Estabilidade

Teoria Completa

Estabilidade

E aí? Tudo na paz, no equilíbrio? Bem, no tópico de Empuxo vimos como se dá o equilíbrio de um corpo flutuante. Mas esse equilíbrio é um equilíbrio estável, instável ou indiferente? Melhorando minha pergunta, quero saber se depois que o navio atingir o equilíbrio se uma força pequena for feita de lado o navio vai virar ou tender a voltar ao equilíbrio?

Antes de começarmos a estudar isso vamos relembrar os tipos de equilíbrios que acabei de citar e que serão mencionados nos exercícios e provas:

O equilíbrio estável é aquele que apesar de uma pequena variação de força o equilíbrio irá se recuperar quando a força for retirada. Já o instável é aquele equilíbrio que um pequeno movimento irá jogar o equilíbrio para o espaço. E o indiferente é aquele que vai achar uma outra posição de equilíbrio ali do lado.

Para se determinar se um objeto imerso em um fluido é estável ou não precisamos saber quanto vale a distância entre o metacentro e o centro de gravidade do objeto.

Essa distância será chamada de altura metacêntrica, G M . Então, foi descoberta a seguinte relação:

Então para um objeto estar estável o metacentro deve estar posicionado acima do centro de gravidade.

Mas que ponto é esse tal de metacentro?

É ponto de giro de um objeto flutuante, é como se ele girasse entorno daquele ponto. Ele é tão importante porque é ele que vai ajudar a definir se o objeto é estável ou não.

E como calculá-lo? Vamos calculá-lo em função do fundo do objeto o ponto K . Se assumirmos que lá é o ponto zero, então teremos as cotas do centro de gravidade, empuxo e metacentro.

A equação para calcular a distância K M é simples: basta olhar para a imagem acima:

K M = K B + M B

Ou

K M = K G + G M

Opa apareceu o que a gente quer, no início falamos que o que vai definir se o objeto é estável ou não é a altura metacêntrica, o G M .

Se igualarmos as duas opções de K M , temos:

K G + G M = K B + B M

Isolando a altura metacêntrica, temos:

G M = K B - K G + B M

Beleza, K B que é a posição do centro de empuxo e K G que é a posição do centro de gravidade a gente sabe calcular. Só falta então descobrir quem é esse B M .

B M é chamado de raio metacêntrico, é a distância entre o centro de empuxo e o metacentro. E o cálculo dessa distância é relacionado com a forma do objeto, pois B M é:

B M = I o V s u b m e r s o

I o é o momento de inércia da área onde objeto em contato com a superfície do fluido.

“Oi?? Não entendi nada!!” Calma, vamos desenhar, porque isso é foda. Faremos o momento de inércia dessa região aqui em preto:

É a região que a água toca do objeto, olhando de cima, veríamos isso:

Onde Y seria o comprimento do nosso objeto analisado. Assim, o momento de inércia dessa região é:

I 0 = Y . X 3 12

Agora, conseguimos calcular o valor de G M e assim avaliar se o objeto está ou não estável. Partiu exercício?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Um corpo flutuante será estável quando:

( a ) o seu centro de gravidade estiver acima de seu centro de empuxo;

( b ) o centro de empuxo estiver abaixo da linha d’água;

( c ) o centro de empuxo estiver acima do seu metacentro;

( d ) o metacentro estiver acima do seu centro de empuxo;

( e ) o metacentro estiver acima do seu centro de gravidade.

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Passo 1

Vimos na teoria que um corpo flutuante está em equilíbrio quando G M > 0 , ou seja, a distância entre o centro de gravidade e metacentro é positiva.

Sendo que ela é positiva se o metacentro estiver acima do centro de gravidade e negativa se o contrário acontecer.

Então a resposta dessa questão é a alternativa e . E esse conceito é o que rege tudo que estudamos de estabilidade. Se o metacentro estiver acima do centro de gravidade a embarcação está estável.

Resposta

Alternativa e  

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Descreva os 3 diferentes tipos de equilíbrio de um corpo parcialmente submerso em um fluido. Quais as condições para que eles aconteçam?

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Passo 1

Esse exercício é de teoria e essa parte é importante para resolver as questões de estabilidade. Agora é A hora de fixar isso. Opa! 😉

Vimos na teoria que temos 3 tipos de equilíbrio: o estável, o instável e o indiferente.

O que significa um equilíbrio estável? Significa que se por algum motivo, o equilíbrio do corpo for perturbado por uma pequena variação de força, então o corpo irá voltar para sua posição original, assim que essa perturbação for retirada.

O equilíbrio estável é o que geralmente queremos, pois ele garante que mesmo que venha algo ali incomodar um pouquinho o equilíbrio, as coisas vão voltar ao que eram antes quando essa perturbação sair (exemplo da figura: a bolinha volta pra onde era estável!)

Ok! E o equilíbrio indiferente? Esse tipo de equilíbrio é interessante porque se tiver essa pequena perturbação, então o corpo ainda ficará em equilíbrio. PORÉM, chamamos de equilíbrio indiferente pois após essa perturbação, o corpo vai para outra posição de equilíbrio.

Perturbou? Mudou. Equilíbrio continua, mas de outra forma. Indefere a perturbação, o corpo fica em equilíbrio. Não podemos chamar de estável, pois não volta pra mesma situação de equilíbrio. :I

Finalmente, o equilíbrio instável! Geralmente, nós fugimos desse tipo de equilíbrio. Como o nome já diz, ao invés de estabilidade, temos instabilidade. E por que nesse caso isso não é bom? Pois uma pequena perturbação causa a retirada desse corpo da condição de equilíbrio. Por exemplo, um navio poderia afundar.

Se uma perturbaçãozinha já pode afundar o navio, porque chamamos isso de equilíbrio instável?? Bem, para estar em equilíbrio, basta que a resultante das forças no corpo seja zero. No equilíbrio instável, o equilíbrio em si fica sujeito a não existir mais se uma pequena perturbação for aplicada. Por isso, não é almejado. ☹

Passo 2

Quais as condições para que elas aconteçam?

Vimos na teoria que:

No equilíbrio estável, a altura metacêntrica (GM) é maior que zero, ou seja, o metacentro está acima do centro de gravidade do corpo.

No equilíbrio instável, a altura metacêntrica (GM) é menor que zero, isto é, o metacentro está abaixo do centro de gravidade do corpo.

No equilíbrio indiferente, a altura metacêntrica (GM) é igual a zero, ou seja, o metacentro coincide com o centro de gravidade do corpo.

Resposta

O equilíbrio estável é aquele que apesar de uma pequena variação de força o equilíbrio irá se recuperar quando a força for retirada. Condição: G M   >   0

O equilíbrio indiferente é aquele que se uma pequena perturbação for aplicada, então outra posição de equilíbrio será atingida. Condição: G M =   0

O equilíbrio instável é aquele equilíbrio em que uma pequena perturbação retira o corpo da condição de equilíbrio. Condição: G M <   0

Exercício Resolvido #3

White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 138, ex. P2.130

Considere um cilindro de madeira ( d   =   0,6 ) de 1 m de diâmetro e 0,8 m de comprimento. Esse cilindro seria estável se colocado para flutuar com seu eixo na vertical em óleo ( d   =   0,8 )?

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Passo 1

Fala aí! Vou traduzir o que esse exercício está perguntando: “Será que se colocarmos esse cilindro em pé no óleo ele fica estável?”

Para responder essa pergunta precisamos calcular GM e verificar se esse valor é maior que zero. Se for, a resposta vai ser sim! É estável. Se for GM for menor que zero, o equilíbrio vai ser instável e qualquer perturbação vai fazer esse cilindro virar.

A equação que vamos usar é:

G M = K B - K G + B M

Precisamos encontrar K B , K G e B M para calcular G M , que é quem queremos conhecer!

Começando pelo K G , vamos considerar que o material do cilindro é uniforme. Com isso, o centro de gravidade fica na metade da altura do cilindro.

Como o cilindro está em pé, a altura é o comprimento:

K G = H 2 =   0,8 2 = 0,4   m

Passo 2

E onde seria aplicado o empuxo? Quem é K B ?

O empuxo é aplicado na metade do volume submerso. Mas não sabemos quanto do cilindro está submerso no óleo. Sabemos que há um equilíbrio de forças, então:

P = E

Lembrando as fórmulas da força Peso e do Empuxo:

m c i l i n d r o . g = ρ ó l e o . V s u b m e r s o . g

ρ c i l i n d r o . V c i l i n d r o . g = ρ ó l e o . V s u b m e r s o . g

Cancelando a gravidade:

ρ c i l i n d r o . V c i l i n d r o = ρ ó l e o . V s u b m e r s o

O volume do cilindro é

V c i l i n d r o = Á r e a   d a   b a s e × a l t u r a

V c i l i n d r o = π D 2 4 H

V c i l i n d r o = π 1 2 4 0,8

V c i l i n d r o = 0,628 m ³

Por outro lado, o volume submerso é:

V s u b m e r s o = Á r e a   d a   b a s e × a l t u r a   s u b m e r s a

V s u b m e r s o =   π D 2 4 h

V s u b m e r s o =   π 1 2 4 h

V s u b m e r s o =   0,785   h

Substituindo:

ρ c i l i n d r o . V c i l i n d r o = ρ ó l e o . V s u b m e r s o

0,6   × 0,628 = 0,8 × 0,785   h

Logo, a altura do cilindro que está submersa é:

h = 0,6   m

Lembrando que o ponto de atuação do empuxo é no centro de gravidade da parte submersa:

K B = h 2

Substituindo o valor que encontramos para h

K B = 0,6 2 = 0,3

Passo 3

Finalmente, vamos calcular o B M ! A fórmula é:

B M = I 0 V s u b m e r s o

O momento de inércia do cilindro em pé é o momento de inércia do círculo (porque essa é a região que a oléo toca o cilindro)

I 0 = π R 4 4

Como o diâmetro é 1 m, o raio é 0,5 m. Substituindo:

I 0 = π 0,5 4 4 = 0,049

Com isso, para encontrar BM:

B M = I 0 V s u b m e r s o =   0,049 0,785   h

B M = 0,049 0,785   × 0,6 = 0,104

O valor de B M foi encontrado.

Passo 4

Finalmente, temos todos os valores necessários para calcular G M !

G M =   K B - K G + B M

G M =   0,3 - 0,4 + 0,104

G M = - 0,1 + 0,104

G M = 0,004

Opaaa! Encontramos G M e o valor é maior que zero! O que isso significa?

GM > 0 significa que o equilíbrio é estável! Portanto, a resposta é sim! O cilindro colocado na posição vertical no óleo encontra-se estável, pois GM > 0.

Resposta

Sim! O cilindro seria estável nas condições pedidas.

Exercício Resolvido #4

White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 138, ex. P2.128

Um iceberg pode ser idealizado como um cubo de lado L , como na Figura abaixo. Se a água do mar for representada por d = 1,0