Enunciado

Uma parede plana de espessura 2 L e condutividade térmica k experimenta uma taxa volumétrica de geração uniforme q ˙ . Como mostrado no esboço como Caso 1, a superfície em x = - L é perfeitamente isolada, enquanto a outra superfície é mantida a uma temperatura constante e uniforme T e . Para o Caso 2, uma fita dielétrica muito fina é inserida no plano central da parede x = 0 para isolar eletricamente as duas seções, A e B . A resistência térmica da fita é R t , c ' = 0,0005   m 2 · K / W . Os parâmetros associados à parede são: k = 50   W / m · K , L = 20   m m , q ˙ = 5 × 10 6   W / m 3 e T e = 50 ℃ .

(a) Esboce a distribuição de temperaturas para o Caso 1 em coordenadas T - x . Descreva as características principais dessa distribuição. Identifique a localização da temperatura máxima na parede e calcule essa temperatura.

(b) Esboce a distribuição de temperaturas para o Caso 2 nas mesmas coordenadas T - x . Descreva as características principais dessa distribuição.

(c) Qual é a diferença de temperaturas entre as duas paredes em x = 0 no Caso 2?

(d) Qual é a posição da temperatura máxima na parede composta do Caso 2? Calcule essa temperatura.

Passo 1

DADOS FORNECIDOS:

Espessura da parede plana: L = 20   m m = 0,02   m

Condutividade térmica: k = 50   W / m · K

Taxa volumétrica de geração uniforme: q ˙ = 5 × 10 6   W / m 3

Temperatura constante e uniforme: T e = 50 ℃

Resistência térmica da fita: R t , c ' = 0,0005   m 2 · K / W

PRESSUPOSTOS:

(1) condições de estado estacionário;

(2) condução unidimensional no plano e nas paredes compostas;

(3) propriedades constantes.

Passo 2

(a) Queremos nessa questão, esboçar a distribuição de temperatura para o caso 1 nas coordenadas T - x .

No caso 1, temos que a distribuição de temperatura é parabólica, ou seja, a equação geral para transferência de calor pode ser escrita da seguinte maneira:

T x = - q ˙ 2 k x 2 + C 1 x + C 2

Aqui, T x é a temperatura na direção de  x , q ˙ é a taxa de transferência de calor, k é a condutividade térmica da parede, x é à distância ao longo da parede na direção vertical e C 1 e C 2 são constantes arbitrárias.

Queremos encontrar C 1 e C 2 para isso, podemos usar as condições de contorno. A primeira condição se dá ao fato de que a superfície onde x = - L a parede está isolada. Ou seja:

d T d x x = - L   = 0

Aplicando essa condição, temos o seguinte:

- q ˙ k - L + C 1 = 0

C 1 = - q ˙ L k

Agora vamos usar a segunda condição de contorno. Quando x = L , temos que T x = T e . Assim temos que:

T x = - q ˙ 2 k x 2 - q ˙ L k x + C 2

T e = - q ˙ 2 k L 2 - q ˙ L k L + C 2

C 2 = 3 q ˙ L 2 2 k + T e

Assim, temos que a equação de distribuição de temperatura é:

T x = - q ˙ 2 k x 2 - q ˙ L k x + 3 q ˙ L 2 2 k + T e

Substituindo os dados fornecidos na equação acima temos o seguinte:

T x = - 5 × 10 6   W / m 3 2 50   W / m · K x 2 - 5 × 10 6   W / m 3 0,02   m 50   W / m · K x + 3 5 × 10 6   W / m 3 0,02   m 2 2 50   W / m · K + 50 ℃

T x = - 50000 ℃ / m 2 x 2 - 2000 ℃ / m x + 60 ℃ + 50 ℃

T x = - 50000 ℃ / m 2 x 2 - 2000 ℃ / m x + 110 ℃

Passo 3

Com a equação da distribuição de calor encontrada acima, podemos plotar o gráfico da destruição de temperatura. Assim temos:

Aqui, a curva é de natureza parabólica, uma vez que o grau de função é 2.

Passo 4

Temos que a temperatura máxima ocorre quando

d T d x = 0

Pela condição de contorno feita anteriormente, isso ocorre em x = - L = - 20   m m . A temperatura máxima nesse ponto é

T m á x = T 0,02 = - 50000 ℃ / m 3 0,02   m 2 - 2000 ℃ / m 3 0,02   m + 110 ℃

T m á x = 130 ℃

Passo 5

(b) Queremos nessa questão, esboçar a distribuição de temperatura para o caso 2 nas mesmas coordenadas T - x . Um esquema para o caso 2 pode ser o seguinte:

Para isso, vamos calcular as temperaturas T s , T s , A e T s , B . Pela suposição de estado estacionário, temos que o fluxo de calor conduzido em A, é igual em B. Assim, podemos dizer que:

q = q ˙ L = T s , B - T e L / k  

T s , B = q ˙ L 2 k + T e

Substituindo os termos da equação pelos dados obtidos, temos:

T s , B = 5 × 10 6   W / m 3 0,02   m 2 50   W / m · K + 50 ℃

T s , B = 90 ℃

Também podemos dizer que:

q = q ˙ L = T s , A - T s , B R t , c '  

T s , A = q ˙ L R t , c ' + T s , B

Substituindo os termos da equação pelos dados obtidos, temos:

T s , A = 5 × 10 6   W / m 3 0,02   m 0,0005   m 2 · K / W + 90 ℃

T s , A = 140 ℃

Também podemos dizer que:

q = q ˙ L = T s - T s , A L / k  

T s = q ˙ L 2 k + T s , A

Substituindo os termos da equação pelos dados obtidos, temos:

T s = 5 × 10 6   W / m 3 0,02   m 2 50   W / m · K + 140 ℃

T s = 180 ℃

Passo 6

Com as temperaturas encontradas acima, podemos plotar o gráfico da destruição de temperatura. Assim temos:

No caso 2, a distribuição de temperatura, T 2 x   v s   x , é parabólica em partes, com gradiente zero em x   =   - L e uma descontinuidade na fita dielétrica. Os gradientes de temperatura em ambos os lados da fita dielétrica são iguais.

Passo 7

(c) Queremos a diferença de temperatura entre as duas paredes em x = 0 para o caso 2. Ou seja:

∆ T = T s , A - T s , B

Pelos dados obtidos nos passos anteriores, temos que a diferença de temperatura é:

∆ T = 140 ℃ - 90 ℃

∆ T = 50 ℃

Portanto, a diferença de temperatura entre as duas paredes é 50 ℃ .

Passo 8

(d) Queremos a localização da temperatura máxima da parede composta no caso 2. Pelo gráfico de feito no item (b), podemos perceber que a temperatura máxima ocorrera em x = - L . Temos que nesse ponto a temperatura é T m á x = 180 ℃ .

Portanto, a temperatura máxima na parede composta é  180 ℃ .

Resposta

(a)

T x = - 50000 ℃ / m 2 x 2 - 2000 ℃ / m x + 110 ℃

T m á x = 130 ℃

(c)

∆ T = 50 ℃

(d)

T m á x = 180 ℃

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