Enunciado

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Uma amostra aquecida eletricamente é mantida com uma temperatura superficial Ta = 500 K. O revestimento da amostra é difuso, porém espectralmente seletivo, com a distribuição da emissividade espectral mostrada na figura. A amostra é irradiada por um forno localizado

coaxialmente a uma distância Laf = 750 mm. O forno tem paredes isotérmicas com uma emissividade εf = 0,7, que estão a uma temperatura uniforme Tf = 3000 K. Um detector de radiação com área Ad = 8 × 10–5 m² está posicionado a uma distância Lad = 1,0 m da amostra, ao longo de uma direção que está a 45° da normal à amostra. O detector é sensível à potência radiante espectral somente na região espectral compreendida entre 3 e 5 μm. Na superfície da amostra há transferência de calor por convecção com um gás com T ∞   =   300   K e h   =   20 W m 2 K . A vizinhança da amostra é grande e encontra-se a uma temperatura uniforme de T v i z =   300   K .

  1. Determine a potência elétrica, P e l e , necessária para manter a amostra a Ta = 500 K.
  2. Considerando tanto a emissão como a irradiação refletida a partir da amostra, determine a potência radiante que incide sobre o detector na região espectral compreendida entre 3 e 5 μm.

Passo 1

Vamos que vamos galerinha ?!

Bom, na letra (a) nós queremos achar a potência elétrica, P e l e , necessária para manter a amostra a Ta = 500 K, não é?

Bom, a amostra recebe calor por meio da potência elétrica fornecida, P e l e , irradiação absorvida do forno, q a f , e irradiação absorvida do ambiente, q a , v i z , enquanto perde calor por convecção, q c o n v e emissão, q e m i s s ã o .

Substituindo os calores no balanço:

P e l e + α f G f A s + α v i z G v i z A s - h A s T s - T ∞ - σ ε T s 4 A s = 0

P e l e = - α f G f A s - α v i z G v i z A s + h A s T s - T ∞ + σ ε A s T s 4

O calor convectivo nós sabemos como calcular, basta lembrarmos que:

T s = 500   K

T ∞ = 300   K

h = 20 W m 2 K

A s = π D s 2 4 = π 0,02 m 2 4

Então:

q c o n v = π 0,02 2 4 20 500 - 300 = 1,257 W

Para q a f , nós precisamos obter algumas coisas !! Vamos lembrar que:

G f = q f s A s = A f F f s σ T f 4 A s

Em q a f :

q a f = α f A f F f s σ T f 4

Vamos ver o que ainda não sabemos:

A f = π D f 2 4 = π 0,025 m 2 4

σ = 5,67 × 10 - 8 W m 2 K 4

T f = 3000   K

O fator forma para discos coaxiais é dado por:

F f s = 0,5 S - S 2 - 4 r s r f 2 1 2

Onde:

S = 1 + 1 + R s 2   R f 2 = 1 + 1 + r s L s f 2   r f L s f 2

Lembrando que:

r s = 0,01   m

r f = 0,0125   m

L s f = 0,75   m

Substituindo:

S = 1 + 1 + 0,01 0,75   2   0,0125 0,75   2 = 3600

E o fator de forma:

F f s = 0,5 3600 - 3600 2 - 4 0,01 0,0125 2 1 2 = 0,000178

Nós ainda precisamos achar α f , certo?

Para ela nós também temos uma fórmula:

α f = ε 1 F 0 - λ 1 T f + ε 2 1 - F 0 - λ 1 T f

Como λ 1 T f = 4 μ m × 3000   K = 12000   μ m . K , olhando na tabela 12.1:

F 0 - λ 1 T f = 0,945

Como mostrado na figura do problema:

ε 1 = 0,8

ε 2 = 0,2

Então:

α f = 0,8 0,945 + 0,2 1 - 0,945 = 0,767

Agora sim !! Mão a obra para achar o calor:

q a f = 0,767 π 0,025 m 2 4 0,000178 5,67 × 10 - 8 3000 4 = 0,308   W

Passo 2

Bom, ainda precisamos de mais duas formas de transferência de calor!!

Começando por:

q a , v i z = α v i z G v i z A s

Vamos começar calculando G v i z :

G v i z = σ T v i z 4 = 5,67 × 10 - 8 300 4 = 459 W m 2

Para α v i z seguimos o mesmo raciocínio do Passo anterior:

α v i z = ε 1 F 0 - λ 1 T v i z + ε 2 1 - F 0 - λ 1 T v i z

Como λ 1 T v i z = 4 μ m × 300   K = 1200   μ m . K , olhando na tabela 12.1:

F 0 - λ 1 T f = 0,002134

Então:

α v i z = 0,8 0,002134 + 0,2 1 - 0,002134 = 0,2

Agora é só achar o calor:

q a , v i z = 0,2 459 π 0,02 m 2 4 = 0,0288   W

E o último calor que precisamos calcular é o emissivo:

q e m i s s a o = σ ε A s T s 4

A emissividade é calculada igualzinho à absortividade:

ε = ε 1 F 0 - λ 1 T s + ε 2 1 - F 0 - λ 1 T s

Como λ 1 T s = 4 μ m × 500   K = 2000   μ m . K , olhando na tabela 12.1:

F 0 - λ 1 T s = 0,066728

Então:

ε = 0,8 0,066728 + 0,2 1 - 0,066728 = 0,24

Agora é só substituir:

q e m i s s a o = 0,24 5,67 × 10 - 8 π 0,02 m 2 4 500 4 = 0,267   W

E a potência:

P e l e = - 0,308 - 0,0288   W + 1,257 W + 0,267   W

P e l e = 1,19   W

Chegamos ao fim da letra (a) !!

Passo 3

Shoow de boola, agora vamos seguindo para a letra (b) !!

Para a letra (b) nós queremos achar determine a potência radiante que incide sobre o detector na região espectral compreendida entre 3 e 5 μm, considerando tanto a emissão como a irradiação refletida a partir da amostra !!

Neste caso nós vamos usar a equação:

q s d ,   ∆ λ = 1 π . A s . cos ⁡ θ s . A d . cos ⁡ θ d L s d 2 E s , ∆ λ   + G f , ∆ λ   + G v i z , ∆ λ  

Temos que:

θ s = 45 °

θ d = 0 °

A s = π 0,02 2 4   m 2

A d = 8 × 10 - 5   m 2

L s d = 1   m

Agora vamos calcular o que nós não temos !!

E s , ∆ λ   = ∫ 3   μ m 5   μ m ε s , λ   σ T s 4 . d λ = ε 1   F 0 - 4 μ m T s - F 0 - 3 μ m T s + ε 2   F 0 - 5 μ m T s - F 0 - 4 μ m T s σ T s 4

Olhando a Tabela 12.1:

3 μ m 500   K = 1500   μ m . K     ∴     F 0 - 3 μ m T s = 0,01375

4 μ m 500   K = 2000   μ m . K     ∴     F 0 - 4 μ m T s = 0,0667

5   μ m 500   K = 1500   μ m . K     ∴     F 0 - 5 μ m T s = 0,1617

Então:

E s , ∆ λ = 0,8 0,0667 - 0,01375 + 0,2 0,1617 - 0,0667 5,67 × 10 - 8 500 4

E s , ∆ λ = 217,5 W m 2  

Vamos seguindo:

G f , ∆ λ   = ∫ 3   μ m 5   μ m ( 1 - ε s , λ )   G f λ , . d λ

= ( 1 - ε 1 ) F 0 - 4 μ m T f - F 0 - 3 μ m T f + ( 1 - ε 2 ) F 0 - 5 μ m T f - F 0 - 4 μ m T f G f  

Olhando a Tabela 12.1:

3 μ m 30 00   K = 90 00   μ m . K     ∴     F 0 - 3 μ m T f = 0 , 89

4 μ m 30 00   K = 1 2000   μ m . K     ∴     F 0 - 4 μ m T f = 0 , 9451

5   μ m 30 00   K = 15 0 00   μ m . K     ∴     F 0 - 5 μ m T f = 0 , 9 7

Então:

G f , ∆ λ   = ( 1 - 0,8 ) 0,9451 - 0,89 + ( 1 - 0,2 ) 0,97 - 0,9451 π 0,025 m 2 4 0,000178 5,67 × 10 - 8 3000 4 π 0,02 m 2 4

G f , ∆ λ   = 39,5 W m 2  

E para o próximo:

G v i z , ∆ λ   = ( 1 - ε 1 ) F 0 - 4 μ m T v i z - F 0 - 3 μ m T v i z + ( 1 - ε 2 ) F 0 - 5 μ m T v i z - F 0 - 4 μ m T v i z G v i z  

Olhando a Tabela 12.1:

3 μ m 300   K = 900   μ m . K     ∴     F 0 - 3 μ m T f = 0 , 0001685

4 μ m 300   K = 1200   μ m . K     ∴     F 0 - 4 μ m T f = 0 , 002134

5   μ m 300   K = 1500   μ m . K     ∴     F 0 - 5 μ m T f = 0 , 01375

Então:

G v i z , ∆ λ   = 1 - 0,8 0,002134 - 0,0001685 + 1 - 0,2 0,01375 - 0,002134 459

G v i z , ∆ λ   = 4,44 W m 2  

E agora sim vamos calcular o que queremos:

q s d ,   ∆ λ = 1 π . π 0,02 2 4 . cos ⁡ 45 ° . 8 × 10 - 5 . cos ⁡ 0 ° 1 2 217,5 + 39,5 + 4,44

q s d ,   ∆ λ = 1,5   W

Sucessooo galerinhaa, terminamos mais umaa !!

Resposta

  1. P e l e = 1,19   W
  2. q s d ,   ∆ λ = 1,5   W

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