Enunciado

32 - No Capítulo 3, supusemos que, sempre que aletas eram fixadas a uma superfície (base), a temperatura da base permanecia inalterada. O que ocorre na realidade, se a temperatura da base for superior à temperatura do fluido, é que a fixação de uma aleta reduz a temperatura na junção T j a um nível inferior ao valor da temperatura original da base e o fluxo de calor do material da base para a aleta é bidimensional.

Considere condições nas quais um longo pino de alumínio, com diâmetro D   =   5   m m , é fixado a um material base cuja temperatura em um ponto distante da junção é mantida a T b = 100   ℃ . As condições de convecção no pino correspondem a h   =   50   W / ( m 2   ·   K ) e T ∞ =   25 ℃ .

(a) Quais são a taxa de transferência de calor no pino e a temperatura na junção, quando o material da base for (i) alumínio ( k =   240   W / ( m · K ) ) e (ii) aço inoxidável ( k   =   15   W / ( m · K ) ) ?

(b) Repita os cálculos anteriores supondo haver uma resistência térmica de contato de R i , j " = 3 × 10 – 5   m 2 ·   K / W associada ao método utilizado para a fixação do pino ao material base.

(c) Considerando a resistência térmica de contato, para cada um dos dois materiais, represente graficamente a taxa de transferência de calor no pino em função do coeficiente convectivo, na faixa de 10   ≤   h   ≤   100   W / ( m 2 · K ) .

Passo 1

Segue o desenho do circuito térmico para as aletas.

Passo 2

a)

Para alumínio:

Obtenha o fator de forma na "Tabela 4.1 fatores de forma de condução e taxas de calor de condução sem dimensão para sistemas selecionados" no manual para disco de diâmetro  D e temperatura  T 1 em um meio semi-infinito de condutividade térmica  k (o pino é considerado como disco).

S = 2 D

Encontre a resistência da base.

R b = 1 S k b

= 1 2 D k b … … .   ( 1 )

Aqui,  D é o diâmetro da aleta,  k b é a condutividade térmica do material de base.

R b = 1 2 × 5 m m × 10 - 3 m m m × 240

= 0,4166

Passo 3

Vamos agora encontrar o perímetro da aleta.

P = π D

= π × 0,005   m

= 0,0157   m

Agora, encontre a área da seção transversal da aleta.

A c = π 4 D 2

= π 4 0,005   m 2

= 0,000019625   m 2

Passo 4

Encontre a resistência da aleta.

R a = h P k b A c - 1 2 … … ( 2 )

Aqui  h   é o coeficiente de transferência de calor por convecção.

R a = 50 × 0,0157 × 240 × 0,000019625 - 1 2

= 16,4   K / W

Escreva a expressão para taxa de calor.

q t = T b - T ∞ R t o t a l = T b - T ∞ R a + R b … … .   ( 3 )

Aqui,  T b é a temperatura base e T ∞ é a temperatura da superfície.

= 100 - 25 0,4166 + 16,4

q = 4,4598   W

Portanto, a taxa de calor da aleta é  4,4598   W .

Passo 5

Encontre a temperatura da junção.

T j = T ∞ + q t R a … . .   ( 4 )

T j = 25 + 273 K + 4,4598 × 16,4

= 371,14   K - 273

T j = 98,14   ℃

Portanto, a temperatura da junção é  98,14   ℃ .

Passo 6

Agora vamos para o aço inoxidável.

Encontre a resistência da base.

R b = 1 2 D k b

= 1 2 × 0,005 × 15

= 6,666   K / W

Passo 7

Encontre a taxa de calor.

q t = T b - T ∞ R t o t a l = T b - T ∞ R a + R b … … .   ( 3 )

Aqui,  T b é a temperatura base e T ∞ é a temperatura da superfície.

= 100 - 25 6,666 + 16,4

q = 3,25     W

Portanto, a taxa de calor da aleta é  3,25     W .

Agora, vamos encontrar a temperatura da junção.

T j = T ∞ + q t R a

= 25 + 273 K + 3,25 × 16,4

= 351,3   K - 273

T j = 78,3   ℃

Portanto, a temperatura da junção é  78,3   ℃ .

Passo 8

b)

Considere a resistência de contato térmico.

Encontre a resistência térmica.

R t , j = R t , j " A c

= 3 × 10 - 5 0,000019625

= 1,528   K / W

Para alumínio

Encontre a taxa de transferência de calor.

q t = T b - T ∞ R a + R t , j + R b

= 100 - 25 16,4 + 1,528 + 0,4166

q t = 4,088   W

Portanto, a taxa de calor da aleta é  4,088   W .

Passo 9

Encontre a temperatura da junção.

T j = T ∞ + q t R a

= 25 + 273 K + 4,088 × 16,4

= 365,04   K - 273

= 92,04   ℃

Portanto, a temperatura da junção é  92,04   ℃ .

Passo 10

Para o aço.

Encontre a taxa de transferência de calor.

q t = T b - T ∞ R a + R t , j + R b

= 100 - 25 16,4 + 1,528 + 6,666

q t = 3,049   W

Portanto, a taxa de calor da aleta é  3,049   W .

Passo 11

Encontre a temperatura da junção.

T j = T ∞ + q t R a

= 25 + 273 K + 3,049 × 16,4

= 348   K - 273

= 75   ℃

Portanto, a temperatura da junção é  75   ℃ .

Passo 12

c) Encontre a taxa de transferência de calor.

q t = T b - T ∞ R b + R t , j + h P k b A c - 1 2

= 100 - 25 0,4166 + 1,528 + h × 0,0157 × 240 × 0,000019625 - 1 2

= 75 1,9446 + 0,000019625 h - 1 2

Passo 13

Tabule os valores de transferência de calor variando o coeficiente de transferência de calor para o alumínio.

Passo 14

Encontre a taxa de transferência de calor para o aço inoxidável agora.

q t = T b - T ∞ R b + R t , j + h P k b A c - 1 2

= 100 - 25 6,666 + 1,528 + h × 0,0157 × 15 × 0,000019625 - 1 2

= 75 8,194 + 0,0000 0462168 h - 1 2

Passo 15

Tabule os valores de transferência de calor variando o coeficiente de transferência de calor para o aço inoxidável.

Passo 16

Plote o gráfico entre o coeficiente de transferência de calor e a taxa de transferência de calor.

Resposta

  1. Para o alumínio: q = 4,4598   W e T j = 98,14   ℃ .
  2. Para o aço inoxidável: q = 3,25     W e T j = 78,3   ℃

  3. Para o alumínio: q = 4,088   W e T j = 92,04   ℃ .
  4. Para o aço inoxidável: q = 3,049   W e T j = 7 5   ℃

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