Enunciado

O aumento de pressão, Δ p , de um líquido escoando em regime permanente através de uma bomba centrífuga depende do diâmetro da bomba, D , da velocidade angular do rotor, ω , da vazão volumétrica, Q , e da massa específica, ρ . A tabela fornece dados para o protótipo e para um modelo de bomba geometricamente semelhante. Para condições correspondentes à semelhança dinâmica entre as bombas modelo e protótipo, calcule os valores que faltam na tabela.

Passo 1

Neste problema será necessário obter os parâmetros adimensionais característicos do problema e a partir deles, por meio de semelhança dinâmica, os adimensionais obtidos a fim de obter os parâmetros ausentes da tabela.

Para resolver o problema será necessário o uso do Teorema de Buckingham.

Os parâmetros conhecidos estão presentes na tabela do enunciado.

Passo 2

Definindo os parâmetros dimensionais conforme apresentados no enunciado: aumento de pressão ( ∆ p ), velocidade angular ( ω ), vazão ( Q ), diâmetro da bomba ( D ) e massa específica ( ρ ).

Logo o número de parâmetros dimensionais é:

n = 5

Passo 3

Escolhendo as dimensões primárias:

- ∆ p = M L ∙ t 2

- ω = 1 t

- Q = L 3 t

- D = L

- ρ = M L 3

Logo, as dimensões primárias são M , L e t , ou seja:

r = m = 3

Passo 4

Os parâmetros repentes serão r = m = 3 .

Neste problema como parâmetros repetentes serão escolhidos ρ , ω e D , os quais representam as características dinâmica, cinética e geométrica, respectivamente.

Passo 5

Número de parâmetros adimensionais ( n - m ):

n - m = 5 - 3 = 2   a d i m e n s i o n a i s  

Passo 6

Os adimensionais a serem obtidos podem ser escritos como:

- π 1

π 1 = ∆ p ∙ ρ a ∙ ω b ∙ D c

M 0 ∙ L 0 ∙ T 0 = M L t 2 ∙ M L 3 a ∙ 1 t b ∙ L c

Montando o sistema linear:

M :     1 + a = 0

L :   - 1 - 3 a + c = 0

t :   - 2 - b = 0

Resolvendo o sistema:

a = - 1

b = - 2

c = - 2

Logo:

π 1 = ∆ p ∙ ρ - 1 ∙ ω - 2 ∙ D - 2

De forma que π 1 vale:

π 1 = ∆ p ρ ∙ ω 2 ∙ D 2

- π 2

π 2 = Q ∙ ρ a ∙ ω b ∙ D c

M 0 ∙ L 0 ∙ T 0 = L 3 t ∙ M L 3 a ∙ 1 t b ∙ L c

Montando o sistema linear:

M :     a = 0

L :     3 - 3 a + c = 0

t :   - 1 - b = 0

Resolvendo o sistema:

a = 0

b = - 1

c = - 3

Logo:

π 2 = Q ∙ ρ 0 ∙ ω - 1 ∙ D - 3

De forma que π 2 vale:

π 2 = Q ω ∙ D 3

Passo 7

Na Tabela do enunciado não são conhecidos a vazão do protótipo e o aumento de pressão do modelo, então serão utilizados os adimensionais obtidos:

- Vazão do protótipo

A partir do adimensional π 2 , garantido semelhança geométrica e cinética, a semelhança dinâmica fornecerá:

π 2 m = π 2 p

Q m ω m ∙ D m 3 = Q p ω p ∙ D p 3

Logo, a vazão do protótipo pode ser escrita como:

Q p = Q m ω p ω m D p D m 3

Utilizando os valores numéricos conhecidos:

Q p = 0,0928 × 183 367 150 50 3

A vazão do protótipo vale:

Q p = 1,249   m 3 / m i n

- Aumento de pressão do modelo

A partir do adimensional π 1 , garantido semelhança geométrica e cinética, a semelhança dinâmica fornecerá:

π 1 m = π 1 p

∆ p m ρ m ∙ ω m 2 ∙ D m 2 = ∆ p p ρ p ∙ ω p 2 ∙ D p 2

Logo, o aumento de pressão do modelo pode ser escrita como:

∆ p m = ∆ p p ρ m ρ p ω m ω p 2 D m D p 2

Utilizando os valores numéricos conhecidos:

∆ p m = 52,5 × 999 800 × 367 183 2 × 50 150 2

O aumento de pressão do modelo vale:

∆ p m = 29,3     k P a

Resposta

Q p = 1,249   m 3 / m i n

∆ p m = 29,3     k P a

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