Fluido sendo acelerado

Teoria Completa

O que acontece quando se acelera um fluido?

Já tentou correr com um copo de água na mão? Ou já parou para pensar como o fluido vai se comportar em uma situação em que ele está acelerado?

Parece que o fluido anda para trás né? Ele vai sair de uma posição paralela ao chão para uma posição inclinada. Tipo assim:

Aqui a gente vai usar a convenção de que o fluido todo está acelerado com a mesma aceleração que o recipiente em que ele está, ok?

O que acontece com o fluido nessas condições é que a distribuição de pressão muda quando ele está acelerado, porque agora vamos precisar levar em conta outros fatores… Vem comigo que vamos ver isso com calma!

Bom, agora não temos mais um comportamento hidrostático. Assim aqueles princípios que estudamos até aqui vão mudar um pouco. A pressão vai variar ao longo da profundidade, como a gente estava acostumado, mas agora temos um novidade na equação! Dá uma olhadinha aqui, a pressão, para um fluido acelerado, será calculada como sendo:

P = ρ . G . h + P A t m

Nessa equação temos o ρ que é a densidade do fluido, o h que é a profundidade do ponto analisado, P A t m que é nossa pressão atmosférica e temos o G! Opa! Quem é esse cara que está em negrito na equação?

Relaxa! É que a gente estava acostumado com o g (minúsculo) que indica a aceleração da gravidade, mas nas condições de fluido acelerado a gente vai usar a aceleração efetiva, que é esse G maiúsculo aí! É exatamente ele que vai influenciar na pressão.

E como se calcula o G?

Pra gente calcular a aceleração efetiva, vamos usar essa equação aqui, olha só:

G = a x 2 + g - a y 2

Vamo dar uma olhadinha em cada termo dessa equação, ok? Esse a x é a componente x da aceleração, esse a y é componente y da aceleração e o g é a nossa velha conhecida, a gravidade.

O G representa o módulo da aceleração resultante, ok? Por isso que a gente trabalha com as componentes para encontrar ele! :)

Vamos ficar atento em uma coisa importante, ok? O sinal! Porque agora podemos ter uma questão onde o fluido é acelerado para baixo e em outra questão ele pode ser acelerado para cima… Sendo assim vamos fazer um combinado! Para que g continue sendo positivo, vamos usar que é positivo para baixo na direção y e positivo para esquerda na direção x .

Beleza! Agora que já sabemos como encontrar a pressão e o módulo da aceleração resultante, vamos voltar a observar o nosso fluido no copo, beleza?

Consegue observar que ele faz uma inclinação? Ele forma um ângulo, bem ali, olha só:

Esse ângulo formado na superfície do líquido com a horizontal pode ser calculado usando essa equação aqui:

θ = a r c t g - a x g - a y

Mais uma vez a gente usa o a x que é a componente x da aceleração, o a y que é a componente y da aceleração e o g que é a gravidade, beleza?

Diferença de pressão

Lembra que lá no começo a gente falou que em um fluido sendo acelerado, teríamos alteração na pressão e na distribuição da pressão?

É isso aí! E agora vamos ver como vai ficar a nossa diferença de pressão, em um fluido que está sendo acelerado. Ela será dada por:

P 1 - P 2 = ρ . a x . x + ρ . g - a y . y

a x e a y a gente já tá ligado que são as componentes da aceleração, certo?

Mas e x e y ? Bom, vamos lembrar que a diferença de pressão quer dizer que estamos comparando dois pontos, né? Um ponto 1, onde temos o P 1 , e o ponto 2, onde temos o P 2 . Então esse x e y são exatamente as distâncias entre os pontos, no eixo x e no eixo y , belezinha?

Vamos de exemplo?

Um exemplo pra ajudar a gente a entender melhor é sempre bem vindo, não é mesmo?

Estamos de mudança e precisamos transportar um aquário de 50 cm de altura, 2 metros de comprimento e 0,3 metros de profundidade. Ele está cheio até a metade com água. Durante o transporte, variamos a velocidade de 0 a 10 m/s em 5 segundos. Determine o ângulo que a superfície livre faz com a horizontal e calcule a gravidade efetiva nessas condições.

Olha só! Vamos precisar calcular a gravidade efetiva, G , e o ângulo, θ , ok?

Vamos começar encontrando o ângulo, para isso vamos usar a equação que vimos ali em cima:

θ = a r c t g - a x g - a y

Mas quem será o a x e o a y ? Bom, se estamos transportando um aquário em um linha reta, vamos começar supondo que não existirá uma componente de aceleração em y , ok? E a componente em x , será dada por:

a x = Δ V Δ t

Substituindo nossos dados temos:

a x = 10 - 0 5 - 0 = 2,0   m / s 2

E sabendo que a gravidade é g = 9,81   m / s 2 , nosso ângulo será:

θ = a r c t g   2,0 9,81 - 0 = 11,52 °  

Show! E agora precisamos da gravidade efetiva, vamos encontrar ela:

G = 2,0 2 + 9,81 - 0 2 = 10,01   m / s 2

Prontinho! Ficou mais tranquilo de visualizar o que aprendemos agora, né?

E se o fluido estiver inclinado?

Aqui vale uma observação! Quando tivermos o fluido em um plano inclinado, h deve ser a distância entre o ponto e a superfície do líquido sem a inclinação, ou seja, você tem que usar apenas a componente h y dessa distância. Isso é importante para quando tivermos recipientes em um plano inclinado. Olhe a diferença:

Show de bola! Agora bora para os exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 139, ex. P 2.140

(Adaptada) Considere que um tanque de combustível de seção transversal elíptica com 10 m de comprimento, 3 m no eixo maior horizontal e 2 m no eixo menor vertical esteja completamente cheio com combustível ( ρ =   890   k g / m ³ ) . O tanque é transportado ao longo de uma pista horizontal. Para o movimento de corpo rígido, encontre a aceleração para a qual uma superfície de pressão constante se estende do topo da parede dianteira até o fundo da extremidade traseira.

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Passo 1

Opa! Antes de começar a fazer as contas, vamos entender esse problema com figuras, ok?

Estamos falando de um tanque mais ou menos assim:

Se olharmos ele de lado, podemos representar ele assim:

Ele está sendo transportado. A gente não sabe em que direção, mas sabe que o líquido forma uma superfície que vai do topo da parede da frente até a parte de baixo da parede de trás. Vamos considerar que ele está indo para a direita, você pode dizer o contrário, mas aí vai ter que resolver todo o problema no sentido oposto, ok?

Beleza? E definimos os pontos A, B, C e D em cada extremidade.

Mas isso aí tá meio diferente do que a gente teria imaginado né? Se o tanque tá indo pra frente, o líquido não deveria ir pra trás? Pois é, pequeno gafanhoto. Isso significa que a velocidade até é pra direita, mas a aceleração é pra esquerda! Esse negócio aí está freando/desacelerando.

Como a gente convencionou que a aceleração pra direita é positiva, esse cara vai ter aceleração negativa, certo? E o ângulo da superfície do combustível com a horizontal também tá “ao contrário”. Então ele vai ser negativo também!

Agora que sabemos disso, vamos às contas:

tan ⁡ θ C - B = -   2   m 10   m =   - 0,2

Como o fluido está desacelerando:

tan ⁡ θ =   a x g

Substituindo:

- 0,2 =   a x 9,8

Logo:

a x = - 1,96 m s 2

Encontramos a componente x da aceleração e ela é negativa, pois o fluido está desacelerando.

Resposta

a x = - 1,96 m s 2

Exercício Resolvido #2

Um tanque de água com 4   m de profundidade recebe uma aceleração constante ascendente a z . Determine ( a ) a pressão manométrica no fundo do tanque se a z = 5   m / s 2 e ( b ) o valor de a z que faz a pressão manométrica no fundo do tanque ser 1   a t m .

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Passo 1

a   Vimos na teoria a seguinte equação para calcular a pressão quando o fluido é acelerado:

P = ρ . G . H = ρ a x 2 +   g - a z 2 1 2 . H  

Nessa questão não há aceleração na direção x , assim chegamos, em:

P = ρ . g - a Z . H

Vamos orientar o sentido positivo, para baixo, como falamos na teoria. E então vamos substituir os dados que temos:

P = 998 . 9,8 - ( - 5 ) . 4

P = 59,08   k P a

Passo 2

b Sabemos que 1   a t m = 101.300   P a

Assim, temos

P = ρ . g - a Z . H

101.300 = 998 9,8 - a Z . 4

25,37 = 9,8 - a z

a z = - 15,57   m / s 2

O sinal de menos, mostra que a aceleração é para cima, já que adotamos positivo para baixo.

Resposta

a   P = 59,08   k P a

b a z = 15,57   m / s 2

Exercício Resolvido #3

Um tanque selado, cheio com fluido de densidade 0,85 , é acelerado a 5   m / s 2 para a direita. Determine as pressões nos pontos A e B da figura, sabendo-se que a pressão no manômetro D é 200   k P a . As dimensões do tanque estão na figura.

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Passo 1

Como o tanque é selado o fluido não consegue se movimentar, assim a diferença de pressão será dada por:

P 1 - P 2 = ρ . a x . x 1 - 2 + ρ . g . y 1 - 2

Beleza, como foi dado a pressão no ponto D , vamos calcular a pressão em relação aquele ponto. A densidade do líquido também foi dada ρ = 850   k g / m 3 , assim como a aceleração, que é toda em x, a x = 5   m / s 2 . E a gravidade a gente vai considerar g = 9,8   m / s 2 .

Então vamos começar calculando a pressão no ponto A . Observando a posição desse ponto em relação ao ponto D , a gente vê que x A - D = 10   m e y A - D = 0

P A - P D = 850 k g m 3 .     5 m s 2 . 10   m

P A - P D = 42.500 k g m . s 2

P A = 42.500 + 200.00 =   242.500   P a

E no ponto B , que está a x B - D = 10   m e y B - D = 5   m

P B - P D = 850 k g m 3 .     5 m s 2 . 10 m s 2 + 850 k g m 3 .     9,8 m s 2 . 5   m

P B = 200.000 + 42500 + 41650

P B = 284.150   P a

Resposta

P A = 242.500   P a   ; P B = 284.150   P a

Exercício Resolvido #4

Considere a figura abaixo. Se a aceleração linear na direção x for igual a 4   m / s 2 e a aceleração linear na direção y for 8   m / s 2 , encontre a equação das isobáricas e a pressão nos pontos B , C , D e E . O fluido é óleo, de densidade 0,8

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Passo 1

Vamos começar esclarecendo que quando ele pede para determinar a equação da isobárica, ele está pedido que determinasse o ângulo de inclinação do fluido. Pois assim, saberemos que naquela direção a pressão é a mesma.

Beleza, então vamos começar calculando isso. Vimos que a fórmula para calcular essa inclinação é:

θ = a r c t g a x g - a y

Assumindo a direção positiva para baixo, assim temos:

θ = a r c t g ( - 4 ) 9,8 - - 8

θ = a r c t g - 4 17,8 = a r c t g - 0,225

θ = - 12,7 °

Passo 2

Agora, vamos calcular as pressões em cada ponto. O ponto A é o ponto de referencia, nele sabemos que a pressão é a pressão atmosférica.

Para a gente calcular a diferença de pressão entre dois pontos, temos que saber a distância em x e y entre esses dois pontos.

O ponto A , está na posição x A = 0 e y A = 0 . Já o ponto B está na x B = 0 e y B = - 0,25 .

Jogando da equação de pressão, temos:

P B - P A = 800 . - a x . x + 800 . g - a y . y

P B = P A - 800 . ( - 4 ) . x + 800.17,8 . y

P B = P A + 800.4 . 0 + 800.17,8 . - 0,25

Substituindo o x e y da posição B , temos:

P B = P A - 3560   P a

Vamos fazer o mesmo para o ponto C , que está na posição x = 1 e y = - 0,25 .

Lembra que adotamos que o sentido positivo é para baixo, e assim o sentido positivo de x é para esquerda. Vamos calcular a pressão em C .

P C = P A + 800.4 . x + 800.17,8 . y

P C = P A + 800.4 . 1 + 800.17,8 . - 0,25

P C = P A - 360   P a

O ponto D , agora. Ele está na posição x = 1 e y = 0,75 .

P D = P A + 800.4 . x + 800.17,8 . y

P D = P A + 800.4 . 1 + 800.17,8 . 0 , 7 5

P D = P A + 1 3 88 0   P a

E por fim o ponto E que está na posição x = 0 e y = 0,75

P E = P A + 800.4 . 0 + 800.17,8 . 0,75

P E = P A + 1 06 80   P a

Resposta

P B = P A - 3560   P a   ;   P C = P A - 360   P a   ;   P D = P A + 13880   P a   ;   P E = P A + 10680   P a

θ = - 12,7 °

Exercício Resolvido #5

White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 139, ex. P 2.139

(Adaptada) O tanque de líquido da Figura acelera para a direita com o fluido em movimento de corpo rígido. (a) Calcule a x   em m/s². (b) Determine a pressão manométrica no ponto A se o fluido for glicerina a 20°C.

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Passo 1

Para calcular a aceleração em x, vamos analisar a geometria do problema.

O fluido está inclinado a um certo ângulo θ. A tangente desse ângulo é o cateto oposto (28-15cm) sobre o adjacente (100 cm). Então:

tan ⁡ θ =   28 - 15 100 =   13 100 = 0,13

Pela teoria de fluido acelerando, vimos outra fórmula para tangente de θ :

tan ⁡ θ =   a x g + a y

No nosso exercício, não há componente y da aceleração, logo a y = 0 .

tan ⁡ θ =   a x g

Substituindo:

0,13 =   a x 9,8

Logo:

a x = 1,28 m s 2

Encontramos a componente x da aceleração conforme pede a letra a.

Passo 2

Para encontrar a pressão manométrica no ponto A, podemos usar essa fórmula:

P 1 - P 2 = ρ . a x . x + ρ . g - a y . y

Sendo P A ,   m a n =   P A ,   a b s - P a t m =   P 1 - P 2

Lembrando que:

a x = 1,28   m / s ² a y = 0 m s 2

Como o fluido é glicerina, ρ = 1260   k g / m ³

Além disso, x = 100   c m = 1     m e y = 15   c m =   0,15   m

Substituindo:

P A ,   m a n = 1260 × 1,28 × 1 + 1260 × 9,8 - 0 × 0,15

Então:

P A ,   m a n = 3460   P a

E assim encontramos a pressão manométrica em A! 😊

Resposta

  1. a x = 1,28 m s 2
  2. P A ,   m a n = 3460   P a

Exercício Resolvido #6

Uma caixa, cuja base horizontal tem 2   x   2   m 2 e altura 1   m e t r o , está com líquido pela metade (veja a figura). Determine a aceleração horizontal, constante, a x , que resulta na condição crítica do enchimento, definido como sendo aquela para a qual há a ameaça do derramamento. Determine também a equação que indica a variação da pressão ao longo da base na condição crítica. A caixa está aberta à atmosfera.

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Passo 1

O primeiro passo é descobrir para qual ângulo de inclinação o fluido estará no limite de escapar da caixa.

Para a água escapar ela tem que subir 0,5   m na extremidade esquerda, se ela sobe isso de um lado do outro ela desce, assumindo assim a seguinte condição:

O valor desse ângulo é fácil descobrirmos:

t g   θ = 0,5 1 = 1 2

θ = a r c t g 1 2 = 26,565 °

Agora podemos usar aquela formula que vimos na teoria:

θ = a r c t g a x g - a y

No nosso caso, a y = 0 e a x é o que queremos descobrir, assim:

a r c t g 1 2 = a r c t g   a x g  

a x g = 1 2

a x = 9,8 2 = 4,9   m / s 2

Passo 2

Agora, vamos montar a equação de variação de pressão na base

Vimos na teoria que a fórmula para calcular variação de pressão entre dois pontos é:

P x - P A = ρ . a x . x x - A + ρ . g . y x - A

x x - A será a posição 2 - x , já que a posição inicial estará em x 0 = 0 . A questão é que quando você anda para o lado a profundidade do ponto aumenta linearmente.

Qual é a equação de y ?

y x = 0 = 1

y x = 2 = 0

y é dado por uma função de primeiro grau, pois aumenta linearmente, certo? Então pode ser escrita assim:

y = a x + b

Se y = 1 quando x = 0 então b = 1 .

Agora falta só descobrir a .

0 = a . 2 + 1

a = - 1 2

Beleza, então a função de y é:

y = 1 - 1 2 x

Assim, podemos montar a equação de pressão assim

P x - P A = ρ . 4,9 . ( 2 - x ) + ρ . 9,8 . 1 - 1 2 x  

P x = 2 ρ . 4,9 - ρ   4,9 . x + ρ . 9,8 - ρ . 9,8 . 1 2 x + P A  

P x = - ρ . 9,8 . x + 2 ρ 9,8 + P A

P x = ρ . 9,8   2 - x + P A

Onde P A é a pressão atmosférica.

Resposta

a x = 9,8 2 = 4,9   m / s 2

Exercício Resolvido #7

 Uma caixa retangular, contendo fluido de densidade 0,9 , é colocada em um carrinho que desce uma ladeira com aceleração constante a x = 3   m / s 2 . A inclinação da ladeira é de 30 ° . Determine a inclinação da superfície livre, usando o sistema de coordenadas indicado na figura. 

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Passo 1

Bom, se vamos usar o sistema de coordenadas da figura, então vamos ter que decompor a aceleração da gravidade nessas duas direções.

Para decompor temos que encontrar o ângulo que a força peso está fazendo com uma delas:

Como a aceleração da gravidade faz 90 ° com a horizontal e o plano está inclinado 30 ° , então a aceleração da gravidade tem um ângulo de 60 ° com a aceleração a x .

Assim, decompondo a aceleração da gravidade temos:

g x = g . cos ⁡ 60 ° = g 2

g y = g . sen ⁡ 60 ° = g . 0,866

Beleza, agora, podemos calcular o ângulo de inclinação do fluido:

Tá ligado que a gente viu que:

θ = arctg ⁡ - a x g - a y

Mas repara que ali na figura o líquido nem tá indo pra trás como ele deveria devido à aceleração. Isso acontece porque o peso tá puxando ele pra trás. Então, aqui a gente vai usar:

θ = arctg ⁡ g x - a x g - a y

Vamos adotar como positivo o sentido para baixo e para direita. Assim, temos:

θ = a r c t g g 2 - 3 g . 0,866