Enunciado

Um bastão muito longo, com 5 mm de diâmetro e condutividade térmica uniforme k = 25 W m K , é submetido a um processo de tratamento térmico. Sua porção central, com 30 mm de comprimento, está envolta por uma bobina de aquecimento por indução, havendo então, nesta porção, uma geração de calor volumétrica e uniforme de 7,5   ×   10 6 W m 3 . Nas porções não aquecidas do bastão, continuações das duas extremidades da porção aquecida, há convecção com o ar a uma temperatura T ∞   = 20 ° C com h   =   10 W m 2 K . Suponha que não haja convecção na superfície do bastão no interior da bobina.

  1. Calcule a temperatura T e do bastão no ponto central da porção aquecida coberta pela bobina, no regime estacionário.
  2. Calcule a temperatura T b   do bastão na extremidade da porção aquecida, no regime estacionário.

Passo 1

E aí? Como vocês estão ??

Espero que animadíssimos ein ...

Na letra (a) nós queremos achar a temperatura T e do bastão no ponto central da porção aquecida coberta pela bobina, ok?

Vimos no capítulo e até mesmo na questão anterior que quando estamos gerando energia teremos uma transferência de calor unidimensional e uniforme.

Usando a distribuição da temperatura para estes casos, dado pelo livro laaaa na Equação 3.47:

T ( x ) = T b + q ˙ L 2 2 k 1 - x 2 L 2

Se considerarmos este ponto central como sendo x = 0 :

T e = T b + q ˙ L 2 2 k

Infelizmente nós não temos nada sobre T b então vamos guardar esta informação e pular pra letra (b)!!

Passo 2

Nós sabemos que o calor gerado é o mesmo que passa por toda a aleta, certo?

q x = q a l e t a

Se considerarmos que o bastão se comporta como aleta infinita, podemos olhar na Tabela 3.4:

Sendo assim:

q x = q a l e t a = M = θ b h P k A

Substituindo θ b :

q x = ( T b - T ∞ ) h P k A

A taxa de transferência também pode ser escrita como:

q x = q ˙ A L

Substituindo:

q ˙ A L = ( T b - T ∞ ) h P k A

T b = T ∞ + q ˙ L A h P k

Passo 3

Na letra (c) nós temos que:

L = 1 5   m m = 0,0 1 5   m

D = 5   m m = 0,005   m

k   =   25 W m K

h = 10 W m 2 K

q ˙   =   7,5 × 10 6 W m 3

T ∞ = 20 ° C + 273 = 293   K

Calculando T b com ajuda do Passo 2:

T b = T ∞ + q ˙ L π D 2 4 π D h k

Substituindo:

T b = 293   K + 7,5 × 10 6 W m 3 0,0 1 5   m π 0,005   m 2 4 π 0,005   m 10 W m 2 K 25 W m K

T b = 544,6   K

Em graus Celsius:

T b = 271,6 ° C

Agora podemos achar T e usando a fórmula do Passo 1:

T e = 544,6   K + 7,5 × 10 6 W m 3 0,0 0 5   m 2 2 25 W m K

T e = 5 78,3   K

Em graus Celsius:

T e = 305,3 ° C

Já obtemos os valores, certo?

Então finalizamos a letra (a) e (b) !!

Resposta

  1. 305,3 ° C ;
  2. 271,6 ° C .
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