Enunciado

Ar atmosférico, a 25 °C e 3 ⋅ 10 - 4   k g / s , escoa através de um tubo circular com 10 mm e 1 m de comprimento, cuja superfície interna se encontra umedecida por uma película de água. Determine a concentração de vapor de água na saída do tubo, admitindo que o ar na entrada esteja seco. Qual é a taxa na qual o vapor é adicionado ao ar?

Passo 1

Bom, queremos determinar dois parâmetros: a concentração de vapor de água na saída do tubo e a taxa na qual o vapor é adicionado.

Vamos começar a questão descobrindo se o escoamento do ar é laminar ou turbulento. Para isto, vamos calcular o número de Reynolds. Da Tabela A.4, obtemos ρ a r = 1,1707   k g / m 3 e μ a r = 183,6 ⋅ 10 - 7   N ⋅ s / m 2 , P r = 0,707 .

Então, calculando o número de Reynolds, temos:

R e = 4 m ˙ π D μ a r = 4 ⋅ 3 ⋅ 10 - 4 π ⋅ 0,01 ⋅ 183,6 ⋅ 10 - 7 = 2080

Como R e < 2300 , podemos assumir um escoamento laminar. Agora, precisamos calcular o comprimento de entrada fluidodinâmica e térmica. Ela será:

x c d , ν = 0,05 R e ⋅ D = 0,05 ⋅ 2080 ⋅ 0,01 = 1,04   m

Para calcularmos a camada térmica, vamos precisar do número de Schmidt. Como estamos trabalhando com convecção de ar e vapor, lá da Tabela A.8 temos: D A B = 26 ⋅ 10 - 6   m 2 / s e S c = ν D A B = 15,71 ⋅ 10 - 6 26 ⋅ 10 - 6 = 0,604 .

Então, temos o seguinte valor:

x c d , t = 0,05 R e ⋅ S c ⋅ D = 1,04 ⋅ 0,604 = 0,63   m

Então, na saída no tudo, teremos uma camada térmica totalmente desenvolvida, não temos o caso do comprimento de entrada combinado.

Passo 2

Agora que sabemos as condições que o nosso caso atende, podemos buscar a correlação para o número de Nusselt que iremos utilizar, e assim descobrir o coeficiente de convecção de massa, o qual é essencial para calcularmos a concentração de vapor na saída do tubo.

Assim, a correlação que buscamos será:

N u - = 3,66 + 0,0668 D L R e P r 1 + 0,04 D L R e P r 2 / 3

Então, se trocarmos o número de Nusselt pelo de Sherwood e o número de Prandt pelo número de Schmidt, para podermos calcular o coeficiente de convecção de massa, temos:

h - m D D A B = 3,66 + 0,0668 D L R e S c 1 + 0,04 D L R e S c 2 / 3

h - m = D A B D ⋅ 3,66 + 0,0668 D L R e S c 1 + 0,04 D L R e S c 2 / 3

Agora estamos quase lá! Só substituir os valores na relação acima. Então,

h - m = 26 ⋅ 10 - 6 0,01 ⋅ 3,66 + 0,0668 0,01 1 2080 ⋅ 0,604 1 + 0,04 0,01 1 2080 ⋅ 0,604 2 / 3

h - m = 26 ⋅ 10 - 4 ⋅ 3,66 + 0,8392 1 + 0,04 12,563 2 / 3

h - m = 0,0113   m / s

Passo 3

Quase terminando a nossa questão! Relembrando a equação 8.86, temos:

ρ A , s - ρ A , m x ρ A , s - ρ A , m , e n t = e - h - m ρ P m ˙ x

O termo que estamos buscando é ρ A , m ( 1 ) , para assim calcular a concentração de vapor.

A densidade ρ A , s será a densidade da fina camada de vapor de água dentro do tubo.

Aproximando pela densidade de vapor saturado a partir da Tabela A.6, temos ρ A , s = 0,0226   k g / m 3 .

E, para finalizar, a densidade inicial da mistura vapor/ar é igual a 0. Agora, só nos resta substituirmos os valores na expressão acima e calcular ρ A , m ( 1 ) . Sendo assim, temos:

0,0226 - ρ A , m 1 0,0226 - 0 = e - 0,0113 ⋅ 1,1707 ⋅ π ⋅ 0,01 3 ⋅ 10 - 4

ρ A , m 1 = 0,01694   k g / m 3

E essa será a concentração de água na saída do tubo!

Passo 4

Caramba, foi bem cansativa a primeira parte.

Mas agora podemos ficar tranquilos, a parte mais difícil já passou. Só nos resta calcularmos a taxa que vapor é adicionado. Para isto, precisamos utilizar a seguinte relação:

n A = m ˙ ρ ρ A , m , s a i - ρ A , m , e n t

Então, substituindo os valores que já discutimos durante toda a questão, temos:

n A = 3 ⋅ 10 - 4 1,1707 0,01694 - 0 = 4,34 ⋅ 10 - 6   k g / s

E assim realmente terminamos a nossa questão!

Resposta

A concentração de vapor de água na saída do tubo é 0,01694   k g / m 3 e a taxa na qual o vapor é adicionado ao ar é 4,34 ⋅ 10 - 6   k g / s .

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