Enunciado

94 – A função Der(T,t) de IHT pode ser usada para representar a derivada temperatura-tempo da equação 5.75. Neste problema nós usaremos a função Der para resolver o Exemplo 5.12.

(A) Mostre, usando o método do balanço de energia, que a forma implícita das equações de diferenças finitas para nodos 1≤m≤8 do exemplo 5.12 pode ser escrito como

ρ c ∆ x D e r T m p + 1 ,   t = k ∆ x T m - 1 p + 1 - T m p + 1 + k ∆ x T m + 1 p + 1 - T m p + 1

Nota: IHT faz uso do esquema das diferenças finitas implícito.

(B) Derive a forma implícita da equação de diferenças finitas para nodo m=0 do Exemplo 5.12.

(C) Para T9=20°C e usando um intervalo de tempo de Δt=24 s, determine as temperaturas do nodo 0 até 8 em t=120 s.

Passo 1

A função Der(T,t) de IHT é um código computacional para solucionar problemas de transferência de calor em condições de regime transiente (variação com o tempo) usando os métodos de diferenças finitas. Você pode utilizar este código pesquisando em referências bibliográficas o seu funcionamento e em quais softwares aplica-lo.

Passo 2

(A)

Vamos iniciar esse item relembrando como funciona o método do balanço de energia que consiste em aplicar um balanço de energia ao redor de cada nodo para conseguir determinar a expressão que representará as temperaturas naquele nodo. A expressão geral usada é a seguinte:

E ˙ e n t r a + E ˙ g = E ˙ s i s t e m a             E q 1

Onde,

- E ˙ e n t r a , é taxa de transferência de energia que entra no sistema;

- E ˙ g , é a taxa de geração de energia dentro do sistema;

- E ˙ s i s t e m a , é taxa de energia acumulada no sistema, que varia com o tempo em um processo transiente.

A energia acumulada no sistema, lembrando, pode ser escrita da seguinte forma:

E ˙ s i s t e m a = ρ c p ∂ T ∂ t

Então, com a Eq1 conseguimos determinar uma expressão para a temperatura em cada nodo.

Passo 3

Voltando ao Exemplo 5.12 do Incropera, temos que os nodos de 1 a 8, representam aqueles sem estar na superfície exposta do material. Os nodos das duas superfícies expostas do material são o nodo 0 e o nodo 9. Assim nestes nodos de 1 a 8, teremos apenas condução ocorrendo como energia de entrada no sistema, assim o termo de energia que entra no sistema da Eq1 será referente a taxa de transferência de calor por condução, qCond

E ˙ e n t r a = q c o n d

Lembrando da equação do calor que a taxa de transferência de calor pode ser escrita em termos da variação de temperatura em relação a x:

q c o n d = k ∂ 2 T ∂ x 2

Também pelo exemplo 5.12, temos que não há geração de energia, que a condução é unidimensional na direção de x e as propriedades são constantes, assim podemos escrever a Eq1 da seguinte forma:

k ∂ 2 T ∂ x 2 = ρ c p ∂ T ∂ t           E q 2

Passo 4

Vamos agora discretizar a Eq2, isto é, transformar as derivadas da Eq2 em formas de diferenças finitas. Vamos usar o método implícito como sugerido no enunciado.

Relembrando do método de diferenças finitas implícito, temos que para uma derivada de segunda ordem a discretização desta é a seguinte:

∂ 2 T ∂ x 2 = T m + 1 p + 1 + T m - 1 p + 1 - 2 T m p + 1 ∆ x 2

Onde,

-o índice m é um nodo qualquer de número m, por exemplo m poderia ser m=1;

-Δx é o incremento espacial;

-p representa a posição temporal da temperatura, por exemplo, p poderia ser o tempo de nº 2, onde p e o tempo t são relacionados pela seguinte expressão:

t = p ∆ t

Onde, Δt é o intervalo de tempo.

A discretização de uma derivada de primeira ordem para uma diferença finita implícita é

∂ T ∂ t = T m p + 1 - T m p ∆ t

Mas, para este exercício, foi dito que a função Der(T, t) representa a derivada T-t na forma implícita de diferenças finitas, assim

D e r T m p + 1 , t = T m p + 1 - T m p ∆ t

Passo 5

Substituindo essas relações na Eq2:

k T m + 1 p + 1 + T m - 1 p + 1 - 2 T m p + 1 ∆ x 2 = ρ c p D e r T m p + 1 , t

Para chegarmos exatamente na expressão do enunciado, vamos fazer alguns algebrismos

T m + 1 p + 1 + T m - 1 p + 1 - 2 T m p + 1 ∆ x 2 = T m + 1 p + 1 - T m p + 1 + T m - 1 p + 1 - T m p + 1 ∆ x ∆ x = T m + 1 p + 1 - T m p + 1 ∆ x ∆ x + T m - 1 p + 1 - T m p + 1 ∆ x ∆ x

T m + 1 p + 1 - T m p + 1 ∆ x ∆ x + T m - 1 p + 1 - T m p + 1 ∆ x ∆ x = 1 ∆ x T m + 1 p + 1 - T m p + 1 ∆ x + T m - 1 p + 1 - T m p + 1 ∆ x

Assim,

k 1 ∆ x T m + 1 p + 1 - T m p + 1 ∆ x + T m - 1 p + 1 - T m p + 1 ∆ x = ρ c p D e r T m p + 1 , t

k T m + 1 p + 1 - T m p + 1 ∆ x + k T m - 1 p + 1 - T m p + 1 ∆ x = ρ c p ∆ x D e r T m p + 1 , t

k ∆ x T m + 1 p + 1 - T m p + 1 + k ∆ x T m - 1 p + 1 - T m p + 1 = ρ c p ∆ x D e r T m p + 1 , t

Portanto, foi demonstrado a expressão do enunciado.

Passo 6

(B)

Pelo exemplo 5.12, em nodo m=0 temos que neste nodo, onde é uma superfície exposta há um fluxo de calor por radiação q”0=3x105 W/m2. Assim pelo balanço de energia teremos que

q " 0 A + q c o n d = ρ c p V ∂ T ∂ t

Onde, V é o volume que é dado por

V = A ∆ x

Pela Lei de Fourier, você pode expressar a taxa de transferência por condução assim

q c o n d = k A d T d x

Assim,

q " 0 A + k A d T d x = ρ c p A ∆ x ∂ T ∂ t

q " 0 + k d T d x = ρ c p ∆ x ∂ T ∂ t

Aplicando diferença finita de forma implícita nas derivadas:

q " 0 + k T 1 p + 1 - T 0 p + 1 ∆ x = ρ c p ∆ x T 0 p + 1 - T 0 p ∆ t

Que podemos escrever também como:

1 + 2 F O T 0 p + 1 - 2 F O T 1 p + 1 = 2 α ∆ t k ∆ x q " 0 + T 0 p

Onde,

F O = α ∆ t ∆ x 2 = 0,5

Substituindo os valores das propriedades dadas no exemplo 5.12, vamos chegar que:

2 T 0 p + 1 - T 1 p + 1 = 56,1 + T 0 p

Passo 7

(C)

Para este item podemos usar a eq. 5.97 do Incropera que é aplicada para nodos interiores com o método de diferenças finitas implícito. Assim, para os nodos de 1 até 8:

1 + 2 F O T m p + 1 - F O T m - 1 p + 1 + T m + 1 p + 1 = T m p

O número de Fourier, FO, deve seguir o critério de estabilidade, assim

F O = 1 2

Substituindo, vamos chegar que:

- T m - 1 p + 1 + 4 T m p + 1 - T m + 1 p + 1 = 2 T m p

Essa é eq. para cada nodo m interior de 1 até 8

Passo 8

Assim, vamos ter que resolver o seguinte sistema linear:

- T 7 p + 1 + 4 T 8 p + 1 - T 9 p + 1 = 2 T 8 p

- T 6 p + 1 + 4 T 7 p + 1 - T 8 p + 1 = 2 T 7 p

- T 5 p + 1 + 4 T 6 p + 1 - T 7 p + 1 = 2 T 6 p

...

- T 0 p + 1 + 4 T 1 p + 1 - T 2 p + 1 = 2 T 1 p

2 T 0 p + 1 - T 1 p + 1 = 56,1 + T 0 p

Vamos considerar que no passo de tempo de p = 0, isto é, no tempo inicial, todas as temperaturas são iguais a 20ºC

T 0 0 = T 1 0 = T 2 0 = … = T 9 0 = 20 ℃

Como temos um passo de tempo de 24 s, e precisamos encontrar as temperaturas para t = 120 s, então teremos que resolver o sistema linear 5 vezes.

Passo 9

Resolvendo pelo EXCEL, vamos chegar que as temperaturas de nodos 0 até 8, no tempo t = 120s são:

Resposta

A)

k ∆ x T m + 1 p + 1 - T m p + 1 + k ∆ x T m - 1 p + 1 - T m p + 1 = ρ c p ∆ x D e r T m p + 1 , t

B) 2 T 0 p + 1 - T 1 p + 1 = 56,1 + T 0 p

C)

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