Enunciado

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Seja o ponto nodal 0 localizado na fronteira entre materiais com condutividades térmicas k A e k B .

Deduza a equação de diferenças finitas, considerando a ausência de geração interna.

Passo 1

O exercício nos pede para definir as taxas de transferência de calor de cada um dos pontos até o ponto central ( m , n ) . Para isso, vamos começar desenhando um volume de controle e as taxas de transferência de calor que atravessam o sistema:

O balanço de energia para essa situação de regime estacionário é:

d E d t = E ˙ e n t - E ˙ s a í d a + E ˙ g e r

Como não temos nenhum fluxo de calor saindo do volume de controle e não há geração de energia a equação se reduz à:

0 = E ˙ e n t

0 = q 1 + q 2 + q 3 + q 4 + q 5 + q 6

Passo 2

Vamos agora determinar cada uma das taxas separadamente:

q 1 = k A A 1 L 1 ∆ T 1

q 1 = k A ∆ y 2 ∙ L ∆ x T 1 - T 0

q 2 = k B A 2 L 2 ∆ T 2

q 2 = k B ∆ y 2 ∙ L ∆ x T 1 - T 0

Como q 1 e q 2 vêm da mesma direção podemos escrever:

q 1 + q 2 = q 1 → 0

q 1 → 0 = k A ∆ y 2 ∙ L ∆ x T 1 - T 0 + k B ∆ y 2 ∙ L ∆ x T 1 - T 0

q 1 → 0 = ( k A + k B ) ∆ y 2 ∙ L ∆ x T 1 - T 0

Continuando:

q 3 = q 4 → 0

q 3 = k B A 3 L 3 ∆ T 3

q 3 = k B ∆ x ∙ L ∆ y T 4 - T 0

q 4 = k B A 4 L 4 ∆ T 4

q 4 = k B ∆ y 2 ∙ L ∆ x T 3 - T 0

q 5 = k A A 5 L 5 ∆ T 5

q 5 = k A ∆ y 2 ∙ L ∆ x T 3 - T 0

Analogamente como fizemos com q 1 e q 2 :

q 4 + q 5 = q 3 → 0

q 3 → 0 = k B ∆ y 2 ∙ L ∆ x T 3 - T 0 + k A ∆ y 2 ∙ L ∆ x T 3 - T 0

q 3 → 0 = ( k A + k B ) ∆ y 2 ∙ L ∆ x T 3 - T 0

Por fim

q 6 = q 2 → 0

q 6 = k A A 6 L 6 ∆ T 6

q 6 = k A ∆ x ∙ L ∆ y T 2 - T 0

Passo 3

Substituindo no balanço de energia:

k A + k B ∆ y 2 ∙ L ∆ x T 1 - T 0 + k B ∆ x ∙ L ∆ y T 4 - T 0 + k A + k B ∆ y 2 ∙ L ∆ x T 3 - T 0 + k A ∆ x ∙ L ∆ y T 2 - T 0 = 0

Aplicando ∆ x = ∆ y :

k A + k B 2 T 1 - T 0 + k B T 4 - T 0 + k A + k B 2 T 3 - T 0 + k A T 2 - T 0 = 0

T 1 - T 0 + 2 k B k A + k B T 4 - T 0 + T 3 - T 0 + 2 k A k A + k B T 2 - T 0 = 0

T 1 + T 3 + 2 k A + k B k A T 2 + k B T 4 - 4 T 0 = 0

T 1 4 + T 3 4 + 1 2 k A + k B k A T 2 + k B T 4 = T 0

Resposta

A equação de diferenças finitas para o ponto 0 é:

T 1 4 + T 3 4 + 1 2 k A + k B k A T 2 + k B T 4 = T 0

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