Enunciado

Um bastão longo de alumínio altamente polido, com diâmetro D = 35   m m , está pendurado verticalmente em uma grande sala. A temperatura inicial do bastão é T i = 90 ° C e o ar da sala está a T ∞ = 20 ° C . No instante t = 1250   s , a temperatura do bastão é T 1 = 65 ° C e no instante t = 6700   s , a temperatura do bastão é T 2 = 30 ° C . Determine o valor das constantes C e n que aparecem na Equação 5.26. Represente graficamente a temperatura do bastão versus o tempo para 0 ≤ t ≤ 10000   s . No mesmo gráfico, represente a temperatura do bastão versus o tempo para um valor constante do coeficiente de transferência de calor, calculado a uma temperatura do bastão de T =   ( T i   +   T ∞ ) / 2 . Em todos os casos, avalie as propriedades em T =   ( T i + T ∞ ) / 2 .

Passo 1

Vamo lá galera! Se o coeficiente de transferência de calor é dado pela Equação 5.26, então a temperatura em função do tempo é dada pela Equação 5.28:

onde θ = T - T ∞ e A s , c é a área exposta à convecção, A s , c = π D L . Como a temperatura da haste é conhecida em dois momentos diferentes, a Equação (1) pode ser avaliada nestes dois momentos, tornando possível resolver para as duas incógnitas, C e n . As duas equações são

Passo 2

Estas equações não podem ser resolvidas explicitamente para C e n. Elas podem ser resolvidas numericamente nesta forma, usando IHT ou algum outro software, ou podem ser ainda mais manipuladas para resolver para os tempos:

Tomando a razão de Equações,

Passo 3

Isto pode ser resolvido iterativamente ou numericamente para n, para encontrar n = 0,25. Então C pode ser determinado pela Equação (3a) ou (3b):

O gráfico abaixo mostra a temperatura da haste em função do tempo usando a Equação (1) acima para coeficiente variável de transferência de calor, bem como a temperatura da haste assumindo o valor constante de h   =   6,8   W / m 2 ⋅ K , usando o texto da Equação 5.6.

Resposta

C = 2.8 W m 2 ⋅ K 1.25 ,   n = 0.25

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