Enunciado

Usando análise de ordem de grandeza, as equações da continuidade e de Navier­ Stokes podem ser simplificadas para as equações de camada­ limite de Prandtl. Para escoamento em regime permanente, incompressível e bidimensional, desconsiderando a gravidade, o resultado é

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y = - 1 ρ ∂ p ∂ x + v ∂ 2 u ∂ y 2

Use L e V 0 como comprimento e velocidade característicos, respectivamente. Torne estas equações adimensionais e identifique os parâmetros de semelhança que resultam.

Passo 1

O enunciado quer que usando comprimento e velocidade a gente consiga adimensionalizar a equação da continuidade e de Navier Stokes…Show! Vamos lá?

Que isso, vamos com calma! Não é difícil não.

Vamos começar colocando tudo que for adimensional com um *pra gente não se perder, ta ok?

v * = v V 0 u * = u V 0 x * = x L y * = y L

Passo 2

Agora substituindo as equações do passo 1 nas equações do enunciado:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y = - 1 ρ ∂ p ∂ x + v ∂ 2 u ∂ y 2

Começando pela equação da continuidade:

∂ u * V 0 ∂ x * L + ∂ v * V 0 ∂ y * L = 0

V 0 L ∂ u * ∂ x * + V 0 L ∂ v * ∂ y * = 0

Agora vamos para a equação de Navier Stokes:

u * V 0 ∂ u * V 0 ∂ x * L + v * V 0 ∂ u * V 0 ∂ y * L = - 1 ρ ∂ p ∂ x * L + v * V 0 ∂ 2 u * V 0 ∂ y * L 2

Temos que notar uma coisa… A substituição desses termos ainda não deixou a nossa equação adimensional, porque ainda tem aquele termo da pressão ali em cima… E como vamos fazer agora?

Ah! Claro que é sim! Vamos deixar a pressão adimensional também! Partiu!

p * = p ρ V 0 2

Agora sim, vamos colocar na equação e ter uma equação adimensional!

u * V 0 ∂ u * V 0 ∂ x * L + v * V 0 ∂ u * V 0 ∂ y * L = - 1 ρ ∂ p * ρ V 0 2 ∂ x * L + v * V 0 ∂ 2 u * V 0 ∂ y * L 2

Passo 3

Podemos agora arrumar a equação, colocando as constantes fora da derivada!

u * V 0 V 0 L ∂ u * ∂ x * + v * V 0 V 0 L ∂ u * ∂ y * = - 1 ρ ρ V 0 2 L ∂ p * ∂ x * + v * V 0 V 0 L 2 ∂ 2 u * ∂ y * 2

u * V 0 2 L ∂ u * ∂ x * + v * V 0 2 L ∂ u * ∂ y * = - 1 ρ ρ V 0 2 L ∂ p * ∂ x * + v * V 0 2 L 2 ∂ 2 u * ∂ y * 2

u * ∂ u * ∂ x * + v * ∂ u * ∂ y * = - 1 ρ L V 0 2 ρ V 0 2 L ∂ p * ∂ x * + v V 0 L ∂ 2 u * ∂ y * 2

u * ∂ u * ∂ x * + v * ∂ u * ∂ y * = - ∂ p * ∂ x * + v V 0 L ∂ 2 u * ∂ y * 2

Aeee!!

Passo 4

O grupo adimensional que caracteriza a equação é:

v V 0 L

Resposta

v V 0 L

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