Enunciado

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Seja o tubo bidimensional de seção transversal não circular formado por subdomínios retangular e semicilíndrico unidos pelas superfícies de controle comuns, representadas pela linha tracejada, de forma similar à descrita no Problema 4.59. Note que, ao longo destas superfícies, temperaturas nos dois subdomínios são idênticas e os fluxos condutivos locais para o subdomínio cilíndrico são idênticos aos fluxos condutivos locais saindo do subdomínio retangular. A base do domínio é mantida a T s   =   100 ° C por vapor condensando, enquanto o fluido em escoamento é caracterizado pela temperatura e coeficiente convectivo mostrados na figura. As superfícies restantes estão isoladas e a condutividade térmica é k   =   15 W m K .

Ache a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do tubo, q′, usando Δx = Δy = Δr = 10 mm e Δϕ = π/8. Sugestão: Aproveite a simetria do problema e use somente metade do domínio completo.

Passo 1

Vamos para mais uma desenho, galerinha?

Vamos começar pela parte retangular, ok?

Pela Figura nós vemos que:

T 1 = T 2 = T 3 = T 4 = T 5 = 100 ° C

O Ponto 6 recebe calor por condução dos pontos 1, 7 e 11:

k ∆ x 2 T 1 - T 6 ∆ y + k ∆ y T 7 - T 6 ∆ x + k ∆ x 2 T 11 - T 6 ∆ y = 0

Como ∆ x = ∆ y :

T 1 - T 6 + 2 T 7 - 2 T 6 + T 11 - T 6 = 0

100 + 2 T 7 + T 11 - 4 T 6 = 0                         ( i )

O Ponto 7 recebe calor por condução dos pontos 2, 6, 8 e12:

k ∆ y T 6 - T 7 ∆ x + k ∆ x T 12 - T 7 ∆ y + k ∆ y T 8 - T 7 ∆ x + k ∆ x T 2 - T 7 ∆ y = 0

T 6 - T 7 + T 12 - T 7 + T 8 - T 7 + T 2 - T 7 = 0

100 + T 6 + T 1 2 + T 8 - 4 T 7 = 0                       ( i i )

O Ponto 8 recebe calor por condução dos pontos 3, 7, 9 e13:

k ∆ y T 7 - T 8 ∆ x + k ∆ x T 1 3 - T 8 ∆ y + k ∆ y T 9 - T 8 ∆ x + k ∆ x T 3 - T 8 ∆ y = 0

100 + T 7 + T 1 3 + T 9 - 4 T 8 = 0                       ( i i i )

O Ponto 9 recebe calor por condução dos pontos 4, 8, 10 e14:

k ∆ y T 8 - T 9 ∆ x + k ∆ x T 14 - T 9 ∆ y + k ∆ y T 10 - T 9 ∆ x + k ∆ x T 4 - T 9 ∆ y = 0

100 + T 8 + T 14 + T 10 - 4 T 9 = 0                       ( i v )

O Ponto 10 recebe calor por condução dos pontos 5, 9 e 15:

k ∆ y T 9 - T 10 ∆ x + k ∆ x 2 T 15 - T 10 ∆ y + k ∆ x 2 T 5 - T 10 ∆ y = 0

2 T 9 - 2 T 10 + T 15 - T 10 + T 5 - T 10 = 0

100 + 2 T 9 + T 15 - 4 T 10 = 0                       ( v )

O Ponto 11 recebe calor por condução dos pontos 6 e 12, sem considerarmos a parte cilíndrica!

E aqui nós temos o primeiro calor que deixa a parte retangular e vai para a cilíndrica, q ' 1 !

q ' 1 = k ∆ x 2 T 6 - T 11 ∆ y + k ∆ y 2 T 12 - T 11 ∆ x

q ' 1 = 7,5 T 6 + 7,5 T 12 - 15 T 11                     ( v i )

O Ponto 12 recebe calor por condução dos pontos 8, 12 e 14, sem considerarmos a parte cilíndrica:

E aqui nós temos o segundo calor que deixa a parte retangular e vai para a cilíndrica, q ' 2 !

q ' 2 = k ∆ y 2 T 11 - T 12 ∆ x + k ∆ x T 7 - T 12 ∆ y + k ∆ y 2 T 13 - T 12 ∆ x

q ' 2 = 7,5 T 11 + 15 T 7 + 7,5 T 13 - 30 T 12                     ( v i i )

O Ponto 13 recebe calor por condução dos pontos 2, 8 e 14, e troca calor por convecção, sem considerarmos a parte cilíndrica:

E aqui nós temos o terceiro calor que deixa a parte retangular e vai para a cilíndrica, q ' 3 !

q ' 3 = k ∆ y 2 T 12 - T 13 ∆ x + k ∆ y 2 T 14 - T 13 ∆ x + k ∆ x T 8 - T 13 ∆ y + h ∆ x 2 T ∞ , i - T 13

q ' 3 = 7,5 T 12 + 7,5 T 14 + 15 T 8 + 48 - 32,4 T 13                     ( v i i i )

O Ponto 14 recebe calor por condução dos pontos 15, 9 e 13, e troca calor por convecção:

k ∆ y 2 T 13 - T 14 ∆ x + k ∆ x T 9 - T 14 ∆ y + k ∆ y 2 T 15 - T 14 ∆ x + h ∆ x T ∞ , i - T 14 = 0

15 T 13 - 15 T 14 + 30 T 9 - 30 T 14 + 15 T 15 - 15 T 14 + 48 - 2,4 T 14 = 0

T 13 + 2 T 9 + T 15 + 3,2 - 4 , 16 T 14 = 0                       ( i x )

O Ponto 15 recebe calor por condução dos pontos 14 e 10, e troca calor por convecção:

k ∆ y 2 T 14 - T 15 ∆ x + k ∆ x 2 T 10 - T 15 ∆ y + h ∆ x 2 T ∞ , i - T 15 = 0

15 T 1 4 - 15 T 1 5 + 15 T 1 0 - 15 T 1 5 + 24 - 1,2 T 14 = 0

T 14 + T 10 + T 15 + 1,6 - 2,08 T 1 5 = 0                       ( x )

Passo 2

Agora que nós acabamos o retangular nós vamos olhar a parte cilíndrica !!

Para o Ponto 11 nós temos o calor que sai da parte retangular mais a análise normal, ok? Aqui temos que acrescentar a condução vindo dos pontos 16 e 12:

k ∆ r 2 T 1 6 - T 11 r 5 Δ ϕ + k r 4 Δ ϕ 2 T 1 2 - T 11 Δ r + q ' 1 = 0

Usando a equação v i :

4,76 T 16 + 10,34 T 12 + 7,5 T 6 + 7,5 T 12 - 30,09 T 11 = 0                       ( x i )

Para o Ponto 12 nós temos que acrescentar a condução vindo dos pontos 11, 13 e 17:

k r 4 Δ ϕ 2 T 1 1 - T 1 2 Δ r + k ∆ r T 17 - T 12 r 3 Δ ϕ + k r 2 Δ ϕ 2 T 1 3 - T 1 2 Δ r + q ' 2 = 0

Usando a equação v i i :

17,84 T 11 + 12,7 T 17 + 14,88 T 13 + 15 T 7 - 60,42 T 12 = 0                   ( x i i )

Para o Ponto 13 nós temos que acrescentar a condução vindo dos pontos 12, 18:

k r 2 Δ ϕ 2 T 12 - T 13 Δ r + k ∆ r 2 T 18 - T 13 r 1 Δ ϕ + h r 2 Δ ϕ 2 T ∞ , i - T 13 + q ' 3 = 0

Usando a equação v i i i :

14,86 T 12 + 9,52 T 18 + 7,5 T 14 + 15 T 8 + 71,63 - 50,48 T 13 = 0                   ( x i i i )

Para o Ponto 16 nós temos a condução vindo dos pontos 11, 17 e 19:

k ∆ r 2 T 11 - T 16 r 1 Δ ϕ + k r 4 Δ ϕ T 17 - T 16 Δ r + k ∆ r 2 T 19 - T 16 r 5 Δ ϕ = 0

9,52 T 11 + 20,67 T 17 + 4,76 T 19 - 34,96 T 16 = 0                   ( x i v

Para o Ponto 17 nós temos a condução vindo dos pontos 12, 16, 18 e 20:

k r 4 Δ ϕ T 16 - T 17 Δ r + k Δ r T 20 - T 17 r 3 Δ ϕ + k r 2 Δ ϕ T 18 - T 17 Δ r + k Δ r T 12 - T 17 r 2 Δ ϕ = 0

20,67 T 16 + 12,7 T 20 + 14,77 T 18 + 15,24 T 12 - 63,37 T 17 = 0                   ( x v )

Para o Ponto 18 nós temos a condução vindo dos pontos 13, 17 e 20, e calor por convecção:

k Δ r 2 T 13 - T 18 r 1 Δ ϕ + k r 1 Δ ϕ T 17 - T 18 Δ r + k Δ r 2 T 21 - T 18 r 1 Δ ϕ + h r 1 Δ ϕ T ∞ , i - T 18 = 0

9,52 T 13 + 11,81 T 17 + 9,52 T 21 + 37,8 - 32,75 T 18 = 0                   ( x v i )

Para o Ponto 19 nós temos a condução vindo dos pontos 16, 20 e 22:

k Δ r 2 T 16 - T 19 r 5 Δ ϕ + k r 4 Δ ϕ T 20 - T 1 9 Δ r + k Δ r 2 T 2 2 - T 1 9 r 5 Δ ϕ = 0

4,76 T 16 + 23,63 T 20 + 4,76 T 22 - 33,15 T 1 9 = 0                   ( x v i i )

Para o Ponto 20 nós temos a condução vindo dos pontos 17, 19, 21 e 23:

k r 4 Δ ϕ T 1 9 - T 20 Δ r + k Δ r T 2 3 - T 20 r 3 Δ ϕ + k r 2 Δ ϕ T 2 1 - T 20 Δ r + k Δ r T 17 - T 20 r 2 Δ ϕ = 0

20,67 T 19 + 12,7 T 23 + 14,77 T 21 + 15,24 T 17 - 63,37 T 20 = 0                   ( x v i i i )

Para o Ponto 21 nós temos a condução vindo dos pontos 18, 20 e 24, além da convecção:

k Δ r 2 T 1 8 - T 21 r 1 Δ ϕ + k r 2 Δ ϕ T 20 - T 21 Δ r + k Δ r 2 T 2 4 - T 21 r 1 Δ ϕ + h r 1 Δ ϕ T ∞ , i - T 21 = 0

9,52 T 18 + 14,77 T 20 + 9,52 T 24 + 37,8 - 35,7 T 21 = 0                   ( x i x )

Para o Ponto 22 nós temos a condução vindo dos pontos 19, 23 e 25:

k Δ r 2 T 1 9 - T 22 r 5 Δ ϕ + k r 3 Δ ϕ T 23 - T 22 Δ r + k Δ r 2 T 2 5 - T 22 r 5 Δ ϕ = 0

4,76 T 19 + 17,72 T 23 + 4,76 T 25 - 27,24 T 22 = 0                   ( x x )

Para o Ponto 23 nós temos a condução vindo dos pontos 20, 26, 24 e 20:

k r 4 Δ ϕ T 22 - T 2 3 Δ r + k Δ r T 2 6 - T 23 r 3 Δ ϕ + k r 2 Δ ϕ T 2 4 - T 23 Δ r + k Δ r T 20 - T 23 r 3 Δ ϕ = 0

20,67 T 22 + 12,69 T 26 + 14,77 T 24 + 12,7 T 20 - 60,83 T 23 = 0                   ( x x i )

Para o Ponto 24 nós temos a condução vindo dos pontos 21, 23 e 27, e a convecção:

k Δ r 2 T 2 1 - T 2 4 r 5 Δ ϕ + k r 2 Δ ϕ T 23 - T 24 Δ r + k Δ r 2 T 2 7 - T 24 r 1 Δ ϕ + h r 1 Δ ϕ T ∞ , i - T 2 4 = 0

4,76 T 21 + 14,77 T 23 + 9,52 T 27 + 37,8 - 30,94 T 2 4 = 0                   ( x x i i )

Para o Ponto 25 nós temos a condução vindo dos pontos 22 e 26, e a convecção:

k ∆ r 2 T 22 - T 25 r 5 Δ ϕ + k r 4 Δ ϕ 2 T 2 6 - T 25 Δ r = 0

4,76 T 22 + 10,33 T 26 - 15,1 T 25 = 0                   ( x x i i i )

Para o Ponto 26 nós temos a condução vindo dos pontos 25, 23 e 27:

k r 4 Δ ϕ 2 T 2 5 - T 2 6 Δ r + k Δ r T 23 - T 26 r 3 Δ ϕ + k r 2 Δ ϕ 2 T 27 - T 26 Δ r = 0

10,34 T 25 + 12,7 T 23 + 14,77 T 27 - 37,8 T 26 = 0                   ( x x i v )

Para o Ponto 27 nós temos a condução vindo dos pontos 24 e 26, e a convecção:

k Δ r 2 T 2 4 - T 2 7 r 1 Δ ϕ + k r 2 Δ ϕ 2 T 2 6 - T 2 7 Δ r + h r 1 Δ ϕ T ∞ , i - T 2 7 = 0

9,52 T 24 + 7,38 T 26 + 37,8 - 18,8 T 27 = 0                   ( x x v )

Passo 3

Agora nós vamos resolver todas essas equações simultaneamente:

Achando as temperaturas:

T 1 = T 2 = T 3 = T 4 = T 5 = 100 ° C

T 6 = 90,45 ° C

T 7 = 90,10 ° C

T 8 = 89,42 ° C

T 9 = 89,69 ° C

T 10 = 89,82 ° C

T 11 = 81,60 ° C

T 12 = 80,54 ° C

T 13 = 77,90 ° C

T 14 = 79,53 ° C

T 15 = 79,88 ° C

T 16 = 71,62 ° C

T 17 = 70,90 ° C

T 18 = 67,38 ° C

T 19 = 64,80 ° C

T 20 = 64,14 ° C

T 21 = 60,78 ° C

T 22 = 60,82 ° C

T 23 = 60,20 ° C

T 24 = 57,05 ° C

T 25 = 59,50 ° C

T 26 = 58,89 ° C

T 27 = 55,79 ° C

Agora que nós achamos as temperaturas nós podemos calcular o calor transferido por unidade de comprimento pode ser expressa como:

q ' = 2 k ∆ x ∆ y T 1 - T 6 2 + T 2 - T 7 + T 3 - T 8 + T 4 - T 9 + T 5 - T 10 2

Substituindo:

q ' = 2 15 W m K 100 ° C - 90,45 ° C 2 + 100 ° C - 90,10 ° C + 100 ° C - 89,42 ° C + 100 ° C - 89,69 ° C + 100 ° C - 89,82 ° C 2

q ' = 1220 W m

Ufaaa !! Essa foi bem puxada ein !!

Resposta

q ' = 1220 W m

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