Teoria

Estabilidade

E aí? Tudo na paz, no equilíbrio? Bem, no tópico de Empuxo vimos como se dá o equilíbrio de um corpo flutuante. Mas esse equilíbrio é um equilíbrio estável, instável ou indiferente? Melhorando minha pergunta, quero saber se depois que o navio atingir o equilíbrio se uma força pequena for feita de lado o navio vai virar ou tender a voltar ao equilíbrio?

Antes de começarmos a estudar isso vamos relembrar os tipos de equilíbrios que acabei de citar e que serão mencionados nos exercícios e provas:

O equilíbrio estável é aquele que apesar de uma pequena variação de força o equilíbrio irá se recuperar quando a força for retirada. Já o instável é aquele equilíbrio que um pequeno movimento irá jogar o equilíbrio para o espaço. E o indiferente é aquele que vai achar uma outra posição de equilíbrio ali do lado.

Para se determinar se um objeto imerso em um fluido é estável ou não precisamos saber quanto vale a distância entre o metacentro e o centro de gravidade do objeto.

Essa distância será chamada de altura metacêntrica, G M . Então, foi descoberta a seguinte relação:

Então para um objeto estar estável o metacentro deve estar posicionado acima do centro de gravidade.

Mas que ponto é esse tal de metacentro?

É ponto de giro de um objeto flutuante, é como se ele girasse entorno daquele ponto. Ele é tão importante porque é ele que vai ajudar a definir se o objeto é estável ou não.

E como calculá-lo? Vamos calculá-lo em função do fundo do objeto o ponto K . Se assumirmos que lá é o ponto zero, então teremos as cotas do centro de gravidade, empuxo e metacentro.

A equação para calcular a distância K M é simples: basta olhar para a imagem acima:

K M = K B + M B

Ou

K M = K G + G M

Opa apareceu o que a gente quer, no início falamos que o que vai definir se o objeto é estável ou não é a altura metacêntrica, o G M .

Se igualarmos as duas opções de K M , temos:

K G + G M = K B + B M

Isolando a altura metacêntrica, temos:

G M = K B - K G + B M

Beleza, K B que é a posição do centro de empuxo e K G que é a posição do centro de gravidade a gente sabe calcular. Só falta então descobrir quem é esse B M .

B M é chamado de raio metacêntrico, é a distância entre o centro de empuxo e o metacentro. E o cálculo dessa distância é relacionado com a forma do objeto, pois B M é:

B M = I o V s u b m e r s o

I o é o momento de inércia da área onde objeto em contato com a superfície do fluido.

“Oi?? Não entendi nada!!” Calma, vamos desenhar, porque isso é foda. Faremos o momento de inércia dessa região aqui em preto:

É a região que a água toca do objeto, olhando de cima, veríamos isso:

Onde Y seria o comprimento do nosso objeto analisado. Assim, o momento de inércia dessa região é:

I 0 = Y . X 3 12

Agora, conseguimos calcular o valor de G M e assim avaliar se o objeto está ou não estável. Partiu exercício?

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um corpo flutuante será estável quando:

( a ) o seu centro de gravidade estiver acima de seu centro de empuxo;

( b ) o centro de empuxo estiver abaixo da linha d’água;

( c ) o centro de empuxo estiver acima do seu metacentro;

( d ) o metacentro estiver acima do seu centro de empuxo;

( e ) o metacentro estiver acima do seu centro de gravidade.

Passo 1

Vimos na teoria que um corpo flutuante está em equilíbrio quando G M > 0 , ou seja, a distância entre o centro de gravidade e metacentro é positiva.

Sendo que ela é positiva se o metacentro estiver acima do centro de gravidade e negativa se o contrário acontecer.

Então a resposta dessa questão é a alternativa e . E esse conceito é o que rege tudo que estudamos de estabilidade. Se o metacentro estiver acima do centro de gravidade a embarcação está estável.

Resposta

Alternativa e  

Exercício Resolvido #2

Descreva os 3 diferentes tipos de equilíbrio de um corpo parcialmente submerso em um fluido. Quais as condições para que eles aconteçam?

Passo 1

Esse exercício é de teoria e essa parte é importante para resolver as questões de estabilidade. Agora é A hora de fixar isso. Opa! 😉

Vimos na teoria que temos 3 tipos de equilíbrio: o estável, o instável e o indiferente.

O que significa um equilíbrio estável? Significa que se por algum motivo, o equilíbrio do corpo for perturbado por uma pequena variação de força, então o corpo irá voltar para sua posição original, assim que essa perturbação for retirada.

O equilíbrio estável é o que geralmente queremos, pois ele garante que mesmo que venha algo ali incomodar um pouquinho o equilíbrio, as coisas vão voltar ao que eram antes quando essa perturbação sair (exemplo da figura: a bolinha volta pra onde era estável!)

Ok! E o equilíbrio indiferente? Esse tipo de equilíbrio é interessante porque se tiver essa pequena perturbação, então o corpo ainda ficará em equilíbrio. PORÉM, chamamos de equilíbrio indiferente pois após essa perturbação, o corpo vai para outra posição de equilíbrio.

Perturbou? Mudou. Equilíbrio continua, mas de outra forma. Indefere a perturbação, o corpo fica em equilíbrio. Não podemos chamar de estável, pois não volta pra mesma situação de equilíbrio. :I

Finalmente, o equilíbrio instável! Geralmente, nós fugimos desse tipo de equilíbrio. Como o nome já diz, ao invés de estabilidade, temos instabilidade. E por que nesse caso isso não é bom? Pois uma pequena perturbação causa a retirada desse corpo da condição de equilíbrio. Por exemplo, um navio poderia afundar.

Se uma perturbaçãozinha já pode afundar o navio, porque chamamos isso de equilíbrio instável?? Bem, para estar em equilíbrio, basta que a resultante das forças no corpo seja zero. No equilíbrio instável, o equilíbrio em si fica sujeito a não existir mais se uma pequena perturbação for aplicada. Por isso, não é almejado. ☹

Passo 2

Quais as condições para que elas aconteçam?

Vimos na teoria que:

No equilíbrio estável, a altura metacêntrica (GM) é maior que zero, ou seja, o metacentro está acima do centro de gravidade do corpo.

No equilíbrio instável, a altura metacêntrica (GM) é menor que zero, isto é, o metacentro está abaixo do centro de gravidade do corpo.

No equilíbrio indiferente, a altura metacêntrica (GM) é igual a zero, ou seja, o metacentro coincide com o centro de gravidade do corpo.

Resposta

O equilíbrio estável é aquele que apesar de uma pequena variação de força o equilíbrio irá se recuperar quando a força for retirada. Condição: G M   >   0

O equilíbrio indiferente é aquele que se uma pequena perturbação for aplicada, então outra posição de equilíbrio será atingida. Condição: G M =   0

O equilíbrio instável é aquele equilíbrio em que uma pequena perturbação retira o corpo da condição de equilíbrio. Condição: G M <   0

Exercício Resolvido #3

Considere um cilindro de madeira ( d   =   0,6 ) de 1 m de diâmetro e 0,8 m de comprimento. Esse cilindro seria estável se colocado para flutuar com seu eixo na vertical em óleo ( d   =   0,8 )?

Passo 1

Fala aí! Vou traduzir o que esse exercício está perguntando: “Será que se colocarmos esse cilindro em pé no óleo ele fica estável?”

Para responder essa pergunta precisamos calcular GM e verificar se esse valor é maior que zero. Se for, a resposta vai ser sim! É estável. Se for GM for menor que zero, o equilíbrio vai ser instável e qualquer perturbação vai fazer esse cilindro virar.

A equação que vamos usar é:

G M = K B - K G + B M

Precisamos encontrar K B , K G e B M para calcular G M , que é quem queremos conhecer!

Começando pelo K G , vamos considerar que o material do cilindro é uniforme. Com isso, o centro de gravidade fica na metade da altura do cilindro.

Como o cilindro está em pé, a altura é o comprimento:

K G = H 2 =   0,8 2 = 0,4   m

Passo 2

E onde seria aplicado o empuxo? Quem é K B ?

O empuxo é aplicado na metade do volume submerso. Mas não sabemos quanto do cilindro está submerso no óleo. Sabemos que há um equilíbrio de forças, então:

P = E

Lembrando as fórmulas da força Peso e do Empuxo:

m c i l i n d r o . g = ρ ó l e o . V s u b m e r s o . g

ρ c i l i n d r o . V c i l i n d r o . g = ρ ó l e o . V s u b m e r s o . g

Cancelando a gravidade:

ρ c i l i n d r o . V c i l i n d r o = ρ ó l e o . V s u b m e r s o

O volume do cilindro é

V c i l i n d r o = Á r e a   d a   b a s e × a l t u r a

V c i l i n d r o = π D 2 4 H

V c i l i n d r o = π 1 2 4 0,8

V c i l i n d r o = 0,628 m ³

Por outro lado, o volume submerso é:

V s u b m e r s o = Á r e a   d a   b a s e × a l t u r a   s u b m e r s a

V s u b m e r s o =   π D 2 4 h

V s u b m e r s o =   π 1 2 4 h

V s u b m e r s o =   0,785   h

Substituindo:

ρ c i l i n d r o . V c i l i n d r o = ρ ó l e o . V s u b m e r s o

0,6   × 0,628 = 0,8 × 0,785   h

Logo, a altura do cilindro que está submersa é:

h = 0,6   m

Lembrando que o ponto de atuação do empuxo é no centro de gravidade da parte submersa:

K B = h 2

Substituindo o valor que encontramos para h

K B = 0,6 2 = 0,3

Passo 3

Finalmente, vamos calcular o B M ! A fórmula é:

B M = I 0 V s u b m e r s o

O momento de inércia do cilindro em pé é o momento de inércia do círculo (porque essa é a região que a oléo toca o cilindro)

I 0 = π R 4 4

Como o diâmetro é 1 m, o raio é 0,5 m. Substituindo:

I 0 = π 0,5 4 4 = 0,049

Com isso, para encontrar BM:

B M = I 0 V s u b m e r s o =   0,049 0,785   h

B M = 0,049 0,785   × 0,6 = 0,104

O valor de B M foi encontrado.

Passo 4

Finalmente, temos todos os valores necessários para calcular G M !

G M =   K B - K G + B M

G M =   0,3 - 0,4 + 0,104

G M = - 0,1 + 0,104

G M = 0,004

Opaaa! Encontramos G M e o valor é maior que zero! O que isso significa?

GM > 0 significa que o equilíbrio é estável! Portanto, a resposta é sim! O cilindro colocado na posição vertical no óleo encontra-se estável, pois GM > 0.

Resposta

Sim! O cilindro seria estável nas condições pedidas.

Exercício Resolvido #4

Um iceberg pode ser idealizado como um cubo de lado L , como na Figura abaixo. Se a água do mar for representada por d = 1,0 , então o gelo da geleira (que forma os icebergs) tem d = 0,88 . Determine se esse iceberg “cúbico” é estável para a posição mostrada na Figura abaixo:

Passo 1

Vimos na teoria que o corpo flutuante estará estável se o G M for maior que zero.

A fórmula para calcular G M é:

G M = K B - K G + B M

Então para dizermos se o cubo está ou não estável devemos encontrar a posição do centro de carena, a posição do centro de gravidade e calcular o valor de B M .

O mais fácil de achar é a posição do centro de gravidade que é na metade do cubo, sendo assim:

K G = L 2

Passo 2

Agora, vamos encontrar o K B :

Para isso precisamos saber qual o volume submerso e descobriremos isso usando o fato do sistema estar em equilíbrio. Assim, P = E

ρ g e l o . V . g = ρ á g u a . V s u b m e r s o . g

ρ g e l o . V = ρ á g u a . V s u b m e r s o

O volume do cubo é L 3 e o volume submerso será V s u b m e r s o = L 2 . h

0,88 . L 3 = 1 . L 2 . h

h = 0,88 L

O centro de carena é esta na metade do volume submerso, sendo assim:

K B = h 2 = 0,88 . L 2

Passo 3

Agora só falta calcular o B M , que vimos uma fórmula para isso:

B M = I 0 V s u b m e r s o

O momento de inércia do cubo é:

I 0 = L . L 3 12

B M = L 4 12   . L 2 . h = L 2 12.0,88 . L

B M = L 10,56

Passo 4

Substituindo os valores de K B ; K G   e   B M que encontramos, temos:

G M = 0,88 L 2 - L 2 + L 10,56

G M = 0,88 - 1 . L 2 + L 10,56

G M = - 0,06 L + 0,0947 L

G M = 0,0347 L

Encontramos um G M positivo, mostrando que esse iceberg é estável.

Resposta

Estável

Exercício Resolvido #5

A idealização do iceberg do problema anterior (cubo de lado L parcialmente imerso na água do mar) pode se tornar instável se seus lados derreterem e sua altura exceder sua largura. Na Figura considere que a altura seja L e a profundidade normal ao papel seja L, mas a largura no plano do papel seja H   <   L . Considerando d   =   0,88 para o iceberg, encontre a razão H / L para a qual ele se torna neutramente estável (isto é, prestes a emborcar).

Passo 1

Nesse exercício, queremos achar a razão entre a altura e a largura do iceberg para que ele fique numa condição de equilíbrio indiferente (isso é o significa neutramente estável!)

Na teoria vimos que o equilíbrio indiferente é representado por G M   =   0 . Ou seja, o metacentro (M) coincide o centro de gravidade do iceberg (G)

Então, já temos essa equação aqui:

G M = K B - K G + B M

K B - K G + B M = 0

Então, a partir dos dados que temos do enunciado, vamos encontrar cada parcela dessa equação.

O mais simples de calcular é o centro de gravidade, então vamos começar por ele. Pelo enunciado, a altura desse iceberg é L. Considerando que o material é o gelo e ele é uniforme, então, o centro de gravidade do icerberg é:

K G = L 2

Passo 2

O segundo passo desse exercício é encontrar onde o empuxo está atuando! Assim, vamos conseguir calcular K B .

Como se trata de empuxo, precisamos saber qual é o volume submerso. Como o sistema está em equilíbrio (é o equilíbrio indiferente, mas ainda assim está em equilíbrio!) e as únicas forças atuantes são a força peso e o empuxo, então:

P = E

E pelas definições de cada um:

m g e l o . g = ρ á g u a . V s u b m e r s o . g

ρ g e l o . V i c e b e r g . g = ρ á g u a . V s u b m e r s o . g

Cortando a gravidade:

ρ g e l o . V i c e b e r g = ρ á g u a . V s u b m e r s o

O volume do iceberg é

V i c e b e r g = a l t u r a   × l a r g u r a × p r o f u n d i d a d e

V i c e b e r g = L   × H × L

V i c e b e r g = L 2   × H

E o volume submerso será

V s u b m e r s o = h × H × L

Substituindo:

ρ g e l o . V i c e b e r g = ρ á g u a . V s u b m e r s o

0,88 . L 2 . H = 1 . h . H . L

0,88 . L = 1 . h

h = 0,88 L

O ponto de atuação do empuxo é no centro de gravidade da parte submersa:

K B = h 2

Substituindo a expressão de h

K B = 0,88 . L 2

Passo 3

Atualizando a equação do Passo 1:

K B - K G + B M = 0

0,88 . L 2 - L 2 + B M = 0

Falta calcular esse B M . Temos uma fórmula para ele! YAY!

B M = I 0 V s u b m e r s o

O momento de inércia do iceberg é:

I 0 = p r o f u n d i d a d e × l a r g u r a 3 12

Pelo enunciado:

I 0 = L . H 3 12

B M = L . H 3 12   h . H . L = H 2 12.0,88 . L

B M = H 2 10,56 . L

Vamos guardar isso aí!

Passo 4

Opa, agora vamos atualizar finalmente a equação com os valores encontrados. :D

K B - K G + B M = 0

0,88 . L 2 - L 2 + H 2 10,56 . L = 0

Multiplicando por 2 L

0,88 . L 2 - L 2 + 2 H 2 10,56 = 0

2 H 2 10,56 = L 2 - 0,88 . L 2

2 H 2 10,56 = 1 - 0,88 . L 2

Isolando H/L:

H 2 L 2 = 10,56 . ( 1 - 0,88 ) 2

Logo:

H L = 10,56 . ( 1 - 0,88 ) 2

H L =     0,796

Show! Então para que o iceberg esteja em equilíbrio indiferente, a razão entre largura e profundidade deve ser 0,796!

Resposta

H L =     0,796

Exercício Resolvido #6

Uma barcaça tem 4,5   m de largura e 12 m de comprimento e flutua com um calado de 1,2 m . Ela recebe uma carga de cascalho tal que seu centro de gravidade está 0,6 m acima da linha d’água. Ela é estável?

Passo 1

Que termos são esses? Barcaça, calado, cascalho? Hein?

Relaxa que o dicionário Auré..., digo, Responde Aí, vai te ajudar 😉 Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo com essa barcaça, que é uma barca grande (sim! é isso mesmo, rs)

A barcaça é essa “caixa” da figura. Ela tem 4,5 m de largura e o comprimento de 12 m está entrando no papel.

E o que significa calado? Calado é a profundidade do fundo da barcaça até onde o fluido deixa de tocar a embarcação, ou seja, é a medida do fundo até o que chamamos de linha d’água. Essa linha está representada pela letra A na figura.

Essa barcaça está transportando um monte de lascas de pedras, que é a carga de cascalho, representadas na figura pela parte cheia de pontos. O enunciado diz que o centro de gravidade (G) dessa barcaça carregando cascalho está 0,6 m acima da linha d’água. Ou seja:

K G   =   1,2 + 0,6 = 1,8   m

Ok! Agora que visualizamos o problema, vamos ver se essa barcaça está estável e de boa para transportar os cascalhos. Eles vão fazer diferença 😉

Passo 2

Como vimos na teoria, a barcaça com cascalhos vai ser estável se GM for maior que zero. Para calcular GM, usamos essa equação:

G M = K B - K G + B M

K G já conhecemos, então vamos calcular K B e depois B M .

O ponto de aplicação do empuxo fica na metade do volume submerso. Sabemos que a profundidade submersa (o tal do calado) é 1,2   m . Então:

K B =   1,2 2 = 0,6   m

Passo 3

Para calcular o B M , usamos a equação:

B M = I 0 V s u b m e r s o

O momento de inércia da barcaça é o momento de inércia do retângulo na linha d’água

I 0 = Y X 3 12

Onde Y é comprimento da barcaça (12 m) e X é a largura (4,5 m). Substituindo:

I 0 = 12 4,5 3 12 = 4,5 3

Para encontrar BM, precisamos saber o volume submerso:

V s u b m e r s o = l a r g u r a   × c o m p r i m e n t o   × p r o f u n d i d a d e

V s u b m e r s o = 4,5   × 12   × 1,2

B M = I 0 V s u b m e r s o =   4,5 3 4,5   × 12   × 1,2

Então:

B M = 4,5 2 12   × 1,2 = 1,4   m

Passo 4

Uhul! Hora de encontrar G M !

G M =   K B - K G + B M

G M =   0,6 - 1,8 + 1,4

G M = 0,2

GM é maior que zero, logo, a barcaça transporta o cascalho de forma estável!

Resposta

Sim! Ela é estável. 😊

Exercício Resolvido #7

(Adaptada) Considere um cone circular reto uniforme de densidade d   =   0,9 , flutuando com seu vértice para baixo na água ( d   =   1 ). O raio da base é R e a altura do cone é H . Calcule G M e verifique se esse cone é estável para a altura   h submersa h   =   0,8 H .

Dados: R   =   0,5   m e H   =   1,2   m .

Passo 1

Temos um cone flutuando e ele está invertido:

Para calcular GM:

G M = K B - K G + B M

Vamos começar analisando o centro de gravidade e calculando K G . Como o corpo é um cone, o centro de gravidade não é na metade da altura. Esse detalhe é muito importante! O centro de gravidade de um cone fica em um quarto da altura do mesmo.

Maaaas, como o cone está invertido (de cabeça pra baixo), então o centro de gravidade é representado por ¾ da altura do cone:

K G = 3 H 4

Do enunciado, sabemos que H = 1,2 m:

K G = 3 .   1,2 4 = 0,9   m

Passo 2

Para calcular K B vamos usar essa mesma lógica. A parte que está submersa também um cone, só que ao invés de raio R e altura H, o raio é r, e a altura h. Então, o ponto em que o empuxo será aplicado também será ¾ da altura do cone invertido:

K B = 3 h 4

Do enunciado, sabemos que h = 0,8 H:

K B = 3 .   0,8   H 4 =   3 .   0,8 .   1,2 4 = 0,72   m

Daqui podemos encontrar mais informações. Como sabemos que o corpo está em equilíbrio:

P = E

Ou seja:

m c o n e . g = ρ á g u a . V s u b m e r s o . g

ρ c o n e . V c o n e . g = ρ á g u a . V s u b m e r s o . g

ρ c o n e . V c o n e = ρ á g u a . V s u b m e r s o

d c o n e . ρ á g u a . V c o n e = d á g u a . ρ á g u a . V s u b m e r s o

d c o n e . V c o n e = d á g u a . V s u b m e r s o

Lembrando de geometria, o volume do cone é

V c o n e = π R 2 3 H

E como o volume submerso é o volume de um cone também:

V s u b m e r s o = π r 2 3 h

Substituindo:

d c o n e . V c o n e = d á g u a . V s u b m e r s o

0 , 9 . π R 2 3 H = 1 .   π r 2 3 h

0 , 9 . R 2 H = 1 . r 2 h

Pelo enunciado, sabemos que:

h = 0,8 H

Substituindo:

0,9 . R 2 H = r 2 . 0,8 H

1,125 . R 2 = r 2

Vamos guardar essa expressão

Passo 3

Para calcular esse B M :

B M = I 0 V s u b m e r s o

O momento de inércia será o momento de inércia do círculo, pois essa é a área tocada pelo fluido na superfície.

I 0 = π r 4 4

Lembrando que:

V s u b m e r s o = π r 2 3 h

B M = I 0 V s u b m e r s o =   π r 4 4 π r 2 3 h

B M = 3 r 2 4 h

Substituindo r 2 = 1,125 . R 2 e h   =   0,8 H

B M = 3 . 1,125 . R 2 4 . 0,8 . H

Como R   =   0,5   m e H   =   1,2   m :

B M = 3.1,125 . 0,5 2 1,2 . H

B M = 0,22   m

Passo 4

Agora, vamos calcular GM

G M = K B - K G + B M

G M = 0,72 - 0,9 + 0,22

G M = 0,04   m

Encontramos GM e é maior que zero! Logo, o cone é estável para h = 0,8 H 😊

Resposta

G M = 0,04   m

Estável

Exercício Resolvido #8

Ao flutuar em água ( d = 1,0 ) , um corpo triangular equilateral ( d = 0,9 ) pode assumir uma das duas posições mostradas na Figura abaixo. Qual é a posição mais estável? Considere que a largura seja grande normal ao papel.

Passo 1

Para resolvermos essa questão existem algumas informações que devemos saber sobre um triangulo equilátero.

Possui os três lados iguais e a altura do triângulo é h = L 3 2 a área é A = L 2 3 4 .

O centro de gravidade de um triângulo é y c g = h 3 em relação a base.

Beleza agora pode começar a pensar no problema, para sabermos quem é mais estável devemos ver qual caso possui o maior G M .

Caso a :

A posição do centro de gravidade é h / 3 , nesse caso então:

K G = L 3 2 . 1 3 = L 3 6

Agora temos que achar a posição do centro de empuxo, para isso vamos usar do fato de estarmos em equilíbrio e peso ser igual a empuxo. Assim,

P = E

0,9 . V . g = 1 . V s u b m e r s o . g

0,9 . V = V s u b m e r s o

Para calcular o volume dessa peça, vamos fazer a área do triangulo e multiplicar pelo comprimento W que é muito grande. Assim, temos:

0,9 .   W . L 2 3 4 = W .   A s u b m e r s a  

A área submersa é a área do triangulo equilátero, menos a área de um mini triangulo equiláteros de lado x .

A s u b m e r s a = L 2 3 4 - x 2 3 4 = 3 4 L 2 - x 2

Então, temos:

0,9 .   W . L 2 3 4 = W 3 4 L 2 - x 2

Cortando o que conseguimos temos:

0,9 . L 2 = L 2 - x 2

x = 0,1 . L

A altura desse pequeno triangulo equilátero é:

h x = x 3 2 = 0,3 . L 2

Assim a altura da parte submersa é:

h s u b = L 3 2 - L 0,3 2 = L 2 3 - 0,3

Agora precisamos encontrar o centro geométrico do trapézio submerso. Para isso vamos ter que usar uma antiga fórmula que usávamos para calcular centro de área de figuras com furos.

Pois iremos imaginar que o trapézio é o triangulo grande menos o triangulo pequeno. Assim o centro geométrico da figura submersa será:

K B = A L . K G L - A x . K G x + h s u b A L - A x

Já lhes peço desculpas, mas agora vem uma parte cheia de letras e algebrismo que de física não tem nada.

K B = L 2 3 4 . L 3 6 - x 2 3 4 x 3 6 + L 2 3 - 0,3 L 2 3 4 - x 2 3 4

Cortando 3 / 4   e substituindo o x , chegamos em:

K B = L 3 . 3 6 - 0,1 L 2 . L 2 - 2 . 0,3 3 + 3 L 2 - 0,1 . L 2

K B = L 3 6 - 0,1 2 - 2 . 0,3 3 + 3 0,9

K B = L 0,2887 - 0,068 0,9

K B = 0,245 L

Ufaa, acabou! Podemos voltar a parte importante da questão agora.

Tendo K G e K B , falta apenas encontrar B M para calcularmos G M .

B M = I 0 V s u b

Lembre-se que o momento de inércia é de onde o fluido corta o objeto, sendo assim, o momento de inércia da nossa figura, será:

I 0 = W . x 3 12 = W . L 3 0,1 3 12

O volume submerso, já calculamos e vale:

V s u b = 0,9 . V = 0,9 . W . L 2 . 3 4

Sendo assim, B M é:

B M = W . L 3 0,1 3 12 . 1 0,9 . W . L 2 . 3 4

B M = L 0,1 3 0,9   .   3 . 3 = 0,0068 L

O G M dessa posição é:

G M = K B - K G + B M = 0,245 L - L 3 6 + 0,0068 L

G M = - 0,037 L

Sendo assim esse primeiro caso é instável.

Passo 2

Agora vamos analisar o caso ( b ) :

Nesse caso o centro de gravidade está localizado a K G = h - 1 3 h

K G = 2 3 h = 2 L 3 6 = L 3 3

Agora, para encontrar o centro de empuxo, temos que usar ∑ F = 0 → P = E

0,9 . V . g = 1 . V s u b m e r s o . g

0,9 . V = V s u b m e r s o

O volume submerso, será a largura W vezes a área de um triangulo equilátero de lado y .

0,9 . W . L 2 3 4 = W . y 2 3 4

y = 0,9 L

Assim, a posição do centro de carena é:

K B = h y - 1 3 h y = 2 3 h y

A altura do triangulo de lado y é:

h y = y 3 2 = 0,9 L . 3 2

Então:

K B = 2 3 . 0,9 L . 3 2

K B = 0,3 L 3 = 0,52 L

Por fim falta apenas calcular o B M , para isso precisamos saber o momento de inércia da linha do fluido.

I 0 = W . Y 3 12 = W . L 3 . 0,9 3 12

Assim,

B M = W . L 3 . 0,9 3 12 . 1 0,9 V

B M = W . L 3 . 0,9 3 12 . 1 0,9 . W . L 2 3 4

B M = L . 0,81 3 3 = 0,16 L

Agora temos tudo que é necessário para calcular o G M ,

G M = K B - K G + B M

G M = 0,52 L - 3 3 . L + 0,16 L

G M = 0,1 L

O G M dessa posição é maior que zero, assim maior que o G M da posição a sendo assim a posição mais estável.

Resposta

Caso b é o mais estável.

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