Enunciado

103 – Considere a nacela da turbina eólica no Exemplo 1.3. A nacela é formada de um material compósito termoplástico de espessura L=20 mm. A condutividade térmica, a densidade, e o calor especifico do material da nacela são k=1,5W/m.K, ρ=1250kg/m3, e c=1500J/kg.K. Na realidade, o coeficiente de transferência de calor no exterior da superfície da nacela não é constante, mas varia conforme as pás giram sobre a nacela levando a uma variação senoidal do coeficiente de transferência de calor, h t = h - + ∆ h ∙ s e n ω t . O valor de h e Δh são 35W/m2.K e 15W/m2.K, respectivamente. A frequência ω pode ser determinada pelo nº de pás (3) e a rotação das pás (17 rpm).

No tempo t=0, a distribuição de temperatura através da parede é dada por T(x, t=0)=Ax+B, onde x=0 corresponde a superfície interna da nacela, A=-3460°C/m, e B=212°C. Usando esta condição inicial, determine a distribuição de temperatura dentro da parede T(x, t) sobre um período de tempo de 40≤t≤50 s. Assumir que a superfície interna da nacela é mantida no valor inicial de 212°C. Use um espaçamento de Δx=2 mm e um intervalo de tempo Δt=0,05 s. Plote a temperatura da superfície exterior da nacela, o fluxo convectivo exterior, e o fluxo de calor por radiação sobre um período de tempo de 40≤t≤50 s. Explique a base física do fenômeno que você observou de sua solução.

Passo 1

Vamos começar determinando a expressão para a temperatura que representará a distribuição de temperatura.

Vamos fazer um balanço de energia. O balanço de energia global é:

E ˙ e n t r a - E ˙ s a i + E ˙ g = E ˙ s i s t e m a             E q 1

Onde,

- E ˙ e n t r a e E ˙ s a i , são, respectivamente, a taxa de transferência de energia que entra no sistema e a que sai do sistema;

- E ˙ g , é a taxa de geração de energia dentro do sistema;

- E ˙ s i s t e m a , é taxa de energia acumulada no sistema, que varia com o tempo em um processo transiente.

A energia acumulada no sistema é:

E ˙ s i s t e m a = ρ c p ∂ T ∂ t

Desprezando a geração de energia:

E ˙ g = 0

A energia que entra no sistema é dada por:

E ˙ e n t r a = q r a d + q c o n v + q c o n d

Passo 2

Assim, a Eq. 1 fica:

q r a d + q c o n v + q c o n d = ρ c p ∂ T ∂ t

Em termos de fluxo:

q " r a d + q " c o n v + q " c o n d = ρ c p L ∂ T ∂ t

Onde,

q " r a d = ε σ T V i z 4 - T 4

q " c o n v = h T ∞ - T

q " c o n d = k d T d x

Assim,

ε σ T V i z 4 - T 4 + h T ∞ - T + k d T d x = ρ c p L ∂ T ∂ t

Passo 3

Aplicando diferenças finitas pele método explicito:

L = ∆ x

∂ T ∂ t = T m p + 1 - T m p ∆ t

d T d x = T m p - T m - 1 p ∆ x

Assim,

ε σ T V i z 4 - T m - 1 p 4 + h T ∞ - T m - 1 p + k T m p - T m - 1 p ∆ x = ρ c p ∆ x T m p + 1 - T m p ∆ t

Como,

h t = h - + ∆ h ∙ s e n ω t

Substituindo,

ε σ T V i z 4 - T m - 1 p 4 + h - + ∆ h ∙ s e n ω t T ∞ - T m - 1 p + k T m p - T m - 1 p ∆ x = ρ c p ∆ x T m p + 1 - T m p ∆ t

Passo 4

Vamos isolar o termo de Tmp+1 na eq. anterior:

T m p + 1 = T m p + ∆ t ρ c p ∆ x σ T V i z 4 - T m - 1 p 4 + h - + ∆ h ∙ s e n ω t T ∞ - T m - 1 p + k T m p - T m - 1 p ∆ x

Onde,

t = p ∆ t

Assim,

T m p + 1 = T m p + ∆ t ρ c p ∆ x σ T V i z 4 - T m - 1 p 4 + h - + ∆ h ∙ s e n ω p ∆ t T ∞ - T m - 1 p + k T m p - T m - 1 p ∆ x

A frequência angular é dada por:

ω = N p á 2 π 60 n = 3 2 π 60 17 s - 1

ω = 5,43 s - 1

Aplicando os valores já conhecidos:

T m p + 1 = T m p + 0,05 ( 1250 ) ( 1500 ) ( 0,002 ) ( 5,67 x 10 - 8 ) 293 4 - T m - 1 p 4 + 35 + 15 ∙ s e n 5,34 p ∆ t 298 - T m - 1 p + ( 1,5 ) T m p - T m - 1 p 0,002

T m p + 1 = T m p + 1,33 x 10 - 5 5,67 x 10 - 8 7,37 x 10 9 - T m - 1 p 4 + 35 + 15 s e n 5,34 p ∆ t 298 - T m - 1 p + 750 T m p - 750 T m - 1 p

T m p + 1 = 1,01 T m p + 1,33 x 10 - 5 5,67 x 10 - 8 7,37 x 10 9 - T m - 1 p 4 + 35 + 15 s e n 5,34 p ∆ t   298 - T m - 1 p - 750 T m - 1 p     E q 2

Passo 5

Para p = 0, que representa o tempo inicial, t = 0, vamos ter que:

T m 0 = - 3460 x + 212

Onde,

x = m ∆ x

Assim,

T m 0 = - 3460 m ∆ x + 212

Para o plote da temperatura, você vai utilizar a Eq2 e calcular as temperaturas par cada nodo m para os respectivos instantes de tempo, definidos por p onde

t = p ∆ t

Passo 6

Para o plote do fluxo de calor por convecção, basta você usar a seguinte expressão

q " c o n v = h - + ∆ h ∙ s e n ω p ∆ t T ∞ - T m p

Para o plote do fluxo de radiação:

q " r a d = ε σ T V i z 4 - T m p 4

Assim, para cada instante de tempo, com t = pΔt, com a temperatura correspondente a cada instante de tempo definido por p, calcula-se os valores das taxas usando as equações anteriores e com os valores, plota-se o gráfico por meio de uma ferramenta gráfica.

Resposta

T m p + 1 = 1,01 T m p + 1,33 x 10 - 5 5,67 x 10 - 8 7,37 x 10 9 - T m - 1 p 4 + 35 + 15 s e n 5,34 p ∆ t   298 - T m - 1 p - 750 T m - 1 p

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