido #4

(Adaptada) Um Boeing 747, que pesa 290   t o n com combustível, leva 100 passageiros e decola a uma velocidade de 225   k m . h - 1 . O peso médio de cada passageiro com sua mala é igual a 100   k g . Calcule a velocidade que o Boeing deve ter para decolar quando carregar 272 passageiros (com suas respectivas bagagens).

Assuma que a configuração geométrica e o ângulo de ataque são os mesmos em ambas situações.

Passo 1

E aí! Já pensou como resolver esse problema, pequeno gafanhoto? O enunciado nos pede a velocidade do Boeing quando carrega um número diferente de passageiros. O que isso indica? Indica que a massa do corpo vai mudar!

Você percebeu que nos foi pedido para assumir que a configuração geométrica e o ângulo de ataque são os mesmos? Pois é! Isso tá falando pra gente indiretamente que o coeficiente de sustentação não varia de uma situação para outra, já que ele só depende disso.

Beleza, então vamos primeiro avaliar a situação I (com 100 passageiros). Para que o avião permaneça na mesma altitude em seu voo, precisamos que a força resultante na direção vertical seja nula e, matematicamente, isso quer dizer que:

∑ F z = M . a z

F L - M . g = 0

F L = M . g

Substituindo expressão para F L , temos:

C L . 1 2 . ρ . A . V 2 = M . g

Antes de prosseguirmos, vamos calcular a massa total ( M ) do sistema:

M = m a v i ã o + n . m p a s s a g e i r o

Em que n representa o número de passageiros. Sendo assim:

M I = 290.10 3   k g + 100 . 100   k g

M I = 3,00.10 5   k g

Antes de prosseguirmos, bora converter a velocidade para o S.I.:

V I = 225 k m h . 1   h 3600   s . 10 3   m 1   k m

V I = 62,5   m . s - 1

Substituindo as informações do problema:

C L . 1 2 . 1,23   k g . m - 3 . A . 62,5   m . s - 1 2 = 3,00.10 5   k g . 9,81     m . s - 2

Mas e a área? Não nos foi dada nenhuma informação quanto à geometria do problema! Calma, mestre. Realmente não sabemos qual a área do avião, mas sem desespero! A gente sabe que essa área é a mesma na situação II (com 272 passageiros). Então, o produto C L . A vai ser igual em ambas situações e ele vale:

C L . A = 1225   m ²

Beleza! Não sabemos quem é o coeficiente de arrasto ( C L ) nem a área ( A ), mas só precisamos conhecer o valor do produto entre eles, já que é o mesmo que vamos usar na situação II a seguir. :)

Passo 2

Na situação em que o Boeing carrega 272 passageiros com suas respectivas bagagens, a massa total do sistema será:

M = m a v i ã o + n . m p a s s a g e i r o

M I I = 290.10 3   k g + 272 . 100   k g

M I I = 3,172.10 5   k g

Como as condições geométricas são as mesmas, podemos escrever que:

C L . 1 2 . 1,23   k g . m - 3 . A . V I I 2 = 3,172.10 5   k g . 9,81     m . s - 2

Logo:

V I I 2 = 2 . 3,172.10 5   k g . 9,81     m . s - 2 1,23   k g . m - 3 . C L . A

V I I 2 = 2 . 3,172.10 5   k g . 9,81     m . s - 2 1,23   k g . m - 3 . 1225   m ²

V I I = ~ 64,3   m . s - 1

Isso equivale a 231,4   k m . h - 1 , ou seja, é um aumento de quase 3%. Muito pouca a diferença, não é mesmo? E olha que colocamos 172 pessoas a mais nesse Boeing!

A diferença é pequena, pois a contribuição da massa do avião com combustível é muito maior que a contribuição da massa dos passageiros.

Resposta

V I I = ~ 64,3   m . s - 1

Exercício Resolvido #5

O jato executivo Cessna Citation pesa 67 kN e tem uma área de asa de 32 m². O jato voa em condição de cruzeiro a 10 km de altitude padrão com um coeficiente de sustentação de 0,21 e um coeficiente de arrasto de 0,015. Calcule (a) a velocidade de cruzeiro em km/h e (b) a potência em hp necessária para manter a velocidade de cruzeiro.

Dados: ρ a r ,   10 k m = 0,4125   k g / m 3

Passo 1

Nesse exercício temos o jato voando a uma altitude constante. Então, no eixo y, o somatório de forças é igual a zero.

∑ F y = 0

As forças atuando no eixo y são a força peso e sustentação. A força peso aponta para baixo e a de sustentação para cima. Então:

F L - P = 0   ⇒ F L = P

F L = m g = 67000   N

Vimos na teoria que a força de sustentação é:

F L = 1 2 C L . ρ . V 2 . A

1 2 C L . ρ . V 2 . A = 67000

A área corresponde a área de asa. Substituindo os valores dados no enunciado:

1 2 0,21 × 0,4125 × V 2 × 32 = 67000

V ≅ 220   m / s  

Convertendo para km/h

V = 220 m s 1   k m 1000   m 3600   s 1   h

V = 792 k m h

Essa é a velocidade de cruzeiro. 😊

Passo 2

Uma das formas de encontrar a potência é multiplicando a força pela velocidade. Mas, tem um detalhe importante! Aqui vamos utilizar a força de arrasto, pois é ela que propicia o movimento, que está acontecendo no eixo x.

P o t =   F D V

No tópico anterior, vimos que a força de arrasto é F D = 1 2 C D . ρ . V 2 . A

P o t =   1 2 C D . ρ . V 2 . A . V

Substituindo o coeficiente de arrasto C D = 0,015 , V = 220   m / s   e as outras variáveis:

P o t =   1 2 0,015 × 0,4125 × 220 3 × 32

P o t =   1054152   W = 1,05   M W

P o t =   1 413   h p

Encontramos a potência necessária para manter a velocidade de cruzeiro =D

Resposta

V = 792 k m h

P o t =   1413   h p

Exercício Resolvido #6

(Adaptada) Um avião pesa 180 kN e tem uma área de asa de 160 m² e uma corda média de 4 m. As propriedades de aerofólio são dadas pela figura. Se o avião é projetado para pousar a V 0 = 1,2 V e s t o l , usando um flap saliente (split flap) colocado a 60°, qual é a velocidade de aterrissagem apropriada em km/h?

Dados: ρ a r ,   n i v e l   d o   m a r = 1,225   k g / m 3

Passo 1

Para calcular a velocidade de aterrisagem V 0 , vamos precisar conhecer a velocidade de estol. Como vimos na teoria, a velocidade de estol é

V e s t o l = 2 P ρ C L ,   m a x A p

Conhecemos o peso e a área projetada. Para encontrar o coeficiente de arrasto máximo C L ,   m a x , vamos usar o gráfico fornecido no enunciado.

Pela curva do aerofólio com flap a 60°, o coeficiente de sustentação máximo é 1,75 a um ângulo de ataque de 60°. Logo C L ,   m a x = 1,75 . Substituindo

V e s t o l = 2 P ρ C L ,   m a x A p ⇒ 2 ( 180000 ) 1,225 × 1,75 × 160

V e s t o l = 32,4   m / s

Com isso, conseguimos calcular a velocidade de aterrissagem. Da relação dada no enunciado:

V 0 = 1,2 V e s t o l

V 0 = 1,2 × 32,4 = 38,9   m / s  

Convertendo para km/h

V 0 = 38,9 m s 1   k m 1000   m 3600   s 1   h

V 0 = 140 k m h

Encontramos a velocidade de aterrisagem! o/

Resposta

V 0 = 140 k m h

Exercício Resolvido #7

(Adaptada) Um modelo de aerofólio com corda de 15 cm e envergadura de 60 cm é colocado em um túnel de vento com um escoamento de ar igual a 30 m/s (o ar está a 20°C). O aerofólio está montado sobre uma haste suporte cilíndrica com diâmetro e altura iguais a 2 cm e 25 cm, respectivamente. Os instrumentos na base da haste indicam uma força vertical de 50 N e uma força horizontal de 6 N. Calcule o coeficiente de sustentação do aerofólio.

Dados: ρ a r ,   20 ° C = 1,225   k g / m 3

Passo 1

Esse exercício tem bastante informação, mas, quais variáveis precisamos saber para calcular o coeficiente de sustentação C L ?

Vamos juntos nos lembrar da definição dele:

C L = F L 1 2 . ρ . V 2 . A