Enunciado

Bastões circulares de cobre, com diâmetro D = 1   m m e comprimento L = 25   m m , são usados para aumentar a transferência de calor em uma superfície mantida a T s , 1 = 100 ° C . Uma extremidade do bastão é presa a essa superfície (em x = 0), enquanto a outra extremidade (x = 25 mm) é conectada a uma segunda superfície, mantida a T s , 2 = 0 ° C . Ar, escoando entre as superfícies (e sobre os bastões), também se encontra a uma temperatura T ∞ = 0 ° C , mantendo um coeficiente convectivo h   =   100 W m 2 K .

  1. Qual é a taxa de transferência de calor por convecção entre um único bastão de cobre e o ar?
  2. Qual é a taxa total de transferência de calor dissipada em uma seção da superfície a 100°C, com dimensões de 1 m × 1 m, se for instalado um feixe de bastões com distância entre os centros de 4 mm?

Passo 1

Vamos que vamos galerinhaa??

Olhem de perto o que está acontecendo aqui:

Quando nós fazemos o balanço de energia teremos que o calor sendo adicionado ao volume, q ' x , e saindo do volume de controle, q ' x + d x e q ' c o n v , Então:

q ' x = q ' x + d x + q ' c o n v

Agora nós precisamos achar cada um dos termos, ok?

A primeira coisa que devemos fazer aqui é escrever a equação de Fourier para a condução que ocorre a uma distância x:

q ' x = - k A c . d T d x

E para uma distância x + d x :

q ' x = q ' x + d q ' x d x . d x

A transferência de calor por convecção pode ser dada como:

q ' c o n v = h P T - T ∞ d x

Agora nós podemos substituir tudo que temos:

q ' x = q ' x + d q ' x d x . d x + h P T - T ∞ d x

0 = d q ' x d x . d x + h P T - T ∞ d x

Como o dx está presente em todos os termos:

d q ' x d x + h P T - T ∞ = 0

E substituindo q ' x :

d d x - k A c . d T d x + h P T - T ∞ = 0

k A c . d 2 T d x 2 - h P T - T ∞ = 0

d 2 T d x 2 - h P k A c T - T ∞ = 0

Se nós assumirmos que:

θ = T - T ∞

Então:

d 2 T d x 2 = d 2 θ d x 2

Na fórmula da letra (a):

d 2 θ d x 2 - h P k A c θ = 0

Se:

A c = π D 2 4

P = π D

Então:

d 2 θ d x 2 - 4 h k D θ = 0

Quando nós temos uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes a solução é dada pela forma:

θ = C 1 e m x + C 2 e - m x

Onde:

m = 4 h k D

Aplicando a primeira condição de contorno, quando x = 0 e θ 0 = T s , 1 - T ∞ , então:

θ 0 = T s , 1 - T ∞ = C 1 + C 2

C 1 + C 2 = 100

Se nós aplicarmos a segunda condição de contorno, quando x = 0,025   m e θ 0,025   m = T s , 2 - T ∞ :

θ 0,025   m = T s , 2 - T ∞ = C 1 e 0,025 m + C 2 e - 0,025 m

C 1 e 0,025 m + C 2 e - 0,025 m = 0

Isolando C 2 :

C 2 = - C 1 e 0,025 m e - 0,025 m

C 2 = - C 1 e 0,05 m

Substituindo na primeira condição de contorno:

C 1 - C 1 e 0,05 m = 100

C 1 = 100 1 - e 0,05 m

Colocando nossas constantes na solução:

θ = 100 1 - e 0,05 m e m x - 100 1 - e 0,05 m e 0,05 m e - m x

Vamos guardar esta informação, ok?

Passo 2

Mas não achamos o que queríamos, certo?

Queremos a troca de calor por convecção, como vimos no Passo 1:

q ' c o n v = q ' 0 - q ' 0,025

Adaptando o que vimos antes:

q ' x = - k A c . d θ d x

Derivando θ :

d θ d x = 100 m 1 - e 0,05 m e m x + 100 m 1 - e 0,05 m e 0,05 m e - m x

d θ d x = 100 m 1 - e 0,05 m ( e m x + e 0,05 m - m x )

Substituindo a derivada e a área:

q ' x = - π k D 2 4 100 m 1 - e 0,05 m ( e m x + e 0,05 m - m x )

Agora nós vamos calcular o único dado que não temos, m.

Se ele é dado por:

m = 4 h k D

E sabendo que:

h = 100 W m 2 K

D = 1   m m = 0,001   m

Para achar o k nós precisamos da temperatura média:

T - = T s , 1 + T s , 2 2 = 373   K + 273   K 2 = 323   K

Olhando na Tabela A.1 nós teremos que:

k = 400 W m K

Substituindo em m:

m = 4 100 W m 2 K 400 W m K 0,001   m = 31,61   m - 1

Na condução:

q ' x = - π 400 0,001 2 4 100 31,61   1 - e 0,05 31,61   ( e 31,61   x + e 0,05 31,61   - 31,61   x )

q ' x = 0,257 ( e 31,61   x + e 1,5805 - 31,61   x )

Quando x = 0   m :

q ' 0 = 0,257 ( e 31,61   ( 0 ) + e 1,5805 - 31,61   ( 0 ) )

q ' 0 = 1,505   W

Quando x = 0 , 025   m :

q ' 0,025 = 0,257 ( e 31,61   ( 0,025 ) + e 1,5805 - 31,61   ( 0,025 ) )

q ' 0,025 = 1 , 346   W

Agora é só achar o calor convectivo:

q ' c o n v = 1,505   W - 1,346   W

q ' c o n v = 0,372   W

A letra (a) tá feita galerinha !!

Passo 3

Boom, na letra (b) as aletas são separadas por 4 mm ao longo de uma área de 1   m × 1 m .

Para achar o número de aletas devemos dividir o lado pelo espaçamento:

n = 1000   m m 4   m m = 250   a l e t a s  

Se um lado nós temos 250 aletas, em uma seção de 1000   m m × 1000   m m :

N = 250   a l e t a s × 250   a l e t a s = 62500

A área que não está ocupada pelas aletas é dada por:

A = 1 m 2 - N A c = 1 m 2 - N π D 2 4

A = 1 m 2 - 62500 π 0,001   m 2 4

A = 0,9509   m 2

Então, a transferência de calor total será a transferência de calor por condução realizada pelas aletas somado à transferência de calor por convecção do espaço livre delas:

q = N q ' 0 + h A T s , 1 - T ∞

Substituindo:

q = 62500 × 1,505   W + 100 W m 2 K 0,9509   m 2 100 - 0 ° C

q = 103571,5   W

q = 103 , 6   k W

E nós finalizamos mais uma bem puxada, não foi !!

Resposta

  1. q ' c o n v = 0,372   W ;
  2. q = 103,6   k W .
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