Teoria Completa
O que faz um objeto não afundar?
Já parou para se perguntar como um navio de algumas centenas de toneladas não afunda?
Tudo se deve a força de pressão que água faz no casco. Vamos esquematizar isso, assim:
Quando a gente somar toda essa força ao longo do casco, e calcular a força resultante o seu nome é .
O nome dado a força que um fluido exerce sobre um objeto mergulhado nele é Empuxo. E o empuxo é calculado da seguinte forma:
É uma fórmula tranquila, mas tem um detalhe muito importante!
A massa específica é do fluido enquanto que o volume é o da parte submersa do objeto. Por que essa mistura? Só pra nos confundir?
Não, meu caro padawan. O empuxo é essa força que o fluido exerce sobre um objeto mergulhado nele. Então é importante ter esses dois elementos na fórmula.
Conselho de amiga, essa parte é tranquila, mas é muito importante, porque é um conceito.
Então sempre dê aquela conferida em qual massa específica você está usando na hora de calcular o empuxo antes de fazer as contas, combinado?
Então vamos continuar!
O empuxo não depende da massa específica do objeto, apenas do volume deste objeto que está imerso no fluido.
Por isso o navio consegue flutuar e você não. Pois apesar da densidade do ferro ser muito maior que a nossa. O volume submerso do casco do navio é muito maior que o nosso volume.
Quando um corpo está imerso em um fluido as forças atuantes nele serão o peso do objeto e o Empuxo. A força peso aponta para baixo, fazendo com a horizontal.
Já o empuxo aponta para cima, na mesma direção da força peso.
O peso de um objeto é calculado através de sua massa:
E se o objeto for homogêneo e tiver uma densidade constante o ponto de aplicação do peso é no centro geométrico do objeto. Esse ponto de aplicação chamamos de centro de gravidade, .
E o empuxo, onde é o ponto de aplicação dele?
Se você observar a equação do empuxo e a do peso, pode-se dizer que o empuxo é igual ao peso de água que o objeto está ocupando. Sendo assim, o ponto de aplicação desse peso é centro geométrico da parte submersa.
E o nome dado a esse ponto? Bem, pode-se chamar de centro de empuxo ou de centro de carena. Dependerá da sua preferência. Como no inglês empuxo é “buoyancy” é normal vermos usar a letra para representar esse ponto.
Nas questões normalmente teremos um objeto mergulhado em um fluido e o sistema assim em equilíbrio. Então para resolver as questões devemos usar o fato de o sistema estar parado e assim usar e
Então para resolver as questões devemos identificar as forças atuantes, seus pontos de aplicação e usar o fato do sistema estar em equilíbrio. Bora praticar?
Exercício Resolvido #1
Uma esfera de raio de 30 cm e densidade encontra-se imersa na água do mar de massa específica . Calcule o empuxo em Newton ().
Passo 1
Fala aí! o/ Nesse exercício vamos calcular o empuxo que a esfera (ou a bolinha, para ser mais carinhoso, haha) que está mergulhada em fluido sofre.
Para calcular esse empuxo em Newtons, o primeiro passo é: colocar tudo no Sistema Internacional (SI)! Newton é unidade de força no SI então todas as outras variáveis precisam acompanhar 😉
O raio da esfera é 30 cm: . No sistema internacional:
A massa específica da esfera, ou seja, do objeto é
Passando para o SI:
Conclusão sobre essa conversão de unidades: Para passar de g/cm³ para kg/m³, multiplique por 1000. :D
Finalmente, vamos converter a massa específica do fluido:
Passo 2
Agora que está tudo no SI, vamos calcular esse Empuxo! Na teoria, vimos:
Como a esfera está mergulhada, então o volume submerso vai ser o volume da esfera.
Quem nos ajuda com o volume da esfera é a geometria, olha aí:
Substituindo o raio
Voltando à fórmula do Empuxo:
É muito importante notar que a massa específica que temos que usar é a do fluido! Cuidado com isso, pois, às vezes o enunciado fornece a massa específica do fluido e a do objeto também! Na hora de calcular o Empuxo, lembre de usar .
No nosso exercício, . Substituindo:
E assim calculamos o empuxo em Newtons. 😉
Resposta
Exercício Resolvido #2
Arquimedes foi consultado para avaliar se a coroa feita por ourives para o rei Héron havia sido de fato construída em ouro. Ele pesou a coroa no ar (obtendo uma leitura de ) e na água . Que conclusões foram tiradas?
Passo 1
Para sabermos se é realmente ouro ou não, precisamos saber se a densidade do material bate com a densidade do ouro, que vale:
A massa de um objeto é:
Assim o peso é:
Então quando pesada no ar que tem uma densidade muito muito pequena, então desprezamos efeito de empuxo, o peso foi de . Assim:
Assim, a densidade vezes volume da coroa vale:
Ao pesar na água, que possui uma densidade considerável e por isso o efeito de empuxo deve ser levado em conta, temos que o peso resultante, será a diferença entre o peso real da peça menos o empuxo:
Assim, descobrimos o valor do empuxo devido a água.
Como vimos na teoria o empuxo é proporcional ao volume do objeto e a densidade do fluido, sendo assim temos que:
Agora que temos o volume, conseguimos descobrir a densidade da coroa.
Chegamos lá no inicio que:
Substituindo o volume, temos:
Bem a densidade da coroa é bem diferente da do ouro, sendo assim Arquimedes concluiu que o material usado não era ouro.
Resposta
A coroa não é de ouro.
Exercício Resolvido #3
A esfera mostrada na figura abaixo possui um volume de e flutua na água, como pode ser observado. Determine seu peso específico.
Passo 1
O sistema está em equilíbrio, sendo assim o somatório de forças é zero.
A esfera sofre a ação do empuxo, da força de tração que equilibra o peso de e do peso da esfera.
E lembrando que peso é , a equação de forças é:
Passo 2
Agora vamos ver o que podemos substituir nessa equação pra resolver ela.
O empuxo exercido na esfera é proporcional ao volume submerso. Pela imagem, metade do volume total da esfera. Sendo assim temos:
Podemos cortar a gravidade, substituir o volume e chegamos em:
Passo 3
Show! Mas a questão pede o peso específico, e não a massa específica da esfera.
A relação entre o peso específico () e a massa específica () é:
Isso aí. Só precisamos multiplicar pela gravidade então:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Três bolas de aço (cada uma com diametro em torno de meia polegada) estão no fundo de uma concha plástica que futua na superficie da água em um balde parcialmente cheio. Alguem remove as bolas de aço da concha e, cuidadosamente, as conduz ao fundo do balde, deixando a concha flutuar vazia. O que acontece com o nível da água no balde? Ele aumenta, abaixa ou permanece inalterado? Explique.
Passo 1
Vamos analisar o primeiro caso:
Já que o sistema esta flutuando então o empuxo é igual ao peso das bolinhas e da concha.
Sendo assim:
Assim, o volume de água deslocado inicialmente é de:
Quando a gente tira a bolinha da concha e põe ela no fundo do balde, o volume deslocado para de ser proporcional ao peso da bolinha e passa ser igual ao volume da bolinha.
Agora que ela está no fundo o volume deslocado de água é o volume da três bolinhas de aço mais o volume deslocado pela concha:
Substraindo o volume no primeiro caso pelo do segundo temos que
Como , temos que
Então o volume no segundo caso é menor que no primeiro, mostrando que o volume de água vai baixar.
Resposta
Volume abaixa.
Exercício Resolvido #5
Um cubo, cujas arestas medem , é feito de um material de espuma rigido e flutua em água com abaixo da superfície. Calcule a magnitude e a direção da força requerida para mantê-lo completamente submerso em glicerina, cuja gravidade específica é 1,26.
Passo 1
Temos dois casos, o caso em que o cubo é mergulhado na água e posteriormente o caso que é mergulhado em glicerina.
Vamos começar obtendo os dados necessários com o primeiro caso, onde sabemos que o sistema está em equilíbrio.
Se está em equilíbrio temos que
O peso do cubo será:
O empuxo por sua vez, será:
Agora igualando as equações
Passo 2
Agora que descobrimos o que faltava das informações do cubo podemos analisar o segundo caso. Onde para atingirmos o equilíbrio o sistema disse que será necessária uma força .
Vamos supor que a força , esteja atuando para baixo junto com o peso.
Então para montar o sistema de equilíbrio de forças teremos:
Beleza, o peso a gente já calculou:
O empuxo será:
Lembrando que gravidade especifica é só uma outra forma de falar densidade relativa, então temos que a densidade da glicerina é:
Como o cubo está todo submerso o volume submerso é o volume total do cubo
Voltando a equação de forças temos:
Como encontramos um valor positivo significa que acertamos nosso chute a força atua no mesmo sentido da força peso.
Resposta
Exercício Resolvido #6
Um cubo, de de aresta, tem sua metade inferior de densidade relativa igual a e a metade superior igual a . Está submerso na massa de dois fluidos imiscíveis, o inferior de densidade relativa igual a e o superior de . Determinar a altura do cubo que sobressai por cima da interface dos dois líquidos.
Passo 1
Questão louca com dois fluidos e um objeto composto por dois materiais.
O primeiro passo é calcular o peso do objeto.
Como ele é feito metade de um material e metade de outro, vamos tratar de dois objetos de volume . Onde
Então calculando o peso da parte inferior cujo material tem densidade de
O peso da parte de cima cujo material tem densidade
Assim o peso total do objeto é:
Passo 2
Agora que sabemos o peso do objeto podemos montar a equação de equilíbrio de forças.
Teremos a ação da força peso para baixo, e de dois empuxo empurrando o objeto para cima. Assim formando o equilíbrio.
O empuxo um é o empuxo devido ao liquido de densidade . O volume de liquido deslocado vai depender da porção submersa, chamaremos de , assim como fez o desenho do enunciado.
Já o empuxo devido ao fluido de densidade será:
Sendo a porção submersa pelo fluido .
Jogando todos os resultados que tivemos na equação de equilíbrio que montamos nesse passo, temos:
Como o cubo não mudou de tamanho se somarmos as partes submersas por cada fluido elas juntas deve dar o tamanho da aresta do cubo, sendo assim:
Assim, podemos substituir que:
Isolando , temos:
Assim,
Resposta
Exercício Resolvido #7
A haste de madeira redonda uniforme de de comprimento da Figura abaixo está presa ao fundo por um fio. Determine a tração no fio e a densidade da madeira. É possível, com as informações dadas, determinar o ângulo de inclinação ? Explique.
Passo 1
A haste sofre a ação da força peso em seu centro de gravidade; do empuxo no centro de carena; da força de tensão do fio.
Como a haste está presa somente ao fio, vamos fazer o momento em relação a este ponto, que seria o ponto de giro da haste.
Mas antes disso temos que saber a posição do centro de gravidade e de carena.
O centro de gravidade é na metade da barra, assim a da extremidade com o fio. Já o centro de carena é na metade do volume submerso sendo assim a da extremidade do fio.
Agora podemos montar a equação de momento em relação ao ponto de contato da haste com o fio. Como temos equilíbrio então o momento total deve ser zero:
Mas, pera! Momento é força vezes braço, onde a força é perpendicular ao braço. E não é o que tá acontecendo aqui!
Sim, por isso vamos ter que multiplicar a distância entre o ponto de aplicação e a extremidade do fio pelo cosseno de Vamos projetar o braço horizontal.
Beleza, sabemos como o peso e o empuxo vão se relacionar. Então se soubermos um deles, encontramos o outro. Não conseguimos descobrir o peso da haste sem a densidade da madeira.
Mas o empuxo a gente consegue descobrir.
Sendo assim:
Pela imagem vemos que da haste está submerso, já que metros de estão submersos. O comprimento total é . Sendo assim do volume da haste está submersa.
E o empuxo fica assim:
Calculando o volume da haste
Assim, o empuxo será:
Agora sabemos o valor do peso: