Enunciado

Um cabo elétrico, que experimenta uma geração volumétrica de calor a uma taxa uniforme q , encontra-se semienterrado em um material isolante, enquanto a sua superfície superior está exposta a um processo convectivo (T∞, h).

(a)Deduza as equações de diferenças finitas, pelo método explícito, para um nó interior ( m ,   n ); para o nó central ( m   =   0 ); e para os nós na superfície externa ( M ,   n ) no contorno isolado termicamente e no contorno sujeito ao processo convectivo.

(b)Obtenha o critério de estabilidade para cada uma das equações de diferenças finitas. Identifique o critério mais restritivo.

Passo 1

Vamos lá gente!! As equações explícitas e de diferença finita podem ser obtidas aplicando balanços energéticos a volumes de controle apropriados sobre o nó de interesse. Observe o sistema de coordenadas definido acima onde r , ϕ → ( m Δ r ) , ( n Δ ϕ ) . O critério de estabilidade é determinado a partir do coeficiente associado ao nó de interesse. A conservação de energia necessária é:

Destrinchando cada valor implícito, temos:

Passo 2

Vamos definir o número de Fourier como:

E então reagrupamos os termos da equação 1 para obter FDE,

Passo 3

O critério de estabilidade exige que o último termo do lado direito em aparelho seja positivo. Ou seja, o coeficiente de T m , n p deve ser positivo e o critério de estabilidade é

Por inspeção, o critério de estabilidade é F o ≤ 1 / 4 . Nós de Superfície ( M , n ). O volume de controle para o nó de superfície é V = M - 1 4 Δ r Δ ϕ ⋅ Δ r / 2 . A partir do balanço energético,

Reagrupamento e utilização das definições para F o = α Δ t / Δ r 2 e B i = h Δ r / k ,

Resposta

a ) P a s s o   2

b ) P a s s o   3

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