Fluido sendo acelerado

Teoria Completa

O que acontece quando se acelera um fluido?

Já tentou correr com um copo de água na mão? Ou já parou para pensar como o fluido vai se comportar em uma situação em que ele está acelerado?

Parece que o fluido anda para trás né? Ele vai sair de uma posição paralela ao chão para uma posição inclinada. Tipo assim:

Acelerar um fluido por completo é muito difícil. Como você tem as partículas livres entre si, você não consegue acelerar apenas o fluido em si. Na verdade, você acelera um recipiente que irá transmitir essa aceleração de forma muito complexa ao fluido e por isso não vamos estudar esse processo.

Vamos estudar o estado em que o fluido todo está acelerado com a mesma aceleração que o recipiente em que ele está.

O que acontece com o fluido neste caso é que a distribuição de pressão muda quando ele está acelerado. O que acontece é semelhante à quando medimos o peso de algo acelerado: assim como o peso muda a pressão causada pelo fluido também irá mudar.

Agora não temos mais um comportamento hidrostático. Assim aqueles princípios que estudamos até aqui vão mudar um pouco.

A pressão irá variar ao longo da profundidade e do comprimento, seguindo está equação:

P = ρ . G . h + P A t m

Onde ρ continua sendo a densidade do fluido e h a profundidade do ponto analisado.

E se o fluido estiver inclinado?

Aqui vale uma observação! Quando tivermos o fluido em um plano inclinado, h deve ser a distância entre o ponto e a superfície do liquido sem a inclinação, ou seja, você tem que usar apenas a componente h y dessa distância. Isso é importante para quando tivermos recipientes em plano inclinado. Olhe a diferença:

Agora, vamos falar desse G aí da fórmula. É G maiúsculo mesmo, não é nossa velha amiga gravidade não!

G maiúsculo? Quem é ele?

Os livros chamam ele de aceleração efetiva. É ela que vai influenciar na pressão. E para calcular ela é assim ó:

G = a x 2 + g - a y 2 1 / 2  

Esses a x e a y são as componentes x e y da aceleração, g é a gravidade mesmo e G   é o módulo da aceleração resultante. Até agora pouco tínhamos usado os sinais indicando sentido. Pois agora isso se torna essencial, dado que em uma questão podemos ter o fluido acelerado para baixo e na outra para cima.

Para que g continue sendo positivo, vamos usar que é positivo para baixo na direção y e positivo para esquerda na direção x .

Então, vamos ficar com a seguinte equação para a pressão:

P = ρ . a x 2 + g - a y 2 1 2   . h + P a t m

Essa equação é útil para o cálculo de pressão!

Mas pera ae quando eu estou parado é moleza descobrir h , mas quando eu acelerar a superfície vai se inclinar e ae?

Bem, vamos descobrir o quanto ela vai se inclinar então:

θ = a r c t g - a x g - a y

O ângulo é o ângulo da superfície com a horizontal:

Mas e se você quiser fugir dessa direção, e usar apenas os pontos na direção x e y :

Podemos encontrar a diferença de pressão!

P 1 - P 2 = ρ . a x . x + ρ . g - a y . y

Onde x e y são as distâncias entre os pontos 1 e 2 .

E é só isso, bora para os exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 139, ex. P 2.140

(Adaptada) Considere que um tanque de combustível de seção transversal elíptica com 10 m de comprimento, 3 m no eixo maior horizontal e 2 m no eixo menor vertical esteja completamente cheio com combustível ( ρ =   890   k g / m ³ ) . O tanque é transportado ao longo de uma pista horizontal. Para o movimento de corpo rígido, encontre a aceleração para a qual uma superfície de pressão constante se estende do topo da parede dianteira até o fundo da extremidade traseira.

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Passo 1

Opa! Antes de começar a fazer as contas, vamos entender esse problema com figuras, ok?

Estamos falando de um tanque mais ou menos assim:

Se olharmos ele de lado, podemos representar ele assim:

Ele está sendo transportado. A gente não sabe em que direção, mas sabe que o líquido forma uma superfície que vai do topo da parede da frente até a parte de baixo da parede de trás. Vamos considerar que ele está indo para a direita, você pode dizer o contrário, mas aí vai ter que resolver todo o problema no sentido oposto, ok?

Beleza? E definimos os pontos A, B, C e D em cada extremidade.

Mas isso aí tá meio diferente do que a gente teria imaginado né? Se o tanque tá indo pra frente, o líquido não deveria ir pra trás? Pois é, pequeno gafanhoto. Isso significa que a velocidade até é pra direita, mas a aceleração é pra esquerda! Esse negócio aí está freando/desacelerando.

Como a gente convencionou que a aceleração pra direita é positiva, esse cara vai ter aceleração negativa, certo? E o ângulo da superfície do combustível com a horizontal também tá “ao contrário”. Então ele vai ser negativo também!

Agora que sabemos disso, vamos às contas:

tan ⁡ θ C - B = -   2   m 10   m =   - 0,2

Como o fluido está desacelerando:

tan ⁡ θ =   a x g

Substituindo:

- 0,2 =   a x 9,8

Logo:

a x = - 1,96 m s 2

Encontramos a componente x da aceleração e ela é negativa, pois o fluido está desacelerando.

Resposta

a x = - 1,96 m s 2

Exercício Resolvido #2

Um tanque de água com 4   m de profundidade recebe uma aceleração constante ascendente a z . Determine ( a ) a pressão manométrica no fundo do tanque se a z = 5   m / s 2 e ( b ) o valor de a z que faz a pressão manométrica no fundo do tanque ser 1   a t m .

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Passo 1

a   Vimos na teoria a seguinte equação para calcular a pressão quando o fluido é acelerado:

P = ρ . G . H = ρ a x 2 +   g - a z 2 1 2 . H  

Nessa questão não há aceleração na direção x , assim chegamos, em:

P = ρ . g - a Z . H

Vamos orientar o sentido positivo, para baixo, como falamos na teoria. E então vamos substituir os dados que temos:

P = 998 . 9,8 - ( - 5 ) . 4

P = 59,08   k P a

Passo 2

b Sabemos que 1   a t m = 101.300   P a

Assim, temos

P = ρ . g - a Z . H

101.300 = 998 9,8 - a Z . 4

25,37 = 9,8 - a z

a z = - 15,57   m / s 2

O sinal de menos, mostra que a aceleração é para cima, já que adotamos positivo para baixo.

Resposta

a   P = 59,08   k P a

b a z = 15,57   m / s 2

Exercício Resolvido #3

Um tanque selado, cheio com fluido de densidade 0,85 , é acelerado a 5   m / s 2 para a direita. Determine as pressões nos pontos A e B da figura, sabendo-se que a pressão no manômetro D é 200   k P a . As dimensões do tanque estão na figura.

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Passo 1

Como o tanque é selado o fluido não consegue se movimentar, assim a diferença de pressão será dada por:

P 1 - P 2 = ρ . a x . x 1 - 2 + ρ . g . y 1 - 2

Beleza, como foi dado a pressão no ponto D , vamos calcular a pressão em relação aquele ponto. A densidade do líquido também foi dada ρ = 850   k g / m 3 , assim como a aceleração, que é toda em x, a x = 5   m / s 2 . E a gravidade a gente vai considerar g = 9,8   m / s 2 .

Então vamos começar calculando a pressão no ponto A . Observando a posição desse ponto em relação ao ponto D , a gente vê que x A - D = 10   m e y A - D = 0

P A - P D = 850 k g m 3 .     5 m s 2 . 10   m

P A - P D = 42.500 k g m . s 2

P A = 42.500 + 200.00 =   242.500   P a

E no ponto B , que está a x B - D = 10   m e y B - D = 5   m

P B - P D = 850 k g m 3 .     5 m s 2 . 10 m s 2 + 850 k g m 3 .     9,8 m s 2 . 5   m

P B = 200.000 + 42500 + 41650

P B = 284.150   P a

Resposta

P A = 242.500   P a   ; P B = 284.150   P a

Exercício Resolvido #4

Considere a figura abaixo. Se a aceleração linear na direção x for igual a 4   m / s 2 e a aceleração linear na direção y for 8   m / s 2 , encontre a equação das isobáricas e a pressão nos pontos B , C , D e E . O fluido é óleo, de densidade 0,8

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Passo 1

Vamos começar esclarecendo que quando ele pede para determinar a equação da isobárica, ele está pedido que determinasse o ângulo de inclinação do fluido. Pois assim, saberemos que naquela direção a pressão é a mesma.

Beleza, então vamos começar calculando isso. Vimos que a fórmula para calcular essa inclinação é:

θ = a r c t g a x g - a y

Assumindo a direção positiva para baixo, assim temos:

θ = a r c t g ( - 4 ) 9,8 - - 8

θ = a r c t g - 4 17,8 = a r c t g - 0,225

θ = - 12,7 °

Passo 2

Agora, vamos calcular as pressões em cada ponto. O ponto A é o ponto de referencia, nele sabemos que a pressão é a pressão atmosférica.

Para a gente calcular a diferença de pressão entre dois pontos, temos que saber a distância em x e y entre esses dois pontos.

O ponto A , está na posição x A = 0